三輪移動機器人的精確運動控制設(shè)計

文相容，周宇生

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴陽 550025)

輪式移動機器人是一種通過驅(qū)動輪子轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)運動功能的非完整約束結(jié)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡單、能耗低和運動靈活等優(yōu)點[1]。輪式移動機器人按輪子數(shù)量可分為獨輪、兩輪、三輪、四輪和多輪移動機器人。在實際應(yīng)用中，會根據(jù)需要采用不同的輪式移動機器人。獨輪和兩輪機器人占地面積小且運動最為靈活，但豎直方向部分容易翻倒，是需要自平衡控制的倒立擺結(jié)構(gòu)[2]。三輪移動機器人雖然靈活性不如獨輪和兩輪，但結(jié)構(gòu)穩(wěn)定不容易翻倒，且靈活性比四輪移動機器人要強很多。因此兼具穩(wěn)定性和靈活性優(yōu)點的三輪移動機器人在實際生活工作中應(yīng)用非常廣泛。

目前關(guān)于三輪移動機器人的控制研究大都側(cè)重于其運動學(xué)方程[3-6]，通過將其運動學(xué)方程轉(zhuǎn)化為鏈?zhǔn)綐?biāo)準(zhǔn)型，設(shè)計速度控制器跟蹤給定的目標(biāo)速度[7-9]。但在實際中一般是通過驅(qū)動力或力矩來實現(xiàn)控制目的，所以設(shè)計力或力矩控制器更符合實際。文[10]針對高速運動情況下，對輪式移動機器人進(jìn)行了運動學(xué)、動力學(xué)模型重建，并利用反演控制方法設(shè)計了抗側(cè)滑運動學(xué)反演控制器，同時利用逆動力學(xué)控制方法設(shè)計了抗擾動逆動力學(xué)控制器，完成了機器人對預(yù)定軌跡的跟蹤。一般情況下，實際運動任務(wù)是控制三輪移動機器人精確沿給定目標(biāo)軌跡曲線運動，而動力學(xué)方程只是單純描述其運動速度和驅(qū)動力或力矩之間的關(guān)系。因此，需要將給定的目標(biāo)軌跡曲線轉(zhuǎn)化為速度目標(biāo)形式，這樣就可以將原來的運動控制問題轉(zhuǎn)化為基于動力學(xué)方程的一般跟蹤控制問題，從而使得問題變得簡單且容易實現(xiàn)。文[11]利用平面曲線基本理論，將兩輪式倒立擺的目標(biāo)軌跡曲線轉(zhuǎn)化為速度目標(biāo)形式，結(jié)合其動力學(xué)方程為兩輪式倒立擺設(shè)計了力矩控制器，精確實現(xiàn)往返運動控制。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，輪式移動機器人的精確軌跡跟蹤變得越來越重要，目前關(guān)于精確軌跡跟蹤控制的研究主要側(cè)重于先進(jìn)控制器的設(shè)計，文[12]通過間接自適應(yīng)模糊滑模控制方法，構(gòu)造基于旋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和縱向子系統(tǒng)的復(fù)合控制，實現(xiàn)速度跟蹤和傾角穩(wěn)定。文[13]設(shè)計了基于反步法的自適應(yīng)控制，實現(xiàn)了輪式倒立擺的輸出跟蹤穩(wěn)定。文[14]為解決平臺與安裝機器人之間的擾動、非線性和非完整約束之間的動力學(xué)耦合問題，提出了一種基于反步法的自適應(yīng)滑模控制器用于移動機械臂的軌跡跟蹤。從這些文獻(xiàn)的仿真結(jié)果來看，無論控制設(shè)計方法多么先進(jìn)，實際軌跡總是與目標(biāo)軌跡曲線有一定的偏差，特別是在剛開始的一段時間內(nèi)。主要原因是實際運動速度與目標(biāo)速度之間的初始速度誤差比較大，導(dǎo)致整個運動過程中的累積位置誤差越來越大。因此，必須根據(jù)運動任務(wù)設(shè)計合適的速度跟蹤目標(biāo)，盡量減少初始速度誤差。通過分析其側(cè)向運動速度為零這一非完整約束，利用微分幾何理論得到目標(biāo)軌跡曲線與速度目標(biāo)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。引入一個微分同胚的變量變換，將前向速度目標(biāo)轉(zhuǎn)化為和實際初始速度更接近的形式，通過減少初始速度誤差來盡量減少三輪移動機器人運動時的累積位置誤差。最后通過仿真說明所提軌跡跟蹤目標(biāo)設(shè)計和魯棒控制設(shè)計方法的有效性。

