構建思路鏈 有路追本溯源

陳秀美

摘 ?要：算法是一種經過歸納、形成模式的計算程序，是解決“怎樣計算”的問題。算理則是說明“為什么這樣算”的數學原理，它是算法的數學依據，展示了整個解題思路，為學生形成可操作化的計算指明了方向，是學生運算能力形成與提高的保障。

關鍵詞：實際操作;直觀算理;數形結合;內化算理;經驗轉化

【中圖分類號】G622.0 ? ?【文獻標識碼】A ? ? ? 【文章編號】1005-8877（2021）05-0179-02

There is a way to build a chain of ideas and trace its origin

——Analysis algorithm

CHEN Xiumei ?（Jinguang primary school，Quanzhou City，Fujian Province，china）

【Abstract】The algorithm is a kind of calculation program which has been induced and formed a pattern，and it is to solve the problem of "how to calculate". Calculation principle is the mathematical principle to explain "why to calculate like this"，it is the mathematical basis of the algorithm，shows the whole idea of solving problems，points out the direction for students to form operable calculation，and is the guarantee for the formation and improvement of students' computing ability.

【Keywords】Practical operation;Intuitive calculation;Combination of number and shape;Internalization calculation;Experience transformation

在一次作為教師資格證面試官的時候。有個考生抽到的是分數乘法（1）這課。她整節課都只是在教學生應用分數乘法計算方法：分數乘整數，分母不變，分子相乘。然后進行計算練習。在考官提問時，我們提出：“你知道為什么要這樣計算嗎？”她說：“沒有為什么呀！我們以前的老師就是這樣教我們的。”我們再提出：“請你再看看教學目標：經歷分數乘法計算方法的探索過程，理解分數乘法的意義。而教材前部分出現大幅板塊的目的是什么？”其實這個考生忽略了這節課的重點：分數乘法的算理。她說的也沒錯，在以前印象中的學習時確實也只教算法。但隨著教學改革，教學素養的要求有了很大的提高。這位考生沒有去研究新的教學課程標準以及研讀教材。而對于現在在教學中增加的算理學習，也讓一部分老教師感到不適應，覺得這增加了教學工作量，只要學生會計算就可以了，算理部分的探索往往一帶而過。我想現在的教學更多的是要培養學生的技能?！凹肌本褪羌夹g，會解題?！澳堋本褪悄芰Γ瑫约禾剿鳎芯?，而明理。所以在數學教學中的分析算理部分是非常重要的。

算法是一種經過歸納、形成模式的計算程序，是解決“怎樣計算”的問題。算理則是說明“為什么這樣算”的數學原理，它是算法的數學依據，展示了整個解題思路，為學生形成可操作化的計算指明了方向，是學生運算能力形成與提高的保障。那么怎樣引導學生析算理，而明算法呢？我覺得對于這部分教學還不是很了解的老師，重點就是研讀教材。在小學階段的教材中出現算理教學的方法一般如下：一是實際操作，直觀理解算理;二是數形結合，內化理解算理;三是經驗轉化，優化理解算理。

1.實際操作，直觀理解算理

實際操作一般是利用實物圖，數學學具（小棒、計數器、幾何圖形等），引導學生通過動手擺一擺，理解計算的過程。例如，在二年級下冊《有余數的除法》，在這章節中要結合搭正方形的操作過程，認識余數，讓學生經歷探索余數和除數的關系，理解有余數除法豎式各部分的意思。因為剛接觸余數和除數的關系，所以對于學生來說是比較抽象的。因此在教學過程中要安排大量的實踐操作讓學生進行探索。通過用一組連續根數的小棒擺大正方形的活動，如：14、15、16....20根，引導學生探索有余數除法的意義。學生在操作中會發現有時小棒會剛好用完，有時小棒還會有剩余。這時老師就引出了余數這個概念。為了突破余數要比除數小的這個道理，引導學生在操作中觀察隨著小棒數量的增加，剩余的小棒也相應的增加，但增加到一定的程度，小棒剛好用完，再繼續下去，又出現了之前的現象，重復著的這個過程可以幫助學生清楚地觀察余數從無到有，從有到無的過程。通過搭一搭的過程進一步引導學生掌握豎式的寫法以及理解豎式各部分的意思。在此搭一搭的實踐操作過程為學生理解余數提供了形象化的支撐。再如，小學數學教師在教授學生平行四邊形與長方形及正方形之間的關系時，教師可以采用實踐操作法，讓學生自主發現并直觀理解算理。教師要求學生們用刻度尺與量角器自行測量某一事物的四邊長短以及它們的角，在做完基礎工作后，教師則要學生們自行總結比較測量后得出的結論。學生通過實踐操作發現正方形與長方形實際上都是平行四邊形的一種，只不過它們較為特殊，另外還有正方形的四邊相等、而長方形與平行四邊形都是對邊相等等等結論。這時教師則需要再次向學生提問：“為什么？”進一步激發學生思考，深入分析自己所得結論的理由。學生可以從測量結論入手倒敘分析，也可以講述自己所得結論的過程以及推測思路，進而對數學的抽象算理分析有根有據，這不但給數學課堂探究提供了機會，更是使學生的數學思維活性得到進一步的強化。

2.數形結合，內化理解算理

以形論數，以數表形，把抽象的過程直觀的展示出來，內化突破了算理中的難點。在教學分數乘整數時，許多學生已經在家長或課外自學中了解了計算法則：分母不變，分子和整數相乘。如果以為學生已經會計算了，那么這節課也就沒什么可以教了。但這節課的難點是理解：為什么分母不變。此時就要引導學生進行探索。比如： 3/7 ?2× ? ?學生可以畫線段圖：

