矩形板受分布荷載作用下的解析解

李壯飛，寇子琦，劉 海，侯鋼領(lǐng)，王濱生，*

(1. 哈爾濱工程大學(xué) 土木工程系，哈爾濱 150001；2. 中核四〇四有限公司 第二分公司，蘭州 732850)

彈性板在工程中使用非常廣泛，尤其是彈性薄板更為普遍.其中三邊固支一邊自由的矩形板廣泛應(yīng)用于航空、船舶、核電、水利工程中，如土木工程的擋土墻、核安全殼屏蔽結(jié)構(gòu)[1]等均可視為具有該邊界條件的板.因此，一種精確且簡單的板彎曲解決方案具有顯著的實(shí)際意義.

本文依托我國某石墨慢化沸水堆承重水箱實(shí)際工程項(xiàng)目，研究核設(shè)施的安全特性和風(fēng)險(xiǎn)評估.為研究反應(yīng)堆內(nèi)承重水箱的最弱失效位置，通過剛度等效和厚度等效建立了該水箱的簡化模型.一般矩形容器問題通常轉(zhuǎn)化為三邊固支一邊自由的板殼問題來解決，分析矩形板的各種受力工況，本研究的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)在于：矩形板側(cè)面承受分布線荷載的求解.工程簡介如圖1所示.關(guān)于矩形板彎曲問題，大多數(shù)研究都是應(yīng)用邊界條件簡化板邊約束，這需要沿邊線對其一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行偏轉(zhuǎn).然而當(dāng)載荷和邊界條件過于復(fù)雜且無法用函數(shù)式表示時(shí)，這會導(dǎo)致基本撓度方程無法適用，甚至難以求解.對矩形薄板彎曲問題，可以從對邊簡支板的Navier解出發(fā)，利用雙三角級數(shù)方法解決[2].對于一般邊界的矩形薄板通常采用疊加法或補(bǔ)充項(xiàng)的方法解決[3-5].針對其他邊界類型的板采用復(fù)變函數(shù)法、有限積分法、辛彈性力學(xué)法.如ULLAH等[6]引入雙重有限積分變換方法，探討了帶有角支撐的矩形薄板的解析彎曲解，給出了特定邊界條件下板彎曲的一般精確解析解.LI等[7]采用辛疊加法研究了三個(gè)角點(diǎn)支撐的矩形薄板彎曲問題.SHI等[8]通過疊加經(jīng)典的Navier和Levy解，研究了在集中力作用下具有旋轉(zhuǎn)約束邊緣的矩形板的彎曲問題.ZHANG等[9]通過廣義積分變換將高階偏微分方程簡化為線性代數(shù)方程的方法探索了組合薄板在簡單簡支、固支和自由邊界條件下的彎曲解析解.

圖1 工程簡介

值得注意的是，上述研究缺乏矩形板在側(cè)面分布線荷載作用時(shí)的實(shí)際工程研究.目前關(guān)于核安全殼工程項(xiàng)目中板類計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用研究相對較少.因此，本文依托我國某石墨慢化沸水反應(yīng)堆的承重水箱實(shí)際工程項(xiàng)目，通過結(jié)構(gòu)簡化，分離出此種矩形板受力工況，以三邊固支一邊自由矩形板受側(cè)面分布線荷載作用下的彎曲作為研究內(nèi)容，依據(jù)Kirchhoff薄板理論，采用雙向三角級數(shù)來表示撓度函數(shù)，把復(fù)雜板面分布荷載轉(zhuǎn)化為經(jīng)典矩形板的邊界條件，然后求解滿足邊界條件的線性方程組建立了基于靜態(tài)的薄板在分布線荷載作用下的彎曲分析模型.本解法與經(jīng)典Levy解的原理一致，并克服了經(jīng)典Levy針對板面荷載過于復(fù)雜時(shí)無法用解析式表達(dá)的局限性.

