錐形聚音器聲傳播特性研究

高 斌，楊 錄，張 梁，田 力，劉康馳

(1. 中北大學 信息與通信工程學院，山西 太原 030051；2. 中北大學 電子測試國家重點實驗室，山西 太原 030051)

0 引 言

聚音器是一種提高聲學系統性能的有效裝置，如圖1 所示，通過可變截面面積的聲導管，將聲信號集中放大，實現高效率聲電轉換，在設備故障檢測中應用廣泛[1-3].

圖1 聚音器應用原理圖Fig.1 Schematic diagram of the sound concentrator

針對聚音器中聲傳播問題的求解，韋伯斯特提出聲波在圓截面導管中近似平面波傳播，將導管中的三維波動方程轉換為一維，簡化了對聚音器模型的求解[4-6]； Tamanoi等人針對機器故障振動信號，設計了一種聲音收集罩，實現準確檢測并診斷旋轉機械中微小聲音信號[7]； 羽田野甫等人設計了一種旋轉拋物面聲音收集器，將設備振動信號收集起來，便于信號分析[8]； Kleeman針對聲納環接收問題設計了用于縮小聲發射器垂直波束寬度的拋物線反射器，并提出拋物線反射器聲環境的仿真模型[9]； 對于指數型、 圓錐型、 拋物線型、 級聯型、 正弦型等多種形狀導管中聲傳播問題，Putland采用韋伯斯特理論進行分析[10]，但針對上述結構未得到具體聲壓解析式； Olson設計了拋物面聚音器，通對低頻聲音信號有效采集，并獲得一定增益，給出了兩端聲壓比解析式[11]； 孫生生等人對錐形管內的聲場作了簡單的理論分析，得出漸縮錐形管具有增強壓比的功能[12], 但沒有計算漸縮錐形管的聲損耗； 項端祈比較了幾種消聲器常用公式的計算值，但同樣沒有討論針對錐形管聲損耗[13].

目前，針對聚音器對聲損耗影響的研究較少. 鑒于此，本文基于韋伯斯特理論和別洛夫聲損耗原理，建立錐形聚音器聲傳播與聲衰減理論模型，利用有限元軟件對錐形聚音器中的聲傳播進行數值模擬.

1 聚音器理論

聲波在聚音器中的傳播規律滿足波動方程，在笛卡爾坐標系中可以表示為

(1)

式中：φ為速度勢；c為空氣中聲速，由于方程在變截面聲導管中的求解較為復雜，韋伯斯特[2]提出將方程(1)從三維簡化為一維問題的解決方案：假設聲能在垂直于變截面導管軸均勻分布，并且只考慮在軸向的運動，推導出韋伯斯特方程[14]

(2)

式中： 橫截面積σ為x的函數，由文獻[11]可得聚音器中聲波動方程為

(3)

對式(3)進行求解可得速度勢φ，該解可確定聚音器任何一點的聲壓值[11].

φ=[AJ0(Kx)+BY0(Kx)]eiωt,

(4)

式中：A，B為常系數；J0(Kx)為零階貝塞爾函數；Y0(Kx)為零階諾依曼函數.

(5)

式中：J1(Kx)，Y1(Kx)分別為一階貝塞爾函數和一階諾伊曼函數，ω=2πf為圓頻率；K=2π/λ為波數；ρ為空氣密度；σ1為大端面面積；R為大端面的開口半徑；C0=4R為聚音器結構參數.

2 聚音器內壁聲損耗

由文獻[13，15]可知，對于直管中聲衰減量

(6)

式中：L為氣流通道斷面的周長，單位為m；S為氣流通道的截面面積，單位為m2；l為管道長度，單位為m；φ(α0)為消聲系數，與材料吸聲系數α0有關.

式(6)為直管中聲衰減量計算公式，下面分析錐形管的聲衰減量：在如圖2 所示錐形管結構中，R1為大端半徑，1/2錐形夾角θ=arctan(R1/m+n)，聲波入射角β=π/2-θ.