畫幾何圖：

引導學生從圖中看出2個的 相加，分數單位一樣都是 ，這樣就有2個3的 。內化理解了為什么分母不變的難點。

又如： ÷3 ?首先引導學生理解是把 平均分成3份。

從圖上可以看出來平均分成3份，也就是 的 ，溝通了

分數除法與分數乘法的本質的聯系，幫助學生內化并理解分數除以整數的算理。再如，教師在教授學生學習20以內的加減法時，學生較快掌握的知識則是湊十法，利用湊十法的算理完成數學運算學習時，如17-9=8，教師可以引導學生首先思考10-9=？學生很快算出來答案10-9=1。接著再用1+7=8，從而得出17-9=8。但是在應用此算法的過程中，還是會有極少數的學生反應較慢，這時教師就可以準許學生在計算加減法的時候，可以借助手指來完成，當然僅限于20以內的加減法，同時還要學生們講出其中的算理。依舊是問題17-9=8，學生可以首先在手指上將17數出來，然后在從開始數數的起點依次去掉9，剩下的手指數為8，從而得出17-9=8。這種通過數形結合的方法來幫助學生將算理進行內化，使學生的數學運算能力獲得有效的提升。

3.經驗轉化，優化理解算理

“轉化”既是數學思想又是一種有效的學習策略，伴隨著學生的學習過程，借助學生原有的計算經驗，已認知的概念、定律等，通過聯系舊知，延伸新知，打通舊知與新知的脈絡理解算理，由一個算理自然而然生成另一個算理。例如，分數乘整數的教材例題：

1個 占一張紙條的 ，3個 占整張紙的幾分之幾？

學生運用以往經驗，可以用加法計算或乘法計算。運用加法計算是直接用已學的分數加法的運算法則進行計算。運用乘法計算，先是用乘法意義，把分數乘法轉化為分數加法，再用分數加法運算法則計算出最終得數。接著引導學生觀察用乘法計算的演算過程，發現分數乘整數計算時分母不變，整數和分子相乘。這樣在解析算理的過程中，學生自然而然地明白了計算方法，優化理解算理的過程，以舊帶新再構新算理，得出新的計算法則。

比如，在多邊形面積的計算教學中尤其突出，轉化思想貫穿整個教學過程。平行四邊形轉化為長方形，三角形轉化為平行四邊形，梯形轉化為平行四邊形或三角形等。這些多邊形的面積計算推導是一環扣一環。在教學的一開始，重點是引導學生研究平行四邊形轉化成長方形。觀察，分析兩個圖形之間的關系。

引導學生觀察得到：平行四邊形的底相當于長方形的長，平行四邊形的高相當于長方形的寬。因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。而第二種剪拼法又為梯形的面積計算推導埋下伏筆。另外三角形的面積計算公式的推導也是要多加以引導。在前面平行四邊形面積計算推導的基礎上，學生懂得用轉化思想來解決問題，但平行四邊形用的是剪拼的方法，是在一個圖形上做文章。而三角形的面積推導，要采用填補法，填補成一個平行四邊形，相當于兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形。公式的推導中，底×高÷2，要讓學生理解÷2的由來。在學生的腦子中形成深刻的印象：三角形的面積就是同底等高平行四邊形面積的一半。這樣學生才不會經常忘了÷2。同理，在知道了三角形面積和其中的底或高，要求另一條底或高。要先用三角形面積×2÷底（高），也就是要先把三角形轉化成平行四邊形，要用兩個完全一樣的三角形拼，就要先×2，因為同底等高，所以接著再÷底（高），即使學生忘記了公式，但是記得轉化的推導過程，也能順利的解決問題。至于梯形的面積計算公式的推導在綜合經歷了平行四邊形和三角形面積計算公式的推導后，學生也能運用轉化思想探索出梯形的面積公式。在學習讀億以內的數時，教師應該從關鍵環節著手，讓學生們在已有的經驗前提下進行數學探索：首先，教師在黑板上寫出一個萬以內的數，并讓學生將它準確的讀出來，邀請一位學生說一說讀此數的方法。其次，教師在黑板上再次寫出一個含有兩級的數，讓學生以小組的方式進行討論，探討這些數同之前的數有什么不同？在讀法上又有什么區別？學生在討論探索中將新舊知識聯系在一起，并根據問題分析兩者之間的區別，從而發現知識的生長點，采用知識遷徙的方法完成對新知識的理解和記憶。最后，教師在向學生出示一組數比，并解散小組，讓學生們獨立完成探索，并嘗試將這組數準確的讀出來，通過任務的設定促使學生去尋找問題的答案，并通過已掌握的知識對其進行分級。在這樣的自主探究中，學生結合舊知經驗完成了讀億以內的數中數字“0”的讀法，然后自己再將探索出的結果進行有效的總結，這種通過自主探索，聯系舊知經驗的方法得出的算理，會在學生的數學系統學習中“難以忘卻”，這使得學生數學學習質量及有效性得到了保障，同時也讓學生的數學邏輯思維能力及思維縝密性得到了鍛煉和提升。

教學不但要讓學生在直觀中明白算理，還要讓學生掌握抽象的法則，更重要的是讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程。算法的掌握應該和算理的理解統一起來，在分析算理的過程中明白計算法則的由來，使學生不僅知其然，而且知其所以然。有自主學習的能力會思考，會想象，會推理，會解釋，會總結等，養成勇于探索的精神。在教學中筆者始終圍繞“構建清晰的思路鏈，讓學生有路追本溯源”這一思想宗旨。讓學生打破死記硬背公式，懂得沿著一定的思路鏈自行探索，推理，掌握解決問題的策略。

參考文獻

[1]北京師范大學出版社出版.義務教育數學課程標準，2011

[2]北京師范大學出版社出版.數學教師教學用書，2016