“幾何概型”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

王曉紅

教學(xué)內(nèi)容：人教版高中二年級(jí)數(shù)學(xué)必修3第三章概率第三節(jié)幾何概型第1課時(shí)。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過本節(jié)課的教學(xué)，讓學(xué)生理解幾何概型的實(shí)質(zhì)性概念;掌握其概率計(jì)算公式;能夠區(qū)分幾何概型與古典概型，并能發(fā)現(xiàn)他們之間的聯(lián)系，并能正確識(shí)別不同的概率模型。

2.通過問題探究及辨析，形成概念，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念生成的過程，找到數(shù)學(xué)的樂趣。通過類比古典概型，推理幾何概型問題，并提出解決幾何概型問題的想法。

3.通過故事情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過學(xué)生自主探究、合作交流，初步形成建立數(shù)學(xué)模型的能力，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)。

教學(xué)重點(diǎn)：

理解幾何概型的概念及兩個(gè)特征，會(huì)應(yīng)用其計(jì)算公式。

教學(xué)難點(diǎn)：

會(huì)判斷幾何概型類型，無限過渡到有限，建立合理的幾何模型求解概率。

教具準(zhǔn)備：多媒體課件和幾何畫板軟件等。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

探究一：

問題1：在數(shù)軸上，從區(qū)間[0，9]上任取一個(gè)整數(shù)，恰好取在區(qū)間[2，4]上的概率為多少？

問題2：在數(shù)軸上，在區(qū)間[0，9]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，恰好取在區(qū)間[2，4]上的概率為多少？

探究二：

下圖是小明家廚房的和書房的地面示意圖，廚房每一塊方磚除顏色外完全相同，書房的地面輪廓是正方形，灰色部分是以正方形邊長為直徑做的半圓圍成的，一只甲殼蟲在廚房和書房中自由地飛來飛去，并隨意地停留在地面的任何一個(gè)位置上（假設(shè)甲殼蟲不落在邊界上），請問：

（1）甲殼蟲在廚房停留在黑色區(qū)域的概率有多大？

（2）甲殼蟲在書房停留在灰色區(qū)域的概率有多大？

探究三：

晚上，小明想抓住這只在書房里亂飛的甲殼蟲，于是他只打開了屋頂最中間的一個(gè)射燈，射燈照明的范圍大概是一個(gè)圓錐體（如圖），底邊半徑為，忽略書房內(nèi)陳設(shè)可把書房抽象成一個(gè)長方體，長寬高依次為a，a，b。設(shè)甲殼蟲在房間的每一個(gè)點(diǎn)都是等可能的，求它飛入射燈照明范圍內(nèi)的概率。

學(xué)生主體活動(dòng)：創(chuàng)設(shè)問題情境，探索新的解決辦法，讓學(xué)生給出思路和答案。

設(shè)計(jì)意圖：通過解決問題，回顧古典概型的相關(guān)知識(shí)，對比問題2形成認(rèn)知沖突，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新的解決辦法。通過對以上3題的探究，發(fā)現(xiàn)共性與本質(zhì)，歸納出概念。

二、歸納總結(jié)，知識(shí)梳理

1.幾何概型的概念。

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

2.概率計(jì)算公式。

3.幾何概型的基本特點(diǎn)。

①試驗(yàn)中的基本事件有無限多個(gè);

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

4.古典概型與幾何概型的區(qū)別。

相同點(diǎn)：基本事件發(fā)生的可能性相等。

不同點(diǎn)：古典概型的基本事件是有限個(gè)，幾何概型的基本事件有無限個(gè)。

三、辨析舉例，推廣應(yīng)用

例1：

題組一

1， 在一個(gè)面積為S的三角形ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，求使S△PBC>S的概率。

2， 在一個(gè)面積為S的三角形ABC面內(nèi)任取一點(diǎn)P，求使S△PBC>S的概率。

題組二：

1.在一個(gè)體積為V的四棱錐F-ABCD的面FBC上任取一點(diǎn)P，求使得四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD>V的概率。

