L型耦合板模型振動(dòng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)方差分析

蔡延年，張文春，石巍，王鐵鈞，王大鵬

（中車大連機(jī)車車輛有限公司 遼寧省軌道交通車輛設(shè)計(jì)制造專業(yè)技術(shù)創(chuàng)新中心，遼寧 大連 116026）

自20世紀(jì)60年代提出以來，統(tǒng)計(jì)能量分析法（Statistic energy analysis，SEA）已經(jīng)廣泛應(yīng)用于軌道交通，航空航天，汽車，船舶等行業(yè)的聲振響應(yīng)預(yù)測與控制問題。這一方法的本質(zhì)是從能量角度出發(fā)，分析和研究振動(dòng)與聲的統(tǒng)計(jì)處理方法。所以，“統(tǒng)計(jì)”具有特定含義，是指把研究對象劃分成不同的子系統(tǒng)后，假定每個(gè)子系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布為已知的統(tǒng)計(jì)總體，該統(tǒng)計(jì)總體有一系列名義上的同類子系統(tǒng)組合而成。同類子系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)上的差異在給定的頻率范圍內(nèi)具有隨機(jī)分布的特性。任意子系統(tǒng)均可視為統(tǒng)計(jì)總體的一個(gè)樣本。由于子系統(tǒng)具備統(tǒng)計(jì)特性，子系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)也是隨機(jī)變量，那么統(tǒng)計(jì)總體在給定輸入激勵(lì)下的響應(yīng)也是隨機(jī)變量。作為隨機(jī)變量，有必要對響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均值及其方差方面的統(tǒng)計(jì)性分析。

Lyon首次研究了SEA模型的統(tǒng)計(jì)方差問題[1]，以結(jié)構(gòu)和房間等簡單模型為研究對象，給出了其輸入功率和響應(yīng)的方差。Langley等[2-7]針對統(tǒng)計(jì)能量分析原理涉及的統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題進(jìn)行了一系列分析，在理論計(jì)算，數(shù)值分析及試驗(yàn)驗(yàn)證方面均有所建樹，極大地促進(jìn)了這一細(xì)分研究方向的發(fā)展。國內(nèi)方面，廖慶斌等[8-10]分析了統(tǒng)計(jì)能量分析中響應(yīng)統(tǒng)計(jì)估計(jì)的研究進(jìn)展，隨機(jī)結(jié)構(gòu)及復(fù)雜耦合動(dòng)力系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性問題。

本文基于統(tǒng)計(jì)能量分析原理，分析集中力作用下L型耦合板的振動(dòng)響應(yīng)，計(jì)算擾動(dòng)輸入情況下響應(yīng)速度的平均值及95%置信區(qū)間的分布情況，討論模態(tài)重疊因子，平均帶寬寬度對統(tǒng)計(jì)方差的影響。

1 基本原理

在滿足統(tǒng)計(jì)能量分析法的基本假設(shè)條件下[11]，依據(jù)能量守恒原理建立不同子系統(tǒng)間的功率流平衡方程：

式中：ω為圓頻率，ηj為子系統(tǒng)j的內(nèi)損耗因子，Ej為子系統(tǒng)j的能量，ηjk為子系統(tǒng)j及k間的耦合損耗因子,nj和nk分別為子系統(tǒng)j及k的模態(tài)密度，Pj為子系統(tǒng)j的輸入功率。

以矩陣形式擴(kuò)展表示式（1），有：

式中：P為每個(gè)子系統(tǒng)輸入功率向量為子系統(tǒng)總體平均模態(tài)能量=Ej/nj，N階矩陣C為

當(dāng)矩陣C和向量P具備隨機(jī)特性且存在擾動(dòng)情況下，式（2）改寫為

式中：C0為矩陣C的確定性分量，Pran為擾動(dòng)分量；Pin為輸入功率的確定性分量，Pran同樣為擾動(dòng)分量。

假設(shè)系統(tǒng)中存在的隨機(jī)擾動(dòng)很小，可以忽略擾動(dòng)分量的二次項(xiàng)，對式（5）求逆，僅保留一階攝動(dòng)項(xiàng)：

假定擾動(dòng)分量相互獨(dú)立，進(jìn)一步推導(dǎo)系統(tǒng)能量的方差表達(dá)式：

式中，αk為子系統(tǒng)k外部輸入功率方差及模態(tài)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性的參數(shù)，不同激勵(lì)形式及模態(tài)振型統(tǒng)計(jì)特性下的計(jì)算方法均不相同[10]；αks為耦合系數(shù)；m′k為由子系統(tǒng)k的凈等效損耗因子η′k（包含內(nèi)損耗因子及耦合損耗因子）引起的半功率帶寬模態(tài)重疊因子，其表達(dá)式為m′k=ωη′knk；B′k為與頻率平均帶寬Δ相關(guān)的帶寬參數(shù)，其表達(dá)式為函數(shù)r2表示子系統(tǒng)響應(yīng)的相對方差，由Langley基于高斯正交統(tǒng)計(jì)假設(shè)[3]給出，單一子系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)作用下能量的相對方差r2的表達(dá)式：

式中：α為載荷類型參數(shù)，m為模態(tài)重疊因子，B為帶寬參數(shù)。

2 計(jì)算模型

L型耦合板結(jié)構(gòu)在各個(gè)行業(yè)應(yīng)用廣泛，在軌道交通行業(yè)中主要是組成車體結(jié)構(gòu)的重要構(gòu)件，L型板耦合結(jié)構(gòu)常見于邊角位置。以圖1所示的L型耦合板模型為研究對象,該耦合板模型由長板和短板組成，兩板件間夾角為直角。長板尺寸為0.6 m×0.8 m，短板尺寸為0.6 m×0.4 m。板件材質(zhì)為鋼，厚度為3 mm，具體屬性如表1所示。長板中心位置受到集中力作用，在分析頻段63 Hz～8 000 Hz內(nèi)的幅值均為1 N。

