活用方法　妙解趣題

商月玲　陳紅光

整式乘法中的乘法公式和公式法因式分解一直以來(lái)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。同學(xué)們?cè)诰C合運(yùn)用時(shí)經(jīng)常會(huì)混淆，會(huì)出現(xiàn)“展開(kāi)后分解，分解后再展開(kāi)”的循環(huán)現(xiàn)象，如何正確運(yùn)用這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題呢？下面從一道中考題說(shuō)起。

例 （2020·江蘇淮安）如果一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)”。下列數(shù)中為“幸福數(shù)”的是（ ）。

A.205 B.250 C.502 D.520

【解析】設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)中的一個(gè)奇數(shù)為x，則另一個(gè)奇數(shù)為x+2，由題意得（x+2）2-x2，計(jì)算可得4（x+1），再看四個(gè)選項(xiàng)中，能夠被4整除的即為答案。但在具體計(jì)算時(shí)，可用多種方法。

方法一：（x+2）2-x2=x2+4x+4-x2=4x+4=

4（x+1）。

這種解法是先運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行整式乘法運(yùn)算，再運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解。

方法二：（x+2）2-x2=（x+2-x）（x+2+x）=

2（2x+2）=2×2（x+1）=4（x+1）。

這種解法是先運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，再運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解。

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)D中的520能夠被4整除，故選D。

這兩種解法體現(xiàn)出不同的思路。用方法一的同學(xué)可能熟練掌握了完全平方公式。用方法二的同學(xué)則是抓住了公式的特征直接用平方差公式和提公因式法因式分解，從而解決問(wèn)題。

因式分解與整式乘法是兩種相反的恒等變形 ，整式乘法中有兩個(gè)公式：

平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，

完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2。

這兩個(gè)等式從左到右是整式乘法中的乘法公式，從右到左叫因式分解。整式乘法中的乘法公式和公式法因式分解到底如何靈活運(yùn)用呢？

題目有具體要求時(shí)，同學(xué)們需明確運(yùn)算的目的，從而按照題目要求來(lái)解決問(wèn)題。因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，整式乘法反之。同學(xué)們需抓住每個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征，選擇正確的乘法公式。同學(xué)們需在整體感悟中選擇方法，巧用方法，在逐步分解中靈活運(yùn)用方法解決問(wèn)題。

所以，只要同學(xué)們掌握兩個(gè)乘法公式的特征，明確運(yùn)算目的，就能靈活運(yùn)用方法，解決各種相關(guān)問(wèn)題。

（作者單位：江蘇省濱海縣八灘第二中學(xué)）