面向生產計劃調整的資源參數反演逆優化方法

張莉莉 ,婁 媛 ,胡祥培

(1.大連海事大學 航運經濟與管理學院,遼寧 大連 116026；2.大連理工大學 商學院,遼寧 盤錦 124221；3.大連理工大學 系統工程研究所,遼寧 大連 116024)

隨著標準式產品或定型產品的生產越來越多,“需求預測型”生產模式成為該類產品普遍采用的生產方式,例如鋼鐵、汽車、電視機、小型機床等,即企業根據預測的產品需求量,結合自身的生產能力、生產效率及生產時間確定滿足預測需求的前提下,成本最小化的生產方案。然而,由于“黑天鵝”事件時有發生,消費者需求變動頻繁等原因,實際需求與預測需求不一致,生產企業生產計劃變更的現象屢見不鮮。例如,2020年,受全球新冠疫情的影響,為了新車供應與下滑的海外需求相匹配,豐田在日本實施生產計劃調整措施,4月上半月豐田將旗下5家日本工廠的生產線調整開機運行時間；再如,新冠肺炎疫情發生以來,口罩成為疫情防控必需的醫療物資,中國國家能源集團所屬化工公司調整生產線轉變產品類型,同時改變生產線運行時間,將產品調整為口罩、防護服等醫用防護品的紡絲料。由此可見,需求變動[1-2]已經是制造企業面臨的常態環境,企業如何調整生產線生產的產品種類和數量,以適應外部動態環境下新的產品需求,是企業管理者經常面對的一個決策難題。

如何調整企業生產計劃,使得新的生產計劃滿足實際的需求,同時為了保障生產的穩定性,要求資源配置方案調整幅度越小越好。針對此問題,實業界主要依靠生產計劃員的主觀經驗調整生產資源配置方案,該方法能夠滿足客戶的需求,但是無法保障生產計劃調整給企業帶來的成本損失最小化；學術界主要采用優化建模的方法,該類方法是在需求預測的基礎上,考慮不同的需求情況,基于樂觀、悲觀和中立的決策主體特征,制定生產計劃。然而,需要指出的是,學術界對于生產計劃的建模主要是采用正向思維,在已知的生產資源各項參數剛性不變的情況下,尋求滿足各類產品預測產量的成本越小越好的生產方案。該類方法無法解決在一定的生產計劃下,需求發生變動,通過對原資源配置方案進行最小化的調整,使得新的生產計劃與實際需求契合的問題。

在學術界,生產計劃主要分為主生產計劃和集成生產計劃。現有研究主要從確定性環境下的生產計劃,轉到面向不確定性環境的生產計劃,從數學方法上有單目標、多目標、魯棒優化、隨機優化、模糊優化以及模糊隨機優化等多種生產計劃模型類型。代表性成果有：Gansterern[3]構建了兼顧需求預測與按訂單生產的整合生產計劃系統；Aouam 等[4]構建了面向需求不確定及訂單履行的生產計劃制定方法；Gansterer等[5]針對市場需求變動,構建了基于仿真的生產計劃參數設定方法；陶星等[6]構建了訂單驅動的生產系統動態產能分配機制模型。由此可見,訂單驅動的生產計劃問題已經引起了學術界的關注,但現有研究主要是以訂單為出發點和立足點,而實踐中常常是先根據市場預測制定一個生產計劃,然后根據消費者需求在原計劃的基礎上進行調整,這種以預測型生產計劃為出發點,以供需匹配為落腳點,以生產資源調整為依托手段的需求變動驅動下的生產資源最小化調整的逆生產計劃模型及求解方法還鮮有論及。因此,有必要為了滿足現實企業的實際需求,構建解決此類問題的數學方法。