圖2 聚音器結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of sound concentrator

內壁聲反射系數Cr與材料聲阻抗、 空氣聲阻抗、 聲波入射方向有關，可以表示為

(7)

式中：z為聚音器外殼材料的聲阻抗；ρ為空氣密度；c為空氣中聲的傳播速度. 通過式(7)聲反射系數可求得內壁吸聲系數

(8)

由式(8)推出聚音器內壁消聲系數，其換算公式為

(9)

圖3 中，取無窮小長度微元dx，錐形管可以等效為無數直管組成，對長度進行積分，通過式(10)可得，聲信號從x1到x2的聲衰減量為

圖3 微元等效模型Fig.3 Microelement equivalent model

(10)

式中：x1和x2取大小端面中心點，錐型聲導管斜率k=tanθ.

3 聚音器有限元模型及仿真分析

使用有限元分析軟件建立如圖4 所示聚音器結構，在大端面加載入射聲波脈沖，求解小端聲壓值，大端與小端聲壓比值為聚音器聲壓放大倍數.

圖4 聚音器尺寸示意圖Fig.4 Schematic diagram of the size of the sound concentrator

根據文獻[16，17]，硬聲場邊界條件下聲波全反射，不存在透射情況，即傳播界面上沒有聲能的損耗. 鑒于此，本文將內壁設為硬聲場邊界，此條件下聲傳播沒有損耗，所以聚音器聲壓放大倍數最大. 為進一步研究材料對聚音效果的影響，將上述結論作為理想情況，比較鋼、 鋁、 聚苯乙烯、 尼龍4種材料聚音器聲傳播特性.

硬聲場邊界下聲壓變化仿真求解：大端面加載f=40 kHz的正弦單周期脈沖超聲信號. 信號表達式為

x(t)=5sin(2πft)[u(t)-u(t-Ts)],

(11)

式中：Ts=2.5e-5，單位為s. 物理場選擇壓力聲學和固體力學，使用壓力聲學模塊對聚音器內部的空氣域進行分析，材料使用固體力學分析，使用聲-結構邊界將壓力聲學場和固體力學場進行耦合. 網格劃分采用自由4面體網格，最大網格尺寸hmax為聲波波長的1/5，最小網格尺寸為聲波波長的1/6. 時間步長的選擇受到穩定性條件的限制，為了保證計算收斂，選擇時間步長為(1.25e-6) s. 由于仿真模擬超聲波隨時間的變化關系，研究選擇瞬態. 仿真結果后處理中，繪制聚音器內部的聲壓剖面云圖如圖5 所示.

在剖面云圖中接近上方的區域，聲壓值越高. 由圖5(a) 中可得出，在大端面聲壓幅值最高6.83 Pa，聲脈沖信號傳播至小端時，如圖5(b)所示，聲壓幅值最高為26.9 Pa. 進一步分析聚音器對聲壓的放大倍數，在大、 小端選取點(0,0,0)和(0，0，140.6)繪制聲壓點圖，結果如圖6 所示.

(a) 開始加載聲脈沖的剖面聲壓云圖

(b) 聲脈沖傳播到小端剖面聲壓圖圖5 聚音效果云圖(材料壁為硬聲場邊界)Fig.5 Polyphonic effect Cloud map (the material wall is theboundary of hard sound field)

(a) 硬聲場邊界

(b) 鋼材料

圖6 硬聲場邊界入射脈沖與小端聲壓點圖Fig.6 Hard sound field boundary incident pulse and small endsound pressure point diagram

圖6 中左側波形為聚音器大端面加載信號x(t)的聲壓點圖，右側波形為小端面聲壓點圖. 聲壓幅值為4.762 Pa的信號經過聚音器到達小端時幅值變為14.19 Pa，聲壓幅值放大2.98倍，將此結果作為基準對不同材料聲阻抗條件下聲壓放大倍數作數值分析.

為了定量計算材料內壁聲阻抗對聚音效果的影響，將內壁由硬聲場改為鋼、 鋁、 聚苯乙烯和尼龍的聲阻抗條件，其他參數不變，對比4種不同材料下聲壓值的變化. 對聚音器進行聲傳播仿真，其內部聲壓剖面云圖如圖7 所示.

