衛星地影模型及計算方法研究綜述

李 暢，賀景瑞，李 懋，賴 鵬

（中國人民解放軍63795部隊，北京100089）

1 引言

太陽、地球和衛星，三者在太空中依據其軌道運行規律不停變換相對位置關系。在某些特殊時間和條件下，衛星處于地球相對太陽背面，從而受地球遮擋無法接收太陽光，此類現象叫做“地影”[1-2]，如圖1所示。

圖1 地影示意圖

作為天體運動不可避免的現象，“地影”的覆蓋范圍相當廣泛，包括地球同步靜止軌道衛星、太陽同步軌道衛星等各類型衛星基本上都會面臨地影約束。例如GEO衛星地影期出現在星下點當地春分、秋分前后，每期延續天數約46 d，單次最長地影時長約72 min[3]。由于“地影”期間太陽光被地球遮擋，在缺失陽光這一太空中最重要的自然能量來源后，航天器在軌健康運行管理將面臨嚴峻考驗[4]。

首先，地影期間航天器無法接收太陽光，部分賴以依靠陽光工作的部件將失去效能。如太陽帆板無法采集能量進行光電轉換，衛星系統只能通過星載蓄電池進行放電供電。同時，太陽敏感器也將無法正常開展工作[5]。其次，在無光照條件下，航天器表面溫度將會出現驟降，這對衛星熱控防護提出了較高要求。此外，缺乏太陽光直射意味著衛星受到太陽光壓攝動影響消失，將會引起航天器不同程度姿態和軌道變化[6-7]。因此衛星地影精確預報對在軌航天器長期安全運行和工作效能充分發揮具有重要意義，同時其特征規律也可對衛星總體設計提供參考和建議，加快新技術、新方法研究應用[8]，如智能充放電管理、零部件溫度余量設計等。

綜上所述，本文將從模型分類、判定標準、計算方法、總結與展望等方面對“地影”問題進行分析，行文思路如圖2所示。

圖2 文章結構圖

2 地影模型

1957-10-04，世界第一顆人造衛星——人造地球衛星1號發射升空。緊隨其后，1958年太陽能電池陣開始應用于衛星供電[9]，對其有重要影響的地影問題研究迅速展開。目前，較為通用的地影模型有兩種，分別是柱形地影模型和錐形地影模型，二者關鍵區別在于是否將太陽視為點光源[10]。下面對這兩種模型進行詳細闡述。

2.1 柱形地影模型

在柱形地影模型中，太陽作為非點光源存在，即將太陽光視作平行光束。受地球阻擋，在其后方形成“圓柱形”的陰影區域，因此稱為柱形地影模型，當衛星飛行至該區域時即進入地影期。在此模型中，衛星狀態分為有光照和無光照兩種，如圖3所示。

柱形模型認為太陽、地球間距離足夠遠、太陽半徑足夠大，可抵消太陽光在傳播過程中產生的方向畸變。從數值來看，相對于太陽半徑（6.963×105km）和地球半徑（6.371×104km），日地距離（1.5×108km）已超出二者三四個數量級?；诖?，部分學者認為即便是高軌衛星在定軌弧段不太長時，采用圓柱形地影模型仍可以將精度保持在米級范圍[11]。

圖3 柱形地影模型

2.2 錐形地影模型

然而，隨著各類工程應用對衛星姿態確定精度的要求越來越高，柱形地影模型中太陽光為平行光束前提已無法被輕易忽視。研究指出柱形模型僅適用于低軌衛星陰影計算，對于高軌衛星計算誤差將越來越大[12]，時間相差甚至達1 min以上[13]。因此，需精確考慮太陽光傳播實際情況、太陽和地球半徑及日地距離，錐形地影模型應運而生，如圖4所示。太陽光與地球形成的陰影區如同圓錐形狀，故稱為錐形地影模型。該模型將衛星所處區域分為四類，分別是全影區（完全無光照）、半影區（部分光照）、光照區（完全無遮擋）和偽影區。其中，偽影區因距地球過遠，通常不作考慮。

2.3 常見判定條件

在兩種模型描述地影問題的幾何關系基礎上，眾多研究學者利用不同的陰影區物理量標準得到了不同的判定條件和約束方程，這些物理量標準主要有日衛地心夾角、影錐投影半徑和影錐特征角等[14-15]。下面對這些判定方法進行闡述。

圖4 錐形地影模型

2.3.1 日衛地心夾角

日衛地心夾角判定標準通常用于相對簡單的柱形地影模型。在圖3中，RS1表示太陽地心矢量，RS2表示衛星地心矢量，RE表示地球半徑。根據相對位置關系可得衛星處于陰影期的限制條件[16]：衛星和太陽地心矢量夾角β大于90°，且衛星處于地影陰影柱范圍之內。公式如下：

2.3.2 影錐投影半徑

如圖4所示，設定L為衛星在陰影軸（即日地連線）上的垂直高度，L1為本影邊界在陰影軸上的垂直高度，L2為半影邊界在陰影軸上的垂直高度。C1和C2分別為衛星至前照點A1、后照點A2在陰影軸上的距離。通過計算各參數值并比較各參數之間的大小（如表1所示），可確定衛星所處區域的光照條件。