正優化問題是模型所有參數都是給定的,從所有的可行解中找到使得目標函數達到最優值的最優解。逆問題是一個關于如何將觀測(或預期)結果轉換為系統的參數信息的廣義框架[7]。本研究的逆優化是指已知某一組特定可行解,反演求得參數,使得在新參數下已知的特定可行解稱為新參數下的最優解的問題,并且使得新參數與原參數的改變越小越好。與本研究相關的有數學視角、管理視角和決策視角3類逆優化問題。在數學理論層面上,逆優化是一種參數反演方法,逆優化的反演參數可以分為目標函數的參數和約束條件的參數。逆優化在目標函數的參數反演層面上,根據給定解是否為精確最優的候選解可大致分為兩類：一類是隱含地假設有一個可以含有完全最優解的原始觀測值的可行集,相應的逆優化模型旨在精確地滿足最優性條件[8]；另一類則允許觀測值是噪聲的,決策者遭受執行錯誤,給出最小化次優性度量[9]。除目標函數外,逆優化問題中在確定可行域的參數輸入方法也越來越受到重視。同時輸入約束和目標函數參數的一個關鍵挑戰是所得的逆優化模型通常是非凸的。典型成果有：Chan等[10]針對線性規劃模型的效率系數的調整問題,建立了相應的逆優化模型；Heuberger[11]研究了考慮線性規劃的資源系數調整的逆優化方法。在管理視角下,逆優化是從實踐中已經得到的最優解,求得參數的值,在該參數下使得已知的實踐最優解成為模型理論最優解,而且盡可能接近參數的估計值[12]。逆決策視角可以看成是目標導引下決策模型的參數確定問題,用已知目標反推決策模型的參數,并且,在新參數下,獲取新的優化決策方案[13]。典型成果有：Amin等[14]將目標規劃和逆優化相結合的資源優化配置方法；張相斌等[15]基于逆優化方法研究供應鏈資源優化配置決策問題；魯渤等[16]構建了設施配置逆優化方法。通過對現有文獻的分析發現,逆優化由果倒因的思想與確定目標、如何創造條件以實現目標的管理決策問題不謀而合。因此,逆優化方法越來越受到管理學界的重視,并呈現出欣欣向榮的景象。但是由于生產計劃調整問題有其獨特的特點,從可行性和有效性的角度,需要建立在可靠的產能、效率測量的基礎上,并且需要根據企業的實際情況,確定適合柔性調整的生產資源,同時還要確保調整幅度盡可能小。究其原因,任何資源配置的改變,都會牽一發而動全身,給企業的正常生產運營秩序帶來混亂。

目前,理論界和實業界都鮮有最小化調整原生產資源配置方案來應對生產計劃變更的有效解決辦法。需要指出的是,無論是原生產計劃制定的科學與否,還是調整方案制定的是否有效,都是基于對企業的生產能力及生產效率判斷的準確性。盡管企業的生產設備在出廠階段有核定的理論產能和效率標識,但隨著生產設備使用年限的增長,伴隨著設備的老化、磨損等情況,設備的產能和效率都會不同程度的降低,而該產能和效率的降低又難以精確度量。由此可見,設備的生產能力和生產效率參數也存在一定的不準確性。在生產計劃調整中,一旦調整不好,就很容易引發生產混亂、廢品增加、成本陡增等問題。因此,如何找到一種準確測量設備生產能力和生產效率的方法是生產計劃調整的前提和基礎。而如何最小化地調整生產資源配置參數,使得新方案對原方案的擾動性最小,是亟待解決的難點問題。

與正優化方法相比,采用逆優化解決訂單變動的生產資源再調整,具有明顯的優越性與適用性。傳統的正優化是已知模型及其參數,在可行域范圍內,尋求理論上最優的決策方案。正優化是一個已知輸入尋求輸出結果的“尋優”問題。由此可見,正優化方法不適合解決已知優化模型的生產計劃結果而反求達到該計劃的最優資源參數的問題。與之相反,逆優化是已知結果,反求引發此結果原因的參數反演問題,鑒于多種輸入可以得到同一個輸出,在由結果反求原因時,不僅加上參數調整的可行范圍,同時加上在初始參數的基礎上,調整量越小越好的目標函數。根據逆優化的定義,結合本研究要解決的具體管理問題,已知變動后的訂單、原始訂單及其資源配置方案,尋求在原資源配置方案的基礎上,調整越小越好的達到新訂單的資源參數調整方案。該問題與逆優化的思想不謀而合,因此,采用逆優化方法來開展此問題的研究具有先進性。

逆優化是已知決策方案,通過在最小化的參數調整的前提下反求參數,以期實現在原生產計劃模型及新的參數下,模型輸出的理論最優結果即為實際生產方案。因此,逆優化方法與本研究所要解決的實際需求相匹配。生產計劃逆問題的研究具有挑戰性：其一,逆優化模型轉化難,逆優化模型的構建是建立在原模型基礎上的,不同的原模型,對應著不同的逆優化模型,需要基于對偶理論,基于一系列的數學推導實現；其二,逆優化的求解難,逆優化問題常常是不適定問題,本逆生產計劃模型涉及到反求生產線不同的產品種類及其數量,引發組合爆炸問題,導致求解難上加難。

