自然、有序的平面及其基本性質的教學研究

何正能 李興華

[摘? 要] 教師告知式教學方式增加了學生學習平面的難度. 創設情境，使學生發現、提出問題等，明晰其意象，體會其基礎性，了解公理（推理）之間的邏輯關系. 搞清知識的邏輯等級性是構建自然、有序的平面教學策略.

[關鍵詞] 自然;有序;平面;基本性質;教學研究

引言

高一學生學習平面及其基本性質時，他們感到無趣和困難. 這一司空見慣的圖形有什么研究價值，即存在學習動力問題. 學生學習平面的類比知識是直線的知識，但對直線的“直”的性質缺乏足夠的認識. 因此，影響平面定義中的“平”的感知，即知識基礎存在缺陷;生活中已經積累了一些關于平面的生活類、圖形類的初步知識，如平靜的水面、長方體的表面，而這些知識并沒有進行真正的數學化，即經驗成為學習平面內容的障礙，影響平面的無限延展性的感悟，等等. 這些是造成學生學習平面困難的原因之一. 當然，學生學習平面相關內容感到困難的主要原因是教師教學不當，采用告知式的教學方式，忽視了知識之間的邏輯性的揭示，造成學生感到本節內容多，沒有頭緒.

傳統教學設計及缺陷

教科書給出的素材“廣闊的草原、平靜的湖面”給了我們平面的形象，和點、線一樣，平面也是從現實世界中抽象出來的幾何概念.平面通常用平行四邊形來表示，即當平面水平放置的時候，一般用水平放置的平行四邊形作為平面的直觀圖[1].

傳統教學根據上面的素材，實例引進，告知平面的含義及表示，電腦展示圖形. 這一教學，學生并沒有實現對實例的抽象，可以預測：學生學到的平面概念與理論上的平面概念是有很大差距的，導致學生后來難以畫出符合條件的截面.對于公理及推論的教學讓學生解讀公理內容，然后用圖形語言、符號語言表示，其結果是學生把學習它們的重點放在了記憶內容上，不能厘清知識之間的邏輯關系，感到知識雜亂無章，學習負擔重. 因此，反思傳統教學，對平面概念的教學必須進行補充，展示平面概念對公理及推論的作用，使學生對平面的概念有一個清晰的意象，為認識公理的合理性和邏輯性打下基礎.

教學研究

1. 平面概念教學內容補充

平靜的水面、光滑的桌面和長方體的表面都給人以平面的形象，但不能形成平面的無限延展的意象，而對平面的“平”的認識也局限于實物的“平”.將直線作為平面學習的類比模型，得出平面的含義，要求學生具有很強的空間想象和直覺思維能力.因為從直線“一維”到平面“二維”，需要抽象出對象的數學本質，這對高一學生來說思維跨度太大，能力要求過高，所以教學方式只能是告知式. “學生得到的只是靜態的、僵化的、沒有遷移能力和發展潛力的知識”.[2]為此教學中除了介紹上面的關于平面的生活類、圖形類知識外，再動態展示平面的形成，因為運動的物體更能激發學生的注意和認知，有助于了解平面的“平”，揭示平面的構成要素，獲得可發展的知識.

學生討論：線由什么組成？平面呢？點沿一個方向運動成線，直線如何運動形成平面？讓學生交流，如何運動直線形成平面？借助數學家傅里葉對平面的定義“平面由經過直線上一點且與直線垂直的所有直線構成”，可以使教學進一步深化，用幾何畫板展示圖1.

“直線a在轉動過程中始終與直線l垂直，又由于直線是‘直的，所以平面應該是‘平的;直線是無限延伸的，所以平面是無限延展的.”[2]對數學史的應用，為課堂教學提供了素材，也為突破難點提供了幫助. 教學沿著數學家傅里葉探究平面的概念的足跡，學生的形象思維能力和抽象思維能力，直觀想象能力和合情推理能力得到了培育，也使數學核心素養得到落實.

盡管上面傅里葉的平面定義有助學生理解平面的本質，但定義遠離學生的認知：為什么過一點與一條直線垂直的所有直線在一個平面內？這對學生的直觀想象是挑戰. 因此讓學生想象利用水平放置的相交直線，如何構造平面？

多媒體展示：平移直線m，使得直線m和始終直線n相交，形成一個平面，更有利于學生直觀感受平面的“平”和無限延展性，而且是更為精致的感受，也為平面的圖形表示奠定了基礎，并且認識到所畫的平行四邊形表示的平面是局部的.

