復合梯形明渠均勻流正常水深的顯式迭代求解

傅銘煥，陳炳斌

（1.浙江省水利水電勘測設計院，浙江 杭州310002；2.紹興烈辰建設有限公司，浙江 紹興312030）

0 引言

均勻流正常水深的計算是渠道水力學的一個常見問題，梯形斷面作為農業工程和水利工程的典型斷面，其正常水深的求解備受關注。

由于斷面形式的特殊性，梯形斷面明渠的均勻流正常水深求解往往需要多次迭代計算［1］。隨著研究的深入，文獻［2-10］提出了梯形明渠正常水深新的迭代計算式，大大減少了正常水深計算的工作量。

近年來隨著科技的進步與工藝的提升，各種人工渠道（復合梯形明渠）應運而生。相較于一般的梯形明渠或天然河道，復合梯形明渠往往具有不同的邊坡系數或多種材質壁面（含渠底及兩岸護坡）。故其正常水深的求解相較于一般梯形明渠愈加復雜。

對于復合明渠，現階段缺少對其正常水深計算的研究。根據別洛康和愛因斯坦的復合糙率系數公式，研究復合梯形明渠均勻流正常水深的計算方法，提出其穩定的顯式迭代求解公式。

1 綜合糙率系數公式的選取

圖1為一復合梯形明渠示意圖。圖中Q為過渠流量；i為渠道坡降；nc為復合梯形明渠綜合糙率系數；h0為梯形明渠均勻流正常水深；b為復合梯形明渠底寬；m1、m2分別為梯形兩側邊坡系數；n1、n2、n3分別為梯形兩側邊坡及渠底的糙率系數；A1、A2、A3分別為梯形兩側邊坡及底部對應的過水面積；χ1、χ2、χ3分別為梯形兩側邊坡和渠底的濕周。

圖1 復合梯形明渠簡圖

渠道均勻流正常水深的求解主要根據明渠恒定流連續性方程和謝才公式而得［11］。其中，謝才公式須知道復合梯形明渠的綜合糙率系數nc?，F階段，nc的常用計算公式有巴甫洛夫斯基公式、別洛康和愛因斯坦公式和加權平均法公式，分別如下［1］。

巴甫洛夫斯基公式：

別洛康和愛因斯坦公式：

加權平均法公式：

本文借用張紅岐［12］的試驗資料，對式（1）～式（3）計算的精度進行驗證，詳細試驗參數及計算結果見表1。由表1可知，別洛康和愛因斯坦公式計算的綜合糙率系數位于3個公式計算值的中間。巴甫洛夫斯基公式計算的平均誤差為2.77%，最大誤差為7.77%；別洛康和愛因斯坦公式計算的平均誤差為2.74%，最大誤差為7.08%；加權平均法公式計算的平均誤差為2.74%，最大誤差為6.35%。3個公式計算的20組試驗工況精度基本相同，均能滿足工程運用。對于個別試驗工況計算偏差相對較大，分析認為是由于實際施測的測量誤差引起的。因為渠道實際糙率系數并無直接計算公式，而需根據實際測量的流速、底坡及斷面參數反算而得。文獻［13］的研究也表明，原型觀測糙率系數測定的最大誤差分別為5.0373%和4.3050%。由上述分析可以看出，式（1）～式（3）均能作為計算復合梯形明渠均勻流正常水深的綜合糙率計算公式。

巴甫洛夫斯基公式假定各濕周的過水斷面平均流速相等以及各過水斷面的水力半徑相等。別洛康和愛因斯坦公式僅假定了各濕周的過水斷面平均流速相等，而未做其他假定。出于公式的理論性，加之式（2）計算值位于式（1）和式（3）的中間，本文選取別洛康和愛因斯坦公式（式（2））作為復合梯形明渠的綜合糙率系數計算公式。