基于此,本文采用如下思路開展研究：首先,在生產計劃正優化模型方面,正優化模型旨在解決需求預測型生產模式下最優成本的產品品種及其數量的生產計劃問題,該模型的建立并不是為了據此開展決策,而是為逆優化模型提供轉化的基礎,原模型在實踐中常常遇到的困難是基于單一設備生產率引發的參數不準確和不穩定,進而影響了模型的實用性。通過考慮各條生產線的時間開動率、性能開動率以及合格品率的設備綜合效率來測定綜合生產效率,以期提高生產率指標值的準確性和穩定性[17]。在各類型產品生產數量不低于預測需求數量、且實際生產時間不超過計劃生產時間的條件下,求解各生產線生產各類型產品的數量,并且追求最小化總的生產成本,即形成初始生產計劃。其次,在逆優化模型轉化方面,構建描述調整成本最小化的函數表達式,選擇對不同生產線的生產時間進行最小化調整,作為新的決策變量,將原生產計劃模型轉化為與之對應的逆生產計劃模型。將機器學習中的正則化方法引入逆優化模型的目標函數,控制決策變量的稀疏性,利用L0范數減少資源調整類型項數,進而降低逆優化過程中的附加成本。最后,在逆優化求解方面,將L0范數非凸優化問題轉化為L1范數問題,并通過絕對值替代法,將L1范數轉化為標準的線性規劃模型,再通過構建“松弛約束-中位數約束-緊松弛約束”三階段產能約束法化解逆優化求解中的組合爆炸問題。通過上述方法,在原生產計劃的基礎上,通過逆優化反演轉化,可以實現在新的參數下,滿足變動下的實際需求的同時,保證成本的最小化。

本文有如下貢獻：在理論層面,提出了一種市場需求變動下生產計劃調整的資源再配置問題的解決方法。將生產計劃、生產資源配置與逆優化相結合,為面向需求變動的生產計劃調整問題構建了新的數學模型,能夠給出調整成本最小的滿足新需求的生產資源再配置方案。根據產品銷售需求的演化結果,由已知的結果來探求生產計劃模型的輸入參數,也就是生產資源配置方案,起著倒果求因的作用。將三階段法和L0范數正則化方法相結合,通過三階段法化解逆優化組合爆炸問題的求解難度,通過L0范數進一步降低資源調整成本。本文轉換了沿著供應鏈的產品流動順序正向進行生產決策的思維方式,改變了按照生產輸入、輸出的自然順序來研究企業供應鏈演化過程的傳統思維方式,有助于拓展生產計劃研究解決問題的思路。在實踐層面,引入綜合生產率和三階段生產效率的設備產能和效率核定方法,為企業實際生產狀況提供測量方法,為生產計劃調整提供決策方法支持,不僅最大程度降低了調整成本,也為如何調整給出了方案。有助于企業有效應對市場需求變動,促進需求變動下的穩定生產。

1 生產計劃正優化模型

1.1 問題描述與邏輯框架

本文以制造商為決策主體,以下游銷售商訂單數據為決策依據,以滿足市場需求前提下最小化資源配置變更成本為決策目標,應用逆優化方法提高企業市場需求響應能力,從而降低因供需不平衡帶來的損失,最大化企業生產價值。

具體描述如下：一組大型成套生產設備包括多條不同的生產線,每條生產線可以生產不同類型的產品。在哪條生產線生產多少某型號的產品即為大型成套設備的生產計劃。企業制定生產計劃過程一般包括3個階段：①為了提高生產企業生產產品對市場的響應速度,企業根據需求預測生產資源的配置方案,以助于節約生產準備時間。這也就表現為構建生產計劃正優化模型。②在實際的生產周期中,受到輿情、大規模突發事件、促銷活動等方面的影響[18],銷售端零售商根據消費者對各類型產品真實訂單及偏好需求大數據反饋給生產商,形成本周期真實需求數據。也就是訂單驅動的真實需求。同時確定企業可以調整的資源類型。③在本期真實需求數據驅動下,由于生產計劃的調整,伴隨著生產資源的調整,生產資源的調整意味著生產成本的增加,故生產計劃調整時要遵循在滿足新的生產需求的前提下調整成本越小越好的原則。