圖7 4種材料聚音器小端剖面云圖Fig.7 Small end profile cloud map of the soundconcentratorof four materials

從仿真結果可得出，錐形聚音器小端最大聲壓分別為24.7 Pa, 17.7 Pa, 7.58 Pa, 5.04 Pa，鋼材料聲壓最大，尼龍材料聲壓最小. 將4種材料與硬聲場邊界條件下基準聲壓幅值進行對比，選取坐標點(0,0,140.6)，繪制聲壓點圖，結果如圖8 所示.

(c) 鋁材料

(d) 聚苯乙烯

(e) 尼龍材料圖8 硬聲場邊界與4種材料聚音器小端面聲壓對比圖Fig.8 Hard sound field boundary and four kinds of material soundconcentrator sound pressure contrast diagram of small end face

圖8 中，實線為小端在硬聲場邊界條件下無聲損耗的聲壓點圖，虛線為4種材料聲阻抗條件聲壓點圖. 計算可得鋼、 鋁、 聚苯乙烯、 尼龍4種材料小端聲壓幅值和聲壓放大倍數，如表 1 所示.

表 1 不同邊界條件聚音器小端聲壓幅值和放大倍數Tab.1 Sound pressure amplitudes and amplification multiplesat the small end of the sound concentrator

從表1中可以得出，使用鋼，鋁，聚苯乙烯和尼龍作為聚音器外殼材料時，聲波脈沖到達小端時的聲壓值、 放大倍數依次減小，表明上述4種材料對聲的損耗依次增加.

分別計算內壁為硬聲場條件和不同材料阻抗條件下小端聲壓級

(12)

式中：p1為小端聲壓幅值；pref為基準參考聲壓，空氣中取pref=2×10-5Pa.

由式(12)可求得硬聲場邊界下小端聲壓級Lp1與4種不同材料聲阻抗條件下小端聲壓級Lp2，兩者之差ΔLp即為聲脈沖信號在內壁因透射而造成的聲衰減量

ΔLp=Lp1-Lp2.

(13)

利用式(13)計算硬聲場邊界下聲壓變化并計算差值ΔLp即為仿真得到的聚音器內壁聲損耗值，而理論值由式(10)得出，具體分析理論值和仿真值得到聚音器中聲損耗機理. 因聲損耗理論計算和仿真結果均與材料聲阻抗密切相關，如下給出4種材料聲阻抗下聲損耗的理論和仿真對比，如表 2 所示.

表 2 4種聚音器材料聲損耗理論值與仿真值對比Tab.2 Comparison of theoretical and simulated values of acousticlosses of four kinds ofsound concentrator

表 2 中，鋼、 鋁材料聲阻抗較大，分別為4.6×106g/cm2·s和1.69×106g/cm2·s，聚音器中聲損耗值較小，仿真值分別為0.527 8 dB和1.393 8 dB； 聚苯乙烯和尼龍的聲阻抗較小，分別為0.246 7×106g/cm2·s和0.198×106g/cm2·s，聲損耗值較大，仿真值分別為5.763 8 dB和7.792 9 dB. 從表 2 中可以得出，隨著材料聲阻抗的減小，聚音器內部的聲損耗增大，仿真值符合理論計算值.

本節利用有限元仿真計算在不同材料下聚音器小端聲壓值，得出4種材料對聲的損耗值，驗證了仿真結果和錐形管聲損耗理論的一致性.

4 結 論

聚音器作為聲接收設備，聲壓放大倍數和聲損耗是評價其性能優劣的重要指標. 本文利用有限元仿真軟件定量計算鋼、 鋁、 聚苯乙烯、 尼龍4種材料聚音器性能參數. 仿真結果表明，材料聲阻抗增大，聚音器內壁的聲損耗減小； 聲壓放大倍數越高，聚音效果越好，與理論推導相符. 所得結果為研究錐形管中聲傳播與損耗機理提供了理論支撐，且對聚音器材料選擇具有重要參考價值. 后續將考慮結構參數與聚音效果之間的相關性，尋找幾何結構對聚音效果的最優解.