圖1 L型耦合板模型示意圖

表1 L型耦合板模型基本參數(shù)

3 響應(yīng)方差分析

基于統(tǒng)計(jì)能量分析原理的聲振預(yù)示實(shí)質(zhì)是利用頻帶內(nèi)子系統(tǒng)的模態(tài)群振動(dòng)能量計(jì)算不同子系統(tǒng)的平均振動(dòng)能量，但實(shí)際應(yīng)用中任意子系統(tǒng)實(shí)際具備的能量無法精確地等于統(tǒng)計(jì)能量分析法計(jì)算得到的平均能量。所以，只有對聲振平均響應(yīng)能量進(jìn)行方差分析，才能掌握子系統(tǒng)平均能量偏離其平均值的程度。僅在方差與平均值相比是相對較小時(shí)，其平均計(jì)算結(jié)果具備實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，否則應(yīng)以置信區(qū)間形式。

長板和短板的振動(dòng)速度響應(yīng)及其95 %置信區(qū)間情況分別如圖2及圖3所示。由圖2及圖3可以看出，頻率由低不斷升高，95 %置信區(qū)間范圍不斷縮小，振動(dòng)速度響應(yīng)結(jié)果的方差逐漸趨于零，此時(shí)具有很大概率接近平均速度響應(yīng)，振動(dòng)速度可以使用單一的統(tǒng)計(jì)量估算結(jié)果表示。

圖2 長板振動(dòng)速度響應(yīng)及其95%置信區(qū)間

圖3 短板振動(dòng)速度響應(yīng)及其95%置信區(qū)間

圖4及圖5是長板和短板振動(dòng)速度響應(yīng)的95%置信區(qū)間確定的偏差上下限與其平均值的比值情況，縱坐標(biāo)以偏差百分?jǐn)?shù)表示。在較低頻段，特別是63 Hz中心頻率處，長板的上、下限偏差百分?jǐn)?shù)分別為20.4%及18.6%，短板的上、下限偏差百分?jǐn)?shù)分別達(dá)到29.0%及25.4%，相對較大的偏差說明估算結(jié)果接近其平均值的概率很小，此時(shí)僅以振動(dòng)速度平均值表示這一頻段的振動(dòng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性難以保證，需要以置信區(qū)間的表示形式。

圖4 長板振動(dòng)速度響應(yīng)相對偏差

圖5 短板振動(dòng)速度響應(yīng)相對偏差

圖6為長板和短板的模態(tài)重疊因子計(jì)算結(jié)果，隨著頻率的升高，模態(tài)重疊因子不斷增加。由于長板面積為短板的2倍，同一頻段下的長板模態(tài)重疊因子為短板的2倍。以63 Hz為中心頻率的頻段下，長板的模態(tài)重疊因子為0.005 0，短板的模態(tài)重疊因子為0.002 5。過低的模態(tài)重疊因子條件下，子系統(tǒng)的模態(tài)數(shù)目不足，使得SEA的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生無法預(yù)知的波動(dòng)和偏差，導(dǎo)致這一頻段的振動(dòng)速度響應(yīng)上、下限偏差百分?jǐn)?shù)過大。結(jié)合式（10）可知，隨頻率升高而減小的方差是由模態(tài)重疊因子的增加所引起。

圖6 長板及短板的模態(tài)重疊因子

不同帶寬寬度的平均方式對方差的影響如圖7及圖8所示。圖7和圖8分別為短板振動(dòng)速度的功率譜密度（Power spectral density，PSD）的1/3倍頻程及1/1倍頻程結(jié)果。圖7和圖8的參考值為1(m/s2)/Hz，灰色區(qū)域表示95%置信區(qū)間的覆蓋區(qū)域，其面積代表PSD計(jì)算結(jié)果的方差大小。

圖7 1/3倍頻程短板PSD及其95%置信區(qū)間

由圖7和圖8可知，1/1倍頻程的灰色區(qū)域顯著小于1/3倍頻程結(jié)果。這一結(jié)果表明平均帶寬的寬度越寬，方差越小。擴(kuò)展求解帶寬的寬度能夠明顯減小聲振平均響應(yīng)的方差，改善計(jì)算精度。

圖8 1/1倍頻程短板PSD及其95%置信區(qū)間

4 結(jié)語

利用統(tǒng)計(jì)能量分析原理對L型耦合板進(jìn)行了振動(dòng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)方差分析，得到了耦合板結(jié)構(gòu)不同組件在集中力作用下的振動(dòng)速度響應(yīng)平均值及其95%置信區(qū)間，研究結(jié)果指出：

（1）隨著頻率（模態(tài)重疊因子）的升高，振動(dòng)響應(yīng)平均值的方差逐漸減小。

（2）由于較低頻段的模態(tài)重疊因子較低，應(yīng)使用振動(dòng)響應(yīng)平均值及95%置信區(qū)間的形式給出其統(tǒng)計(jì)能量分析結(jié)果；進(jìn)入較高頻段后，則可以使用單一的統(tǒng)計(jì)量結(jié)果表示振動(dòng)響應(yīng)。

（3）求解平均帶寬的增加可以改善方差較大的不利結(jié)果，有助于提高聲振響應(yīng)計(jì)算精度。