1 基本方程和邊界條件

矩形板的邊長分別為a和d，邊界條件為三邊固支一邊自由.當(dāng)板側(cè)面作用法向載荷q(x,y)時(shí)，基本微分方程：

(1)

設(shè)方程(1)解的形式為

w(x,y)=w*(x,y)+w0(x,y)

式中：w*(x,y)為方程(1)的非齊次方程特解；w0(x,y)為方程(1)的齊次方程的通解.

圖2所示矩形板，y=d為自由邊界，其余三邊固支，沿y=c的直線OO′上分布有線荷載V0(x)和M0(x)，其中線荷載V0(x)是豎直性質(zhì)的荷載；M0(x)為力矩性質(zhì)的荷載，它們的正方向如圖2所示.

圖2 矩形板結(jié)構(gòu)

為方便敘述，下文內(nèi)容凡提到w，w1，w2時(shí)，無特殊說明，均代表含有x，y的二元函數(shù).設(shè)圖2中矩形板的撓度為w，顯然它并不能用一個(gè)連續(xù)的函數(shù)來表示，設(shè)位于0≤y≤c的區(qū)域上，矩形板的撓度表達(dá)式為w1，位于c≤y≤d的區(qū)域上，板的撓度為w2，則w1和w2分別滿足以下2個(gè)方程：

▽2▽2w1=0, 0≤y≤c

▽2▽2w2=0,c≤y≤d

同時(shí)也要滿足12個(gè)邊界條件，即沿薄板周邊的8個(gè)和沿OO′線上的4個(gè)，分別為

x=0邊上：

x=a邊上：

y=0邊上：

y=d自由邊上：

沿OO′線必須滿足4個(gè)邊界條件：

w1(x,c)=w2(x,0)

Vy1-Vy2=V0(x)

M1-M2=M0(x)

2 邊界條件下的基本微分方程的解

為表示板的雙向彎曲變形，設(shè)通解中w1和w2的表達(dá)式是各包含8個(gè)待定常數(shù)的雙向三角級數(shù)，圖3表示了[0，c]區(qū)間上矩形板的荷載和邊界情況，圖4表示了[c，d]區(qū)間上矩形板的荷載和邊界情況.其中w2的y坐標(biāo)零點(diǎn)設(shè)在整塊板的y=c處.

圖3 [0,c]區(qū)間荷載

圖4 [c,d]區(qū)間荷載

(2)

(3)

式中：Am，Bm，Cm，Dm，En，F(xiàn)n，Gn，Hn，Im，Jm，Km，Lm，Mn，Nn，On，Pn為16個(gè)待定常數(shù).

w1的三邊邊界條件所對應(yīng)的線性方程組見表1.

表1 w1(x,y)邊界條件對應(yīng)的方程式

w2的三邊邊界條件所對應(yīng)的線性方程組見表2.

表2 w2(x,y)邊界條件對應(yīng)的方程式

沿OO′線需滿足4個(gè)邊界條件，相對應(yīng)的方程組如表3所示.

表3 OO′線邊界條件對應(yīng)的方程式

將撓度函數(shù)表達(dá)式式(2)、式(3)中的第1個(gè)級數(shù)和第2個(gè)級數(shù)均取前N項(xiàng)時(shí)，聯(lián)立表1—3中16個(gè)方程，可得到16×N階線性方程組.該方程組可采用高斯消元法解得16×N個(gè)待定常數(shù).將求得的待定常數(shù)代入到撓度函數(shù)式，至此求得矩形板在側(cè)面沿線荷載作用下的撓度函數(shù).由撓度函數(shù)表達(dá)式便可進(jìn)一步得到板中每一點(diǎn)的撓度值、彎矩值和應(yīng)力應(yīng)變值.隨著N項(xiàng)的增大，計(jì)算精度會得到顯著的提高.

3 算例與精度檢驗(yàn)

3.1 算例

如圖5所示，矩形板由鋼材制作而成，尺寸為l1×l2×h=18 m×15 m×0.4 m.材料密度取ρ=7850 kg/m3，泊松比取v=0.3，彈性模量E=2.06×1011Pa.邊界條件為三邊固支一邊自由，其中在y=15邊線處自由；在y=3處，承受均勻分布的彎矩M0(單位長度彎矩值為M0)作用，均勻彎矩M0=5×107N·m.計(jì)算該矩形板靜力響應(yīng).