學生的學習必有歷史的再現，數學史給人以教學智慧，對歷史進行必要的改造，使之更符合學生的認知，需要創新使用數學史，使教學進一步深化.

2. 平面基本性質的教學研究

為了揭示平面概念對公理及推論的奠基作用，教學從平面的概念出發，引導學生發現和研究公理1至公理3及推論，教學自然、有序，思路清晰.充分發揮漢語這一載體對思維的引領作用，使得符號語言呼之欲出，避免告知學生圖形語言和符號語言，使學生感到不自然.

（1）對公理1的傳統教學改進.

既然認為平面是由直線運動而成的，那么直線和平面的位置關系是什么？學生歸納直線和平面的位置關系：線在平面內和不在平面內并用符號表示，很容易理解符號表示，因為平面是由直線構成的. 那么如何判定直線在平面內呢？學生能夠發現公理1的條件和結論.這里學生的思維省略了直線的“直”和平面的“平”性質的考量. 為什么直線上有兩點在平面內，就可以推導出直線上所有點在平面內？

學生對公理的內容進行深入思考，以漢語語言為思維媒介，特別是，對公理1的條件和結論的辨認，圖形語言、符號語言表示公理1就水到渠成了. 形成三種語言之間的一一對應，體會數學語言的簡潔. 而真正確認公理1的關鍵是平面“平”的性質. 如圖3，在公理1的符號表達“A∈αB∈α？圯AB？奐α”的前面增加“由于α是平面”，更顯推理的邏輯性.進一步，如圖4，如何說明直線l在平面α內？體現認知的漸進性和嚴密的邏輯性.

（2）對公理2教學的深入研究.

公理2是本節課最重要的內容，它是畫出兩個平面的交線和證明多點共線問題的理論基礎. 傳統教學教師示范有余，學生思考不足.沒有引導學生根據實例概括出公理2，缺乏對其表達的合理性和精確性的思考過程，導致很多學生不能建立公理2的準確意象，作出的相交平面缺乏立體感等缺憾. 因此，必須引導學生參與公理探究，利用平面概念發現、理解公理. 糾正學生對相交平面錯誤的理解，增強公理的理解程度，讓學生畫圖，鞏固公理.

為什么強調兩個平面有一個公共點，而不是說它們有無數個公共點？從數學對象判定的可操作性，當然期望無限化為有限，但條件必須是等價的，而兩個平面有一個公共點和有無數個公共點是等價的. 另外，從學生學習來看，給他們的探究提供素材，激發學生思考.探討是否就是一個公共點，如何說明還有其他公共點？

教學中，教師用手頭30°角的三角板放置在桌面內，告知學生平面無限延展，所以兩個平面有無數個公共點，其組成一條直線，這個推理是不嚴密的. 事實上，是平面的“平”保證公共點組成一條直線. 因此，教師讓學生討論下列問題：三角板ABC表示一個平面ABC，其與桌面表示的平面α有一個公共點A，那么平面α和平面ABC是否就只有一個公共點？學生很容易想到有無數個公共點，但對公共點的屬性是模糊的. 引導學生用反證法說明，如果公共點組成的圖形不是一條直線，那么與平面的“平”存在矛盾，因此公共點組成的圖形是一條直線.

H.Wu指出，“數學并不停止于實驗，而必須把它與理性的解釋聯系起來：在這些看上去并無聯系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某一統一的數學結構？”這就要求教師在引導學生觀察實驗的同時，也要進行必要的理性思考，不應滿足實驗所得的結果，而應該把它作為認識更為廣泛的數學結構的基礎.

教學中有學生給平面相交下的定義為：“兩個平面把空間分成四個部分，這兩個平面相交.”處理方式是肯定學生思維的創造性，讓學生發現其不合理的成分.

引導學生思考，研究直線和平面的位置關系時，用點來定義它們的位置，因此平面與平面的位置關系也可以采用點來刻畫. 讓學生知道用已知的概念定義未知的概念是必要的，定義中的“空間、部分”是一個未知的概念，不能用它來定義平面相交;只能用點、線和面來定義兩個平面的位置. 由此學生通過糾錯體會到數學概念構建的邏輯方法，更新了觀念.

對兩個平面相交的畫法教學，讓學生想象圖形構成的要素：兩個平面，其特點是有且只有一條公共直線. 學生思考的是：先畫一條直線，然后畫過直線的兩個平面;還是先畫一個平面，然后在平面內作一條直線，再畫一個經過該直線的平面？想到平面用平行四邊形表示，畫出兩個平面相交是容易的. 例如，先畫一條直線a，然后作出有一組對邊與直線a平行的兩個平行四邊形，調整圖形，直到大多數學生畫出自己認為立體感好的圖形為止.展示學生的圖形，讓其辨別、感受，吸取他人的長處，這是培養學生直觀想象和數學抽象的途徑. 給學生畫圖的機會，使他們愛畫圖，對自己畫圖有信心. 少展示電腦畫圖，因為電腦展示圖形標準、漂亮，容易使學生產生要求完美而達不到的自卑，這可能是日本中小學數學教師很少使用多媒體快速地顯示實踐過程的原因吧[3].

