在“畫”中感悟概念

潘霞虹

摘 要：倍的概念是比較兩個量之間的關系，對學生而言十分抽象、不易理解。為了讓學生更好地認識倍并理解倍的概念，在教學中筆者試著對教材進行研讀并通過調查對單元知識進行重新組合、編排、整合教學?！氨丁钡母拍罱虒W，教師應立足學生的認知起點，借助合理有效的教學手段——多元表征，讓學生在自主學習、共同探究、求聯求異中建構概念，使學生對“倍”的形成深度認知。

關鍵詞：多元表征;“倍”的概念;深度學習

“倍的認識”是人教修訂版教材三年級上冊第五單元的內容，是小學數學中一個抽象而重要的概念。在學習“倍”之前，學生頭腦中建構的關于比較兩個數量大小的方法是比較數量的多與少，即比較兩個數量的差，也就是常說的差比。在比較兩個數量關系時，除了差比，還可以將一個量確定為標準量，通過判斷另一個量里面有多少個這樣的標準量，來比較兩者的比率關系，也就是倍比。比率這一概念在數學學習中有著重要的作用，是學生學習比例的基礎。實際上，倍、表示分率的分數、百分數、比等概念的本質都是比率，而“倍的認識”是學生第一次接觸比率，之后的小數倍、分數（表示分率）、百分數、比的內容，都可以看作是對“整數倍”的擴展?！氨兜恼J識”的地位和作用也就不言而喻了。

一、課前調研，了解學情

為了了解學生是否知道“倍”，他們了解的“倍”是否是數學中所教學的“倍”，筆者對所任教班級進行了前測。通過前測可以發現，學生對“倍”的認知并不是零起點，有相當一部分的學生并不陌生，在進一步交流訪談后，學生對“倍”又似懂非懂，無法用“誰是多少，誰是多少，誰就是誰的幾倍”這樣的句式來表達。并且在表征“倍”時，受實際生活的影響，學生對“多幾倍”和“幾倍”概念上較為混淆?？梢?，學生對“倍”的本質理解有較大的偏差。

二、解讀教材，掌握意圖

小學生的數學認知結構主要是加法結構和乘法結構。理解兩個數量的倍數關系是學生乘法認知結構建立的重要方面，而“倍”是加法認知結構到乘法認知結構的轉折點，是乘法認知結構的起始階段。如何在學生現有的知識經驗基礎上，改變原有的認知，優化“倍”的教學？筆者從對比教材入手，分析比較，試圖掌握教材背后的編寫意圖。

（一）不同版本的編排對比

筆者主要以人教修訂版、蘇教版與浙教版教材進行對比。

人教修訂版以“小兔子數蘿卜”為情境，通過數一數、圈一圈，把2根胡蘿卜看作1份，紅蘿卜就有這樣的3份，紅蘿卜的根數里有3個2根，就說紅蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍。這里有兩個特點：一是重觀察、重操作，以直觀的方式讓學生加深“倍”的理解;二是通過舊知識“幾個幾”和新知識“倍”建立對接，幫助學生理解倍的內涵。

蘇教版以“小朋友數花”為情境，通過問題“你能比一比這三種花的朵數嗎”展開教學。教材先出現學生之前已經學過的“比多少”，接著通過圈一圈，用“倍比”的方法得出黃花是藍花的3倍。在這里，它主要強調的是“倍”是由兩個數量相比較而產生的，并且是在學生已經熟悉的差比關系基礎上引發新的生長點。

浙教版教材以“游藝室里掛氣球”為情境，把2個紅氣球看作1份，藍氣球有這樣的3份，就說藍氣球的個數是紅氣球的3倍。接著通過掛氣球的個數變化來呈現“標準量”、“比較量”和“倍數”之間變與不變的關系。它則更凸顯對“倍”概念的辨析和理解。

（二）人教版的實驗版與修訂版教材對比

教學時段不同：在人教版的實驗版教材中，“倍”的認識被分散安排在二年級上冊和下冊，從乘法的角度引出倍的含義。而在修訂版教材中，則集中安排在三年級上冊的第五單元。一方面，整體后移，降低了學生的學習難度;另一方面，集中教學“倍”，學生不受乘除法的限制，更利于加深對“倍”內涵的理解，教學更富有邏輯性與結構性。