圖5 結(jié)構(gòu)與荷載

依據(jù)上述推導(dǎo)過程，采用Visual Fortran95語言編制程序，給出了相關(guān)撓度、應(yīng)力分量計(jì)算結(jié)果，見圖6.

圖6 本方法計(jì)算結(jié)果

3.2 精度檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證上述力學(xué)模型的正確性，進(jìn)一步利用有限元ANSYS.WORKBENCH18.0軟件計(jì)算分析.首先，在矩形板上選取5個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，分別為P1(9 m,1 m)，P2(9 m,3 m)，P3(9 m,5 m)，P4(9 m,12 m)，P5(9 m,15 m).統(tǒng)計(jì)每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的響應(yīng)值，相應(yīng)的精度誤差Eri定義為

其中，上標(biāo)ref是有限元計(jì)算結(jié)果.

此外，圖8中顯示了有限元模型與本文方法取前16項(xiàng)時(shí)撓度計(jì)算結(jié)果之間的差異.顯然，本方法獲得的撓度響應(yīng)分布與有限元模型結(jié)果非常吻合.

圖8 撓度響應(yīng)分布對比

接著，研究5個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的彎矩響應(yīng).圖9表示取不同項(xiàng)數(shù)時(shí)本方法5個(gè)響應(yīng)點(diǎn)彎矩值的誤差.隨所取項(xiàng)數(shù)的增加，計(jì)算值與有限元值的計(jì)算誤差逐漸減小.每個(gè)點(diǎn)的收斂速度均較快，且取到前6項(xiàng)時(shí)每點(diǎn)的彎矩響應(yīng)誤差均控制在4%以內(nèi)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)增加到前8項(xiàng)時(shí)，誤差已達(dá)到3%以內(nèi).表明本方法在計(jì)算矩形薄板彎矩響應(yīng)時(shí)收斂速度快，計(jì)算精度高.

最后，研究矩形板上的應(yīng)力極值響應(yīng).如圖10所示，與有限元值對比，可以看出，隨所取項(xiàng)數(shù)的增加，計(jì)算值與有限元值兩者逐漸逼近.當(dāng)本方法取到前20項(xiàng)時(shí)，與有限元模型計(jì)算結(jié)果相當(dāng)吻合.

圖11、圖12分別列出了該矩形板的應(yīng)力響應(yīng)分布.結(jié)果表明，本方法獲得的應(yīng)力分量響應(yīng)分布與有限元計(jì)算結(jié)果非常吻合.

圖11 σx應(yīng)力分布對比

圖12 σy應(yīng)力分布對比

4 結(jié)論

針對實(shí)際核安全殼工程項(xiàng)目中的平板類計(jì)算問題，本文給出一種求解矩形板側(cè)面沿線分布均勻荷載時(shí)彎曲問題的方法.該方法確定了矩形板側(cè)面沿直線承受分布荷載時(shí)的撓度和內(nèi)力計(jì)算表達(dá)式，應(yīng)用分段面處函數(shù)的連續(xù)性和突變性，把板面分布荷載轉(zhuǎn)化為經(jīng)典板邊界條件，然后選擇特定的特征函數(shù)，建立了基于靜態(tài)的薄板在均勻線荷載下的彎曲分析模型，給出了線分布荷載作用下三邊固支一邊自由矩形薄板的數(shù)值解.對于相同邊界條件下，當(dāng)板面受到不同形式的線分布荷載時(shí)，只需改變線性方程組等號右端控制方程即可求得問題的解.分析結(jié)果表明，該計(jì)算方法具有收斂速度快、計(jì)算精度高、物理意義明確等優(yōu)點(diǎn).隨所取待定系數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加，計(jì)算精度可以取得令人滿意的結(jié)果.本研究對實(shí)際核安全殼受復(fù)雜載荷的工程問題具有一定的參考價(jià)值.