（3）公理3、推論的邏輯性及教學研究.

它們涉及確定平面的條件問題.為了揭示這一部分內容嚴密的邏輯關系，展示自然、有序的教學內容，從整體到局部，采用這樣的過渡性語言：剛才兩個公理揭示了已知平面的情況下，來研究平面與平面及相關要素之間的關系，那么如何找到一個平面？

學生找到確立平面的條件：畫兩條相交直線，畫兩條平行直線，畫直線和直線外一點，畫不共線的三點.

這四個條件的關系是什么？它們是等價關系.這里只有兩條平行直線與其他三個條件的等價關系不明顯.讓學生選擇，把哪一個作為已知條件. 學生經過討論，把不共線的三點作為公理，其他作為推論，因為條件簡單，當然要與教科書吻合.

由于公理1教學中，學生對“有且只有”的含義認知，因此理解“經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面”是容易的.

初中的三角形是在平面內研究的，而不在同一直線上的三點與一個三角形的三個頂點一一對應，由此得出：經過不在同一直線上的三點，有一個平面. 那么是唯一一個平面嗎？通過幾何畫板作圖，如圖2，說明是唯一一個平面.

下面可以讓學生判定“如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合”這一論斷是否正確. 體現數學語言的精確性，也體現立體幾何公理與代數中相等關系的對應.

公理是數學家規定的、公認的規律，但學生不是數學家，他們對公理的學習，必然重復前人走過的彎路，體現公理形成的歷史路徑. 由于學生的學習主要是繼承行為，沒有時間重復前人的研究，因此，公理教學也要講究“道理”，避免重犯前人的錯誤而浪費時間. 讓學生認識公理的合理性和必要性，培養邏輯思維的習慣，這是立體幾何起始課的重要教學目標. 學生由前面學習奠定的心理基礎和學習經驗，推論教學便水到渠成.

（4）公理1、公理2和公理3邏輯關系的分析.

公理3是基礎.只有對確立平面的條件有了深刻的認識，研究公理1、公理2才有理論基礎. 因此，教材的公理呈現順序改為“公理3—公理2—公理1”[4]，更顯邏輯性、科學性.

自然、有序的教學構造策略深刻理解教材的知識體系，搞清楚本源知識和再生知識之間的聯系，強調本源知識對再生知識的理論奠基作用，教學中要努力向學生展示知識的邏輯鏈條，使每個相關的知識都被構造在這個鏈條的相應位置，形成知識整體的“序”，從而不至于忘記其中的部分.

強調知識邏輯的等級性：一級邏輯等級、二級邏輯等級和三級邏輯等級. 一級邏輯等級指元認知數學知識的邏輯，教科書展示知識研究邏輯. 如幾何知識，實例抽象出幾何研究對象、定義幾何對象、表示幾何對象、研究構成幾何對象及其相關要素之間的關系，在實際中檢驗和完善對幾何對象的理解，這也是科學研究的步驟. 二級邏輯等級指幾何概念、幾何性質、解決問題三者之間的關系，這一等級往往更體現知識的邏輯性，課堂上要將重點呈現給學生. 三級邏輯等級指具體的命題、公理、定理等的條件和結論之間的邏輯關系，體現清晰的邏輯性，是思維的載體. 教學中教師要從一級邏輯等級出發，幫助學生了解研究科學的一般思路，自主發現具體研究內容及邏輯關系，善于用符號表達內容的條件和結論之間的關系，從而學生可以在高觀點下理解教材，把握構建知識的邏輯思維，如此課堂教學將顯得自然、有序，學生學到的知識是靈動的、包容的、發展的知識，學習不會感到困難、無趣.

參考文獻：

[1]? 單墫. 普通高中課程標準實驗教科書（必修2）[M]. 南京，江蘇鳳凰教育出版社，2007.

[2]? 胡浩. “平面”教學設計的理性突圍——兼談原始概念的教學[J].? 數學通報，2019，8（1）.

[3]? 代欽. 2021年日本《初中數學學習指導要領》評價[J]. 數學教育學報，2018，27（4）.

[4]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 人民教育出版社，北京.