生產計劃正優化模型是構建逆優化模型的基礎和鋪墊,并不是實質用于決策的優化問題,為了方便逆優化模型的構建,生產計劃正優化模型追求完成預測需求的成本越小越好的生產資源配置初始方案。基于此,生產計劃逆優化方法,采用逆向思維,通過逆優化的思想和方法,實現既確保滿足客戶訂單需求,又使得資源調整成本最小化,且盡可能小地對原系統進行調整,保持系統的穩定性。生產計劃逆優化邏輯框架如圖1所示。

圖1 需求變動的生產計劃重配置逆優化邏輯框架

1.2 數學符號及其含義

數學模型的符號及其含義：

Cv——總可變成本

ci——第i類型產品的單位可變成本

xij——初始生產計劃安排下第j條生產線生產第i種類型產品的實際生產數量

kij——第j條生產線生產第i種類型產品的生產效率

aij——第j條生產線在單位時間內生產第i種類型產品的數量

tij——第j條生產線生產第i種類型產品的初始計劃生產時間

αi——初始生產計劃安排中第i種類型產品的最低生產數量

Cadjust——總調整成本

t1——一個周期所包含的設備可生產時間

pij——增加每單位第j條生產線生產第i種類型產品生產時間的調整成本

qij——減少每單位第j條生產線生產第i種類型產品生產時間的調整成本

rij——第j條生產線生產第i種類型產品生產時間的調整成本

τj——第j條生產線的額定生產能力,表示該條生產線單獨生產某種類型產品的最大數量,或生產某種產品組合的最大數量

‖t+‖0——L0范數,t+不為0的個數

‖t-‖0——L0范數,t-不為0的個數

E——單位矩陣

1.3 生產計劃正優化模型

生產計劃正優化模型是在企業現有資源的生產效率參數和核定生產能力參數下,生產不少于預測需求各種產品數量的成本最小的哪條生產線生產多少哪種產品的決策問題。

(1)生產效率核定方法。生產效率是指生產線單位時間實際生產某種合格產品的數量。本文應用設備綜合效率指標測量設備效率。設備綜合效率由設備可用率(時間開動率)、表現性(性能開動率)和質量指數(合格品率)3個關鍵要素測量[19]。可用率指標用以評價停機損失,包括設備故障、原材料短缺等原因引起的計劃外生產停工的全部事件；表現性指標用以評價生產速度損失,包括設備磨損、操作失誤等原因引起的生產降速的所有事件；質量指數指標用以評價質量損失,反映包括問題產品返工、殘次品損耗等為滿足生產質量要求的所有事件。綜合效率評價模型如下式所示[20]：

式中：Rtime為時間開動率,用設備負荷時間Tload、故障停機時間Tfault以及調整初始化時間Tadjust差值所表示的設備開動時間與設備負荷時間的比率表示：

Rperformance為性能開動率,用設備凈開動率Rnet(具體表示為加工數量與實際加工周期的乘積與設備開動時間的比值)與速度開動率Rspeed(表示理論加工周期與實際加工周期的比值)的乘積：

Rqualified為合格品率,用合格產品數量Qqualified與加工產品數量Qprocessing的比率表示。即

進而,全局設備效率可表示為

(2)額定生產能力確定方法及其與方案關聯。τ是額定生產能力,即某條生產線生產某種產品的最高數量或某幾種產品組合的最高數量。

生產方案是指基于構建的運籌學模型,具體包括正優化模型、常規的逆優化模型、引入L0范數的逆優化模型,以及為了求解L0范數逆優化模型而構建的L1范數的逆優化模型和求解轉化為線性規劃的逆優化模型的最優化而確定的。最優生產方案確定的前提是模型及其參數是已知且唯一的。當模型參數不同時,通過模型求解得到的生產方案也隨之不同。本文所構建的模型的特殊性在于：額定生產能力τ不是唯一的,根據生產線額定生產能力的定義,生產線的額定生產能力是指該條生產線生產一種或幾種產品組合的產品的最大數量。由于每一條生產線都可以生產m種不同的產品,考慮所有產品的組合情況,即每一條生產線的額定生產能力都有2m-1個取值情況。在每一個取值下,都會對應一組生產方案。即生產方案會隨著τj取值的不同而發生變動。

