漫思索據，高考題探源

馮亮

[摘? 要] 高考題一般源于這幾個方面：依托于教材作業、翻新于歷年真題等. 高考命題強調“能力立意”，以問題為載體，以知識為基礎，以思維為主線，以能力為目標，不斷研究高考題，把握高考試題發展方向，使課堂教學有的放矢.

[關鍵詞] 高考;命題;追根探源;母題

縱橫比較近幾年數學高考題，發現試題呈現如下特點：以穩定為主線，穩中漸變，重視“三基”，聯系實際，兼顧創新，因此試卷內容年年歲歲神相似，歲歲年年形不同. 那么每年凝聚了眾多命題專家心血和智慧的好題是如何“創造”出來的呢？顯然“巧婦難為無米之炊”，高考題的成形本身也應該有它的“源頭活水”，經分析歸納后，一般的高考題來源于如下幾方面.

依托于教材作業

許多高考題，甚至“壓軸題”索其本源，竟可以在教材課本中直接發現它的倩影.

考題再現：（2010年重慶理科第21題）在數列{a }中，a =1，a =ca +cn+1（2n+1），n∈N*，其中c≠0，

（1）求{a }的通項公式;

（2）若對一切k∈N*，有a >a ，求實數c的取值范圍.

解析：（1）由題意得： = +（2n+1），所以 - =2n-1， - =2n-3，…， - =2+1. 以上n-1個式子累加得： - =（2n-1）+（2n-3）+…+3=n2-1，故a =（n2-1）cn+cn-1. （本題也可用迭代法解決）

（2）略.

此題題根見于教材必修五第33頁習題A組第4題.

原題表述如下：寫出下面數列{a }的前五項.

（1）a = ，a =4a +1（n>1）;

（2）a =- ，a =1- （n>1）.

將（1）中常數“1”改為cn+1（2n+1），系數4改成c即推陳出新為一道優秀的考題，充分體現高考題源于教材，略高于教材的原則.

復習啟示：既然高考題依托于教材改編而得，那么要求教師在平時的教學過程中注重課本例題的選用，特別對其內涵進行深層次的挖掘，采用多變式集訓的辦法，努力達到能對這類典題知一求三，觸類旁通的境界.

翻新自歷年真題

有些題似曾相識，曾經出現在往屆高考題或模擬卷中，由出題專家妙手剪裁、提煉、匯聚，又鮮活出現于考生面前.

考題再現：（2010年浙江理科第21題）已知m>1，直線x-my- =0，橢圓C： +y2=1，F ，F 分別為橢圓C的左、右焦點.

（1）當直線l過右焦點F 時，求直線l的方程;

（2）設直線l與橢圓C交于A，B兩點，△AF F ，△BF F 的重心分別為G，H，若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍.

解析：（1）略. （2）“點O在以線段GH為直徑的圓內” · <0， 故設A（x ，y ），B（x ，y ），則G ， ，H ， ，由x=my+ ， +y2=1，聯立，消去x得：2y2+my+ -1=0. 由Δ=m2-8 -1=-m2+8>0，得m2<8. （1）

由 · <0得x x +y y =my + ·my + +y y =（m2+1）（ - ）<0，故有 - <0，即m2<4. （2）

由（1）（2）得：m2<4，又m>1，故m∈（1，2）.

這是一道集知識、能力、方法等考點全面的試題，它的出現并非空穴來風，此題與2006年湖北理科20題有割不斷的淵源，此題為：設A，B分別為橢圓 + =1（a>b>0）的左、右頂點，橢圓長半軸長等于焦距，且x=4為它的右準線.

（1）求橢圓的方程;

（2）設P為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M，N，證明：點B在以MN為直徑的圓內.

問題（2）的解決只證明 · <0即可，余下的請讀者自行解決.

復習啟示：高考題一般都是優中擇優的精品題，某些典題的知識結構、思想方法、解題技巧并不會因為年代的遠去而黯然失色，相反其中精華部分會被專家們繼續借鑒、消化，從而推陳出新.這就給老師們重要啟發：能否把若干年來的各省市高考題分門別類，重新整合，作為學生復習的必選題進行練習，總結解題規律，提煉思想方法. 也許，若干年以后大同小異的姊妹題又不期而至.

接軌于高等數學知識

從命題專家組的成員組成上看，高校教師是重要組成部分. 試題命題受出卷者自身學術背景影響不可避免;再從高中數學和高等數學知識銜接上看，在試題中適當滲透高等數學知識也是順理成章的事情，故高考題中常常有伴隨高等數學知識背景的所謂“高知題”.