2.在一個(gè)體積為V的四棱錐F-ABCD的體內(nèi)任取一點(diǎn)P，求使得四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD>V的概率。

題組三：

1.有一個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤如圖所示，求轉(zhuǎn)動(dòng)停止后指針在紅色區(qū)域的概率。當(dāng)轉(zhuǎn)盤等比例縮小時(shí)，這時(shí)指針停在紅色區(qū)域的概率有變化嗎？

2.如果將上題的轉(zhuǎn)盤盤面制作成靶子，若某同學(xué)向靶子射飛鏢，假設(shè)一定能中靶，求飛鏢落在紅色區(qū)域的概率。

題組四：

1.等腰Rt△ABC中，∠C=90？紫，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求∠CAM<30？紫的概率。

2.等腰Rt△ABC中，∠C=90？紫，在∠CAB內(nèi)任意作射線交線段BC于點(diǎn)M，求∠CAM<30？紫的概率。

學(xué)生活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)不同，深入體會(huì)。

設(shè)計(jì)意圖：辨析與長度和面積相關(guān)的幾何概型;辨析與面積與體積相關(guān)的幾何概型;辨析與面積與角度與弧長相關(guān)的幾何概型;辨析與長度與面積相關(guān)的幾何概型。

例2：

暑假的一天，小明打算坐公交車去動(dòng)物園，他要乘坐的公交車每隔15分鐘有一輛，已知小明任意時(shí)刻到達(dá)車站，試問小明到達(dá)車站候車時(shí)間大于10分鐘的概率？

設(shè)計(jì)意圖：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題來解決。

思考題：

小明和好友小亮約定在動(dòng)物園門口見面一起入園游玩，假定兩人都在上午10：00-11：00之間隨機(jī)到達(dá)，先到者等另一個(gè)人20分鐘，過時(shí)不等，先到者就自己獨(dú)自入園，求兩人能見面一起入園游玩的概率？

設(shè)計(jì)意圖：由一維到二維，思維難度加大。

四、鞏固升華，總結(jié)概括

由學(xué)生自主回顧本節(jié)內(nèi)容小結(jié)一下。然后結(jié)合學(xué)生的小結(jié)，教師做以下總結(jié)：

古典幾何等可能，

有限無限各不同。

概率即為測度比，

長面體角要分清。

設(shè)計(jì)意圖：借用小詩，加深對本節(jié)課基礎(chǔ)知識(shí)的理解。

反思：

本節(jié)課通過問題探究及辨析，形成數(shù)學(xué)概念，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念生成的過程;通過類比古典概型，推理幾何概型問題，并提出解決幾何概型問題想法;通過故事情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣;通過引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，合理利用隨機(jī)、統(tǒng)計(jì)、化歸、屬性結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法有效解決有關(guān)的概率問題;通過學(xué)生自主探究、合作交流，初步形成建立數(shù)學(xué)模型的能力。我認(rèn)為本節(jié)課的最大亮點(diǎn)是我在問題對比過程中設(shè)計(jì)的問題很清晰，層層遞進(jìn)，類比轉(zhuǎn)化，學(xué)生對概念的辨析透徹。

本節(jié)課不足：由于難點(diǎn)是讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)有限和無限之間的對應(yīng)轉(zhuǎn)化，從而解決無限難以計(jì)算的問題，在問題設(shè)置中我應(yīng)該加強(qiáng)對引起學(xué)生思維困惑后的引導(dǎo)。學(xué)生在理解有限與無限的內(nèi)在對應(yīng)問題上，邏輯上認(rèn)識(shí)不夠清晰，所以應(yīng)該再細(xì)化概念生成過程中的問題，讓學(xué)生自主探索、合作交流再深入一些效果可能會(huì)更好。

編輯/魏繼軍