(3)正優化生產計劃模型構建。生產計劃正優化模型是在預測型需求生產模式下,在各類型產品生產數量不低于預測需求數量、且實際生產時間不超過計劃生產時間的條件下,總成本最小的各生產線生產的各類型產品的數量,即原生產計劃。固定成本不受生產產品數量增減變動影響,不影響決策,可變成本在一定期間內與產品產量具有正相關關系。因此,本文以最小化企業生產成本為目標函數,目標函數可簡化為最小化企業生產可變成本。

設企業有m種產品,n條生產線,則原生產計劃優化模型為：

并且,生產線在某類產品的生產時間tij與產量xij有如下關系：

1.4 基于時間調整的生產計劃調整逆優化模型

生產計劃調整逆優化模型主要解決的問題是：由于市場需求變化必須對生產計劃進行變更,在滿足新生產要求的條件下,通過最小化各生產線的各類型產品生產時間調整量,達到滿足實際市場需求的優化生產資源配置方案,同時要降低生產變動成本。逆優化模型是指在市場需求訂單與現有資源約束條件下,求解使得調整成本最小的各類產品生產時間配置方案。逆優化模型可表示為：

資源配置方案的調整會帶來對生產的擾動,破壞生產系統的穩定性。決策者希望盡可能少地調整原有資源配置,這不僅體現在資源變動的數量上,同樣也體現在變動資源項數上,當資源調整量相同時,資源調整項數越多,目標函數值越大；反之,目標函數越小。為減少因過多項資源變動而帶來的附加成本,引入L0范數降低資源變動項數,L0范數描述向量中非0元素的個數,L0范數在模型中可以使正則化項(即模型參數向量分量)盡量稀疏[21]。L0范數逆優化模型如下所示：

式中：

表示t+不為0的個數；

表示t-不為0的個數。

1.5 逆優化模型求解

逆優化模型的決策變量為時間調整量：t+ij為生產時間增量,t-ij為生產時間減量,故

對同一條生產線,增加某一產品的生產時間與減少該產品的生產時間成本相當,即生產時間調整成本pij與qij數值近似,即通過對兩者取算數平均數作為生產時間調整量的成本系數是合理的。令rij表示第j條生產線生產第i種類型產品生產時間的調整成本,即rij=(pij+qij)/2。

由于L0范數的逆優化模型為非凸優化問題,是NP-hard問題,很難直接求解,故采用凸松弛算法轉化為最優凸近似的L1范數。根據文獻[22],L0范數的逆優化模型式(9)可轉化為如下式所示的L1范數的逆優化模型(L1范數又稱稀疏規則算子,指向量中各個元素絕對值的和)：

進一步,可以將模型轉化為

進一步化簡可得：

為了求解方便,將非線性模型式(12)轉化為如下線性規劃模型：

模型式(13)是一個簡單的線性規劃模型,可以通過現有求解器lingo等直接求解[23]。

需要指出的是：在求解正優化模型,未引入L0范數的逆優化模型,引入L0范數的逆優化及為求解轉化的逆優化模型時,都需要先給上述各模型中的τj參數賦值。在常規求解優化模型時,已知參數的值是固定的。然而,本文所要求解的模型的特殊性在于：額定生產能力的值有很多種可能,該值的取值范圍是產品種類的指數函數形式,而該參數的確定又直接決定了所要求解的模型的可行域。因此,這就出現了“最優解”與“約束額定生產能力參數”之間“先已知固定單一的生產線額定生產數量的值,再以此為基礎求解出模型最優解,進而得到生產的產品類型都包含什么”,和“先知道生產的產品類型包含哪些,才能確定額定生產能力參數的值”的“已知生產線的額定生產數量,才能優化求解最優產品種類及數量”,“已知最優產品種類,才能確定額定生產能力參數值”這種互為前提的難題。即模型在具體求解過程中,額定生產能力參數取值的不同,會得到不同的最優生產方案。即最優生產方案會隨著τj取值的不同而有別。