1 三輪移動機器人的運動學(xué)方程

如圖1所示，三輪移動機器人的后2輪上各裝有一個驅(qū)動馬達(dá)，同時前輪通過控制方向盤來實現(xiàn)轉(zhuǎn)向。當(dāng)后2輪中心點C(x，y)隨著三輪移動機器人在平面上做連續(xù)光滑運動時，點C的運動軌跡是一條光滑曲線，此時點C在與切向垂直方向的側(cè)向速度為0，如若不然，其軌跡曲線會出現(xiàn)不光滑的尖點。因此三輪式移動機器人在平面上做光滑曲線運動時一般受到如下非完整約束

圖1 三輪移動機器人結(jié)構(gòu)簡圖

(1)

(2)

根據(jù)方程(2)中的第二式可以知道，軌跡曲線的切向量長度就是點C沿該曲線運動的前向速度。因此，可以將方程(2)改寫為

(3)

此外，當(dāng)三輪移動機器人的后2輪不側(cè)滑不空轉(zhuǎn)時，需要滿足下面2個完整約束

(4)

其中：θ是三輪移動機器人的偏航角；θl和θr分別是左右兩輪的轉(zhuǎn)角；r是輪子的半徑。

(5)

然后將方程(2)的第二式代入方程(5)并結(jié)合方程(1)，整理得到三輪移動機器人后兩輪所受的運動約束方程

(6)

接下來，分析三輪移動機器人前輪所受到的約束。

如圖2所示，P(xp,yp)點具有雙重身份。一方面當(dāng)P點作為前輪中心，在不發(fā)生側(cè)滑運動時，其側(cè)向速度為0，即滿足方程

圖2 P點速度示意圖

(7)

另一方面當(dāng)P點作為中間體的前端點時，該點的速度滿足如下關(guān)系

(8)

由方程(7)和(8)得到

(9)

方程(9)是一個重要的非完整約束，它描述了前輪轉(zhuǎn)向和后輪運動速度之間的關(guān)系。將方程(3)的第一式代入方程(9)，則方程(9)可改寫為

(10)

這里φ是前輪操舵轉(zhuǎn)向角，將其看作一個控制變量，因為它是通過人為控制方向盤轉(zhuǎn)向得到的。

結(jié)合方程(3)、(5)和(9)，將三輪移動機器人的所有運動約束總結(jié)為

(11)

2 三輪移動機器人的動力學(xué)方程

令三輪移動機器人的廣義坐標(biāo)為q=(x,y,θ,θr,θl)T，方程(11)可以表示為以下矩陣形式

(12)

其中

利用非完整力學(xué)系統(tǒng)的Euler-Lagrange方程，三輪移動機器人的動力學(xué)方程為

(13)

方程(13)中的F(q)選取為

F(q)S=0。

(14)

接下來需要計算三輪移動機器人的動能。根據(jù)圖1所示，得到如下位置關(guān)系

其中，(xwl,ywl),(xwr,ywr)分別是左右輪的中心坐標(biāo)。此時三輪移動機器人上的各中心點速度分別表示為

因此，三輪移動機器人的后2輪的前向動能和轉(zhuǎn)動動能之和表示為

同樣地，可以將三輪移動機器人的前輪和中間體的前向動能和轉(zhuǎn)動動能之和分別表示為

其中：MB是中間體質(zhì)量；Mw是輪子質(zhì)量；Iwd是輪子繞z軸方向轉(zhuǎn)動慣量；Iw是輪子繞輪軸方向轉(zhuǎn)動慣量；IB是中間體繞z軸方向轉(zhuǎn)動慣量。

將