表1 衛星光照條件判定

2.3.3 影錐特征角

影錐特征角的定義為，以A1為頂點的半影圓錐和以A2為頂點的本影圓錐的半錐角，分別用α和β表示，易知本影圓錐嵌套于半影圓錐中。在地球周年繞日運動中，日地距離變化范圍為1.47×108～1.52×108km，β變化范圍分別為0.264 8°～0.273 8°和0.260 0°～0.268 8°，變化率分別為5.707 8×10-10°/s和5.580 9×10-10°/s，可知二者變化均極小，可視為常數[17]。

此方法判定思路為，首先計算出衛星至A1、A2點與陰影軸的夾角，分別用ζ和η表示[18]，計算方法見公式（1）。衛星若處于陰影中，則滿足ζ＜α、η＜β，同時滿足衛星在地表之上的距離限定條件。

不難看出，本判定標準與影錐投影半徑判定標準本質相同，都是出于本影、半影錐形角來限定地影邊界，不同的是后者應用長度來代替角度進行判定。對于上述兩種判定條件，謝文杰等進行了仿真和驗證，結果證明相較于影錐投影半徑判定法，影錐特征角的計算精度和計算效率明顯提升[17]。影錐角條件判定如圖2所示。

表2 影錐角條件判定

3 計算方法

在根據地影模型得到不同判定標準和約束方程后，如何精確求解方程的同時又保證計算效率，成為了諸多學者研究的重點。在計算方法方面，主要分為天體視半徑計算法和軌道根數計算法兩種。

3.1 天體視半徑法

太陽遮擋示意圖（衛星視角）如圖5所示。此方法基于衛星視角，計算此視角下未受遮擋的太陽視面積，通過與標準太陽視面積比較判斷衛星是否處于地影期。具體計算方法為，設計算地球視半徑為a，太陽視半徑為b，兩天體中心點視距離為c。則太陽視面積（未受遮擋區域）計算公式為：

由公式（2）易知當S=πb2時，衛星處于完全光照時期；當0＜S＜πb2時，衛星被部分遮擋；當S=0時，衛星則處于陰影區[19]。然而此種方法存在精度較低問題，原因為太陽距離地球、衛星較遠，導致衛星視角下太陽角半徑很小，經計算視半徑約為相對的計算誤差較大，因此不適用于高精度計算[13]。

圖5 太陽遮擋示意圖（衛星視角）

3.2 軌道根數法

顧名思義，軌道根數法利用衛星軌道六根數、衛星運動方程以及地影判定條件進行求解，主要分為解析法和數值法。

3.2.1 解析法

求解地影進/出時間本質上是解方程問題，聯立衛星運動方程和陰影約束方程（公式3），可得到一個一元四次方程，如公式（4）所示：

式中Ci包含三角函數和實時變化的日地距離、地心至A1和A2距離等復雜項，因此得到精確的方程解析解幾乎不可能。張世杰等通過簡化上述方程中的變化小量，得到實系數四元方程及近似解，然而卻導致精度下降[20]。這也是解析法面臨的主要困難。

3.2.2 數值法

部分學者研究表明，對于受攝軌道的動力學方程，數值方法求解是唯一途徑[21]。相比于解析法，數值法可以解決四次方程精確求解問題，能夠充分利用衛星高精度定軌參數，將地影計算精度保持在同等水平。然而數值法也存在一些缺陷：因涉及到大量數值積分運算導致計算量較大，不適合長時間大跨度地影規律統計和計算[22]，需要適當增加積分步長，而積分步長增加后往往導致精度下降；由于光壓攝動在邊界突然消失或出現，導致數值法在地影邊界計算時存在“間斷”問題[23]。

公式（5）為衛星運動基本方程，其中v為蝕因子，ρs為光壓強度。衛星處于地影中時取0、地影外取1。由于v的非連續性，在進出地影時公式（5）的右函數會出現間斷，導致誤差增大，從而影響計算精度。

針對數值法存在問題，王歆和劉林展開計算并驗證了間斷對計算的影響程度，并對單步法和多步法進行算法改進和驗證；賈向華等提出了一種變步長的積分數值方法，在陰影預報時逐步減小計算步長，同時保證了計算精度和計算效率[10]。陳劉成通過應用改進Encke積分方法，調整積分步長和節點，實現單步法誤差在厘米級下；通過選擇合適的積分步長，可將多步法對柱形地影模型和錐形地影模型跨邊界帶來的積分誤差雙雙控制在厘米級下[23]。

4 總結與展望

通過對比兩種地影模型可知，柱形地影模型代表著一種簡化、近似的方法，判定條件和計算方法簡單，適用于中低軌衛星地影的快速計算；而錐形地影模型能夠更加真實地反映太陽、地球、衛星三者實際情況，完善了限制條件導致計算量加大，能夠覆蓋各軌道衛星計算需求，已成為高精度陰影預報的不二選擇。模型對比如表3所示。

基于上述研究進展，如今衛星地影預報已達到了相當精確的程度，可滿足地影期間衛星電源系統、姿軌控系統、熱控系統及重要器件防護對時間精確度的要求，相關應對措施及設計研究進展已頗具成效。崔波等針對高軌衛星的鋰離子蓄電池組自主管理系統，充分考慮地影期影響，設計了分模式管理方法并進行了實際驗證[24]；吳文瑞等結合地影模型，對太陽同步軌道熱控分系統進行了分析與優化[25]；嚴靈杰通過分析地影等干擾因素，完善了光電跟蹤系統的位置預測算法[26]。未來將以星上自主解算、自主判斷、自我管理等方向為目標，提高星上運算能力，增強衛星抗地影能力和智能化運行管理發展。

表3 模型對比