但是由于不知道最優的生產方案的產品組合種類,導致在優化模型實際求解中τj的具體單一值還是無從得知。也就是說,盡管企業根據設備已有數據,已知生產線生產單獨某種產品的最大生產數量,或者不同產品的各種組合的總生產數量。τj根據生產線實際生產的產品類型及其組合的不同情況,各類型產品的生產情況共有2m -1種取值方案,額定生產數量τj同有2m -1種取值。也就意味著隨著τj取值的不同,每一個要求解的模型都可以分形為2m -1個待求解的模型。顯然,從求解效率的角度,遍歷τj的所有情況是低效的。

為此,本文給出解決此類參數是離散范圍、未確定的一類解決方法,針對額定生產數量賦值采用典型賦值法,即松弛賦值、中位數賦值和緊松弛賦值法。但是由于τj采用松弛賦值、中位數賦值和緊松弛賦值合理與否還需要與優化求解出的產品組合的類型進行對比分析,當τj賦值的方法(指松弛賦值、中位數賦值和緊松弛賦值中的一種)與優化求解后的產品包含的類型相一致時,則認為該賦值是合理的,否則是不合理的,故還需要如下檢驗是否合理的一個過程。

(1)松弛約束。τj=max(vij|i=1,2,…,m；j=1,2,…,n),即τ取該條生產線單獨生產m種類型產品最大數量vij中的最大值。該方案下,目標函數的可行域相較于τj準確取值的目標函數可行域(以下簡稱原可行域)變大,最終求得的最優解可能不在原可行域內,即為非可行解,故需將該解代入模型中驗證,若滿足模型式(7)中的原約束條件,則該解為逆優化模型最優解；反之,則該解為非可行解,轉用中位數約束求解方案求解。

(2)中位數約束。τj=median(vij|i=1,2,…,m；j=1,2,…,n),即τ取該條生產線單獨生產m種類型產品最大數量vij中的中位數。該方案下,目標函數的可行域較松弛約束變小,最終求得的最優解為局部最優解,但不一定為全局最優解,也不一定為可行解,故需將該解代入模型中驗證,若滿足模型式(7)中的原約束條件,則該解為可行解；反之,則該解為非可行解,轉用緊松弛約束求解方案求解。

(3)緊松弛約束。τj=min(vij|i=1,2,…,m；j=1,2,…,n),即τ取該條生產線單獨生產m種類型產品最大數量vij中的最小值。該方案下,目標函數的可行域較中位數約束下的可行域變小,最終求得的最優解為局部最優解,但不一定為全局最優解。

“松弛約束-中位數約束-緊松弛約束”三階段約束方法：若中位數約束下的解為可行解,則將其代入目標函數并與緊松弛約束下的目標函數值相比較,若前者較小,則為中位數約束下的解為逆優化模型最優解,否則為緊松弛約束下的解為逆優化模型最優解。具體執行過程如圖2所示。

圖2 生產線額定生產數量賦值求解模型流程

2 算例分析

2.1 算例基本信息及參數

某汽車制造企業有6種類型產品,5條生產線,即m=6,n=5。通過專家訪談法,獲得該企業制造企業的相關數據(見表2),基于表2的生產效率各項指標,根據式(1)～(5),得到全局設備效率(見表3),理論上生產線-產品單位時間生產數量如表4所示。通過調研法,得到各類型產品單位可變成本(見表5),企業根據市場需求預測(即原始需求)如表6所示,實際需求(即變動后需求)如表7 所示。通過對某汽車制造企業的設備數據的分析,得到額定生產能力如表8所示。根據表8,若采用松弛約束,則τ={150,310,232,275,221}；若采用中位數約束,則τ={60,105,66,107,81.5}；若采用緊松弛約束,則τ={51,101,132,75,163}。單位資源變動成本如表9所示。

表2 生產效率指標

表3 全局設備效率

表4 理論上生產線-產品單位時間生產數量

表5 各類型產品生產單位可變成本

表6 產品預測需求數量(原始需求)

表7 各類產品市場需求數量(變動后需求)

表8 各生產線額定生產數量

表9 生產線-產品單位生產時間調整成本

2.2 正優化及逆優化模型求解

按照生產計劃正優化模型式(6),計算得出滿足最低預測需求的各條生產線生產各類產品的數量,如表10所示。但是當汽車投放市場之后,由于客戶體驗、突發事件等因素導致實際需求與初始需求存在偏差。為了滿足新的需求變動,可以采用常規的未引入L0范數的逆優化方法,生產時間調整量計算結果如表11所示,生產成本調整量如表12所示。采用引入L0范數的逆優化方法,根據模型式(13),生產時間調整量計算結果如表13所示,生產成本調整量如表14所示。