主題圖使用不同：這里主要是有兩處明顯不同。一是使用的事物不一樣，實驗版用的是小棒，修訂版用的是小兔和蘿卜，顯然，后者的情境更能激發學生的學習興趣。二是呈現的方式不一樣，實驗版采用的是活動方式類的，而修訂版使用的是自然情境類的。從操作變為觀察，弱化了對圖形的關注，進而轉變為對關系的關注，從而更好地突出“倍”的本質：是兩個量比較的結果。同時，用“圈一圈”代替擺，更重視圖畫表征，強調通過圖形直觀，經歷把“2個胡蘿卜看成一份，6個紅蘿卜就有這樣的3份，紅蘿卜根數就是胡蘿卜根數的3倍”的認識過程，親身經歷倍的形成過程，同時也滲透了畫圖策略，為后面解決“一個數是另一個數的幾倍”奠定基礎。

三、多元表征，深度學習

筆者根據各版本教材的特點以及實際的學情，重新設計教學方案：以“畫”為媒，以“比”為線，以“用”為根，以此促進學生的深度學習，真正建構起“倍”的概念。

（一）以“畫”為媒，思維可視化

借助“數學魔盒”這樣一個有趣而神秘的情境，讓學生通過觀看，直觀認識學生最熟悉且最簡單地“2倍”，之后將實物情境圖演變為象形示意圖，形成標準的“2倍”直觀模型，建立2個幾和2倍之間的聯系，并且把學生模糊的、直覺的“倍”進行數學化的規范——形的規范、語言表達的規范。

之后學生開始兩次的“畫圖”表征——在“初畫”中理解2倍，在“再畫”中強化幾倍，將自己的思維通過表征變得外顯、可視。

【教學片段1】

師：小朋友，如果你面前也有這樣的一個數學魔盒，你想放進去幾個笑臉，出來會是怎么樣的？把你的想法快速地畫在學習單的第一題上。

——學生動手畫一畫：

師：誰愿意來介紹一下自己的作品？

生1：把進去的4個笑臉看作1份，出來的笑臉有這樣的2份，出來的笑臉是進去笑臉的2倍。

如果說剛才的實物魔盒只是讓學生直觀認識2倍，那么這里就是幫助學生加深對2倍的理解。通過讓每一位學生現場畫一畫，將自己對2倍的理解內化、表征出來，豐富了2倍的圖示，同時，以形輔數，一步步幫助學生從具體的量抽象乘集合圖，不斷深化2倍的意義，建立2倍的直觀圖式。

【教學片段2】

師：剛才，我們主要認識研究了2倍，想一想，生活中是不是只有2倍呢？現在請你想一個自己最喜歡的倍，然后把它畫在學習單的第二題中。

第一小題是已知進去的圓的個數，畫出來的個數，是順向思維;第二小題是已知出來的圓的個數，畫進去的個數，是逆向思維。這里再一次借助“畫圖”，從笑臉到圓形，再次內化“幾倍”的概念本質。同時學生的建模經驗進行初步類推，實現了從具象到抽象，從2倍到多倍的轉化，并為后面進一步深入理解倍提供學習素材。

（二）以“比”為線，知識結構化

概念教學要關注概念的實際背景以及概念形成的思維過程。抽象的數學概念的形成可以借助有形的數學活動，通過活動鋪就概念與學生思維的通道，幫助學生有效建立概念。學生掌握概念的過程也是一個不斷發展的過程，往往經歷建立概念表象、抽象概念本質、厘清概念結構、辨析概念間關系這幾個階段。而在本堂課中，筆者以“比”為主線，層層深入，幫助學生建立“倍”的概念。

1. 建立概念表象

概念的表象是指對概念具有鮮明形象的感知，將頭腦中的概念經過外部信息進行轉化，是對概念進行知識表征的過程。雖然學生在學習之前，對“倍”有初步的感知，但他們無法用語言表述什么是“倍”。所以筆者創設了“數學魔盒”的情境，通過具體的實物表征“倍”的含義，通過3次對比，嘗試說一說數學魔盒的秘密，以此來激發學生對“倍”的語言表征，促使學生在頭腦中建立“倍”的表象。