2 正常水深迭代公式的推求

根據連續性方程及謝才公式，可得復合梯形明渠均勻流流量公式為：

式中：Ac=A1+A2+A3為復合梯形明渠總的過水斷面面積；χc=χ1+χ2+χ3為復合梯形明渠過水斷面總濕周。

將式（2）帶入式（4），整理得：

由圖1可得復合梯形明渠總的過水斷面面積：

復合明渠各段濕周分別為：

將式（6）和式（7）帶入式（5）并整理得：

由式（8）可知，復合梯形明渠均勻流正常水深的計算是一個復雜的隱函數求解過程。令寬深比β=b/h0，并帶入式（8）得：

式（9）可變形為：

由式（10）可得復合梯形明渠寬深比的迭代計算式，即：

應用式（11）進行迭代求解，須先證明式（10）的導函數在寬深比β∈（0，+∞）的變化范圍內收斂。令β=f（β），并對式（10）求導可得：

對式（10）進行轉換變形，得：

將式（13）帶入式（12）可得：

將式（2）和式（7）帶入式（14），可得：

前文已述別洛康和愛因斯坦公式假定了各濕周的過水斷面平均流速相等，即：

式中：vc為復合梯形明渠全斷面平均流速；v1、v2、v3分別為A1、A2、A3過水斷面的平均流速。

由式（16）可知：

式中：Rc=Ac/χc為過水斷面的水力半徑；R3=h0為A3過水斷面的水力半徑。

由式（17）可得：

將公式（18）帶入公式（15）可得：

令B=（m1h0+m2h0+b）為復合梯形水面寬度，則由圖1可知，復合梯形上下底面的平均寬度故式（19）可簡化為：

對于寬深比的初值，本文根據其變化范圍的上下限來定義。當寬深比趨近于0時，由式（11）可得：

當寬深比β趨近于正無窮時，β0也趨近于正無窮，其初值無法確定。故本文取式（21）的計算值作β0為式（11）的迭代初值。

將β=b/h0分別帶入式（11）和式（21），可得復合梯形明渠均勻流正常水深的顯示迭代計算式：

式中：hk為迭代的正常水深值。

3 算例與驗證

由于式（8）的正常水深計算式是依據式（2）而來，故以文獻［12］中的20組試驗工況為例，用式（8）多次迭代計算的復合梯形明渠均勻流正常水深，驗證用式（2）計算復合梯形糙率的可行性，具體計算結果見表1。由表1可知，式（8）多次迭代計算的正常水深平均誤差為1.42%，最大誤差為3.8%，能滿足工程運用要求。可見，用式（2）計算的綜合糙率系數來求解復合梯形明渠正常水深是可行的。

本文同時用文獻［12］中的20組試驗工況，分析式（22）的迭代計算效果，具體見表2。由表2中20組試驗工況可知，本文式（22）迭代計算的寬深比在進行5次迭代后，其值已經無限接近于式（8）計算的多次迭代值。由此可知，式（22）迭代公式是正確的。式（22）進行3次迭代后，20組工況的最大誤差為-2.35%，但進行第4次迭代后，所有工況誤差均小于1%。可見，本文式（22）具有較快的收斂特性，只需迭代3～4次，其計算精度就足以滿足設計要求。同時，式（22）迭代的寬深比比多次迭代值略小，故其計算的正常水深值比多次迭代值略大，工程運用偏于安全。

表1 nc與h0的驗證

表2 βk的迭代計算

4 結語

本文根據文獻［12］的試驗工況，對現有常用的復合梯形明渠糙率公式——式（1）～式（3）進行分析與比較。結果表明，式（1）～式（3）計算精度基本相同，其中式（2）的計算值位于式（1）和式（3）的中間。根據別洛康和愛因斯坦的復合明渠綜合糙率計算公式，推求了均勻流正常水深的顯性迭代計算式。結果表明，用別洛康和愛因斯坦公式計算復合梯形明渠正常水深是可行的。式（22）迭代求解的復合梯形明渠正常水深只需3～4次迭代計算，就能滿足工程運用要求。式（22）經4次迭代求解后，正常水深的平均誤差均小于1%。