表10 原生產計劃下的正優化模型求解結果

表11 未引入L0 范數逆優化計算的需求變動下生產時間調整方案

表12 未引入L0 范數逆優化計算的需求變動下生產線-產品逆優化調整成本

表13 引入L0 范數逆優化計算的生產時間調整方案

表14 引入L0 范數逆優化計算的生產線-產品逆優化調整成本

(1)原產品需求的正優化計算結果。通過原生產計劃下的正優化模型的求解結果(見表10),可以得到初始的各條生產線生產不同種類產品的時間安排。

(2)未引入L0范數逆優化計算的需求變動下的計算結果。表11 表明,在正優化模型計算出的tij的基礎上,為了滿足新的市場需求,按照30天的生產周期,基于模型式(13)完成初始生產計劃的生產時間安排,具體調整方案如下：第1條生產線不需要做任何調整；第2條生產線生產產品2的時間減少3天,生產產品4的時間減少2天；第3條生產線無需改變；第4條生產線無需改變；第5條生產線增加第2種產品的生產時間1天。表12表明,采用未引入L0范數逆優化的資源調整總成本為2.11萬元。

(3)引入L0范數逆優化計算的需求變動下的計算結果。表13表明,在正優化模型計算出的tij的基礎上,為了滿足新的市場需求,按照30天的生產周期,基于模型式(13)完成初始生產計劃的生產時間安排,具體調整方案如下：第1條生產線不需要做任何調整；第2條生產線生產產品2的時間減少4天；第3條生產線無需改變；第4條生產線無需改變；第5條生產線增加第2種產品的生產時間4天。表14表明,采用未引入L0范數逆優化的資源調整總成本為1.64萬元。

(4)正優化模型的需求變動下的計算結果。表15表明,在滿足變動后市場需求的情況下,生產安排為：第1條生產線生產第1種產品12輛,生產第3種產品5輛,生產第4種產品6輛,生產第6種產品5輛；第2條生產線生產第2種產品5輛,生產第4種產品2輛,生產第5種產品3輛；第3條生產線生產第1種產品5輛,生產第5種產品4輛,生產第6種產品8 輛；第4 條生產線生產第2 種產品15輛,生產第4種產品7輛,生產第6種產品4輛；第5條生產線生產第2種產品3輛,生產第3種產品6輛,生產第5種產品5輛。表16表明,在正優化模型計算出的tij的基礎上,為了滿足新的市場需求,按照30天的生產周期,基于模型式(6)完成初始生產計劃的生產時間安排,具體調整方案如下：第1條生產線生產產品1的時間增加5天,生產產品3的時間增加1天,生產產品4的時間減少4天,生產產品6的時間增加1天；第2條生產線生產產品1的時間減少7天,生產產品2的時間減少2天,生產產品4的時間減少6天,生產產品5的時間減少3天；第3條生產線生產產品5的時間減少1天,生產產品6的時間減少1天；第4條生產線生產產品2的時間增加8天,減少第3種產品的生產時間9天,增加第4種產品的生產時間2天,減少第6種產品的生產時間1天；第5條生產線減少第2種產品的生產時間5天,增加第3種產品的生產時間1天。表17表明,采用未引入L0范數逆優化的資源調整總成本為22萬元。

表15 需求變動下正優化模型求解結果

表16 需求變動下正優化生產時間調整量

表17 需求變動下正優化生產線-產品調整成本

2.3 結果對比分析

從成本和求解效率兩個維度進行結果對比分析。從需求變動下成本的角度,在原需求生產成本15 039萬元的基礎上,按照正優化模型,總的調整成本為增加22萬元,按照未引入L0范數的逆優化模型,調整成本增加2.11萬元,按照引入L0范數的逆優化模型,調整成本增加1.64萬元。引入L0范數的逆優化模型比未引入L0范數的逆優化模型成本增加了0.47萬元,增加了28.7%。同時,在引入L0范數的求解效率方面,由于正優化的成本比逆優化的成本高了約10倍,故需采用逆優化模型進行調整。當生產需求發生變動時,引入L0范數的逆優化方法可使成本最小,未引入L0范數的逆優化方法的成本次之,而采用正優化方法的總成本最高。即在成本最小化方面,對于需求變動問題,引入L0范數的逆優化方法最具優勢。