2. 抽象概念本質

概念是事物本質屬性的反映。它的形成一定是一個從具體到抽象的思維過程。如果說數學魔盒中認識的“2倍”是一個表象，那么學生初畫2倍后的對比，就是抽象“2倍”本質的一個過程。通過“為什么這里都可以說出來的笑臉個數是進去的2倍”這一問題的設計，讓學生在不同作品的求同中完善“2倍”的概念及圖式。同時，通過“再增加2個笑臉，會有什么變化”和“如果要使出來的笑臉個數是進去的4倍，該怎么辦”，讓學生從不同的角度建構倍的圖示模型，挖掘“倍”的本質，理解“一個數里有幾個幾”就是“一個數是另一個數的幾倍”，明確“倍”隱藏著“包含”關系，以此達到對“倍”本質的理解。

3. 厘清概念結構

“倍”概念非常抽象，而小學生思維又是具象的，所以教學時要將概念與實例相結合，借助實例教學概念，從而厘清概念的知識結構。

在“再畫”幾倍后，學生的反饋主要分為三類：第一類是第一小題，也就是一份數相同，但倍數不同;第二類是第二小題一份數不同，倍數也可以不同;第三類是特殊的倍：一份數是1個和1倍的情況。在交流的基礎上，然后通過兩次對比和追問——“在這里，進去的都是2個圓，為什么倍數關系卻不相同？”和“現在出來的都是6個圓，怎么它們的倍數關系還在變化呢？”感悟標準量、比較量和倍數之間變與不變的關系，加深學生對標準量1份數的理解，加深幾個幾和倍之間的聯系，幫助學生厘清“倍”的結構關系。

4. 辨析概念間關系

通過對比和辨析，可以加深學生對概念的正確理解與建構。在小結中，溝通了倍比和差比的新舊知識聯系，幫助學生梳理知識，明確概念，形成網絡。

借助“比”，將學生的畫圖表征、語言表征、概念理解、數理表述都有機地結合起來，讓學生看著自己的圖來說理，降低了數理表述的難度，數學的“多元表征”讓原本“高冷”的數理瞬間變得親切，自然，也讓學生對倍本質的理解變得更加直觀。

（三）以“用”為根，策略模型化

畫是為了最終的“不畫”，數學的學習最終要走向生活應用。這里通過3道精心設計的練習題，讓學生層層深入，直擊“倍”的本質。

練習一從整齊排列到雜亂無章，打破之前建立的倍的直觀模型，迫使他們去關注倍的本質——幾個幾，實現了從圖到數的轉變。練習二通過解決“藍珠子是紅珠子的（ ）倍”這樣一個問題，從一串手鏈到2串、3串手鏈，把一道題用透、用深，讓學生初步感知兩個量都成倍增加時，它們之間的倍數關系是保持不變的。練習三是長方形色塊的涂色問題。一方面，從之前的實物抽象到圖形，更為重要的是之前所接觸的倍都是兩個物體之間的比較，這里是部分與整體的比較。同時還讓學生直觀感知了除整數倍外，還有小數倍、分數倍，把倍的內涵從整數擴展到分數，打通了與后續知識的聯系。另一方面，通過“形”直觀體驗變化的規律，感受一個數據隨著另一個數據的變化而變化的過程，初步體驗函數思想。

曹培英老師對學生幾何直觀能力培養分為三個層次：一是直觀感知水平能力，二是直觀理解水平能力，三是直觀深化水平能力。筆者的本堂課，雖是“倍”概念的起始課，但也遵循曹老師的三個層次，數學魔盒的識2倍，是第一層次，是個體理解，屬于特殊情況;之后的2倍的集合模型和多倍認識，屬于一般化情況，是第二層次;在串珠、長方形色塊涂色中，屬于系統化情況，是第三層次?？偟膩碚f，筆者借助“畫”，通過“比”，回歸“用”，既符合學生的認知思維，又促使他們對“倍”進行了深入探究，讓“倍”在學生的頭腦中深度發生。

（浙江省寧波市鎮海蛟川雙語小學，寧波 315000）