考題再現：（2009年浙江理科第10題）對于正實數α，記M 為滿足下述條件的函數f（x）構成的集合，？坌x ，x ∈R，且x >x ，有-α（x -x ）

A. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，則f（x）·g（x）∈M

B. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，且g（x）≠0，則 ∈M

C. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，則f（x）+g（x）∈M

D. 若f（x）∈M ，g（x）∈M 且α >α ，則f（x）-g（x）∈M

題源探究：若函數f（x）在區間I上，存在常數L>0，使得不等式f（x ）-f（x ） ≤L（x -x ），對于所有x ，x ∈I都成立，則稱f（x）在區間I上滿足李普希茨（Lipschitz下同）條件，其中L稱為李普希茨常數.

解析：由-α（x -x ）x ，所以-α< <α. 令 =k，則有-α

該試題既有高等數學的深刻背景，又有數學分析的方法要求，以抽象函數為載體，涉及的數學思想方法有分析法、特值法、反證法，需要考生具備很強的分析能力，故被眾多出題專家追捧.2006年的北京卷和廣東卷也曾出現過以李普希茨條件為背景的試題.

復習啟示：高等數學某些內容與中學數學聯系緊密，這些試題既能考查學生能力，又利于中等數學與高等數學知識的銜接.它既符合課程標準，又能突出數學思想本質，是高考命題的風向標.筆者認為在高考復習中可把高等代數中的“群、環、域、矩陣”，數學分析中的洛比達法則、切比雪夫不等式等知識點以適當形式稀釋在平時的復習中.

借鑒于競賽數學

如今高考命題呈現三大趨勢，容易題會考化，中檔題平民化，壓軸題競賽化.既然如此，高考試題包含競賽題思想方法和技巧就不足為奇了.

考題再現：（2008年遼寧文科第12題）在正方體ABCD-A B C D 中，E，F分別為棱AA ，CC 的中點，則在空間中與三條直線A D ，EF，CD都相交的直線有（? ）

A. 0條? B. 1條

C. 多于1的有限條? D. 無數條

解析：過A D 的平面中只要與EF和CD都相交時，兩交點連線即與A D 相交，這樣的直線有無數條，故選D.

無獨有偶，如果熟悉1997年全國數學聯賽，曾經出現過這樣一道試題：如果空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都相交的直線有（? ）

A. 0條? B. 1條

C. 多于1的有限條? D. 無數條

兩者題干，選擇解題用的思想方法和技巧有驚人的相似之處.

復習啟示：近幾年事實證明好多競賽題被“移植”于高考試題里，一般的解題竅門和手法也能照搬到高考題的解法中. 因此，讓一些學有余力的學生在高一、高二時適當參加省市各類各級數學競賽大有益處，也只有這樣，才能使更多的考生在“六月的洗禮”中做到處變不驚，游刃有余.

脫胎于國外歷史名題

有一類高考題，本源出自國外歷史名題，可以說系出名門，兩者題目和解題所用思想方法“血緣”關系相近，某些百年名題經專家妙手增刪，又閃亮登場.

考題再現：（2008年山東理科第22題）如圖3，拋物線x2=2py（p>0），M為直線l：y=-2p上任意一點，過M引拋物線的兩條切線，切點分別為A，B兩點，求證：A，M，B三點橫坐標成等差數列.

解析：由題意設M（x ，-2p），Ax ， ，Bx ， ，且x

同理可得：4p2=x -2x x . （2）

由（1）（2）可得2x =x +x ，所以A，M，B三點橫坐標成等差數列.

題源探究：如圖3，過點M引拋物線x2=2py（p >0）的兩條切線，切點分別為A，B，那么由A，B，M三點構成的三角形稱為阿基米德三角形. 這是一道歷史悠久的經典名題. 該三角形有眾多有趣性質，其中一條就是△ABM的AB邊上中線平行拋物線的對稱軸（證明同上），當年的山東高考壓軸題與之相比簡直就是如出一轍. 多年來，以阿基米德三角形為背景的高考題不時出現在各省市中，2011年安徽理科第21題又以阿基米德三角形為母題，經過命題專家喬裝改扮，又活躍在考生面前.

復習啟示：也許有老師感慨高考復習題尤其是第二輪復習典題難找，不妨去尋覓一些國外歷史名題，對其中一些性質進行研究，把條件適當放寬或限制，把結論加強或弱化……嘗試對問題進行探索、猜想，對學生進行變式訓練，筆者認為這肯定能收到意想不到的效果.

高考命題強調“能力立意”，“在知識網絡的交匯點處設計問題”，以問題為載體，以知識為基礎，以思維為主線，以能力為目標，全面考查學生進一步學習的潛質，不斷研究高考題，把握高考試題發展方向，使課堂教學有的放矢.也只有這樣，才能提高學習效率，提高教學水平.