在求解效率方面,整體而言,求解時間都不長。引入L0范數的逆優化模型求解中的迭代次數為1 818次,非0項數為2,擴展的求解步驟為3；而未引入L0范數的逆優化模型求解中的迭代次數為2 925次,非0項數為3,擴展的求解步驟為4。由此可見,將L0范數引入逆優化過程中能夠有效提高模型運算求解效率。

通過成本和求解效率兩方面的綜合分析,當生產需求發生變化時,引入L0范數的逆優化模型在成本和求解效率方面都有優勢。

3 結論

企業需要在按照初始需求的正優化安排的基礎上,以滿足實際需求為落腳點,以生產資源配置調整成本最小為依托,通過對初始生產資源配置方案的最小化調整,實現需求變動下的資源最小化重配置。即以“預測型”生產計劃為初始模型,以基于正優化模型計算出的各條生產線生產各類產品的時間為逆優化調整初始參數,采用逆優化方法,在正優化模型及其參數的基礎上,通過盡可能小地調整模型參數,滿足新的需求。本文以逆優化為方法論,以市場需求變動為動因,以各生產線各類型產品的生產時間參數的最小幅度調整為目標,從生產線選擇和生產線時間兩個維度最小化調整成本,對生產資源重新配置,最小化資源調整成本,滿足新的生產需求。主要的結論和創新之處在于：

(1)在解決問題的思路上,本文在預測生產計劃的基礎上,基于市場訂單實際需求,對生產計劃的資源配置參數進行最小化調整,實現目標,本文將此轉化為已知實踐最優生產方案反向求解讓該實踐方案成為生產計劃理論模型最優方案的資源參數反演問題。

(2)通過“松弛約束-中位數約束-緊松弛約束”三階段方法確定生產線生產能力約束,能夠在增強最優解準確性的同時提高求解效率。一般情況下,某條生產線的額定生產能力用單獨生產某一產品的最大數量表示,但由于生產線可生產產品種類較多,在額定生產能力的表述上傳統測度存在不準確性。在生產資源配置過程中,同一條生產線在某一生產周期內可能生產多種不同類型的產品,因此,額定生產能力的確定對決策具有重要影響,單一取值無法滿足決策需求,而精確取值會給模型求解帶來極大困難,“松弛約束-中位數約束-緊松弛約束”三階段方法確定的生產能力約束為求解最優配置方案提供了一種新方法。

(3)引入L0范數降低資源變動項數,進一步降低生產變更成本。L0范數通過描述向量中非0元素的個數被廣泛應用于機器學習中,L0范數在模型中可以使正則化項(通常為模型參數向量分量)盡量稀疏。而在資源優化配置過程中,L0范數置于目標函數中用于約束參數調整量的數量。顯而易見,決策者總是希望能夠盡可能少地調整資源配置,這不僅體現在資源變動量上,同樣體現在變動資源項數上,過多項資源的變動會帶來不可避免的附加成本。本文通過最小化決策變量的L0范數使兩者達到某種平衡,從而最小化生產資源調整成本。

(4)采用全局設備效率(OEE)測量作業環節生產效率,OEE是工業4.0時代生產效率新的測量標準,它通過全面量化設備參數指標對生產過程進行整體實時把控,一般用于業務流程改進與生產監測。將OEE引入資源配置決策過程是在構造以重大裝備為核心的生產線進行不同類型產品生產行為效率的同時,將影響生產進度的因素(如停機時間、次品損耗等)全面壓縮至這一參數中,從而使得生產資源配置過程更具有全局性與系統性。

(5)制造企業在進行生產計劃調整時可能存在一味追求成本最小化與供需契合度而進行過度的資源調整的誤區,該情況下的生產資源配置方案雖然能最大程度地貼合市場需求量,但由于多數需要調整資源變動幅度過大,實施過程中極難精準控制,即便技術條件允許,其成本也會大于收益,且極容易破壞企業的生產穩定性,使得在企業實際應用過程中可操作性較差,不利于理論指導實踐。因此,制造企業在進行訂單驅動的重大裝備資源配置過程中,應注意資源調整的幅度限制,平衡市場需求與制造系統穩定性間的關系,進行合理、穩定的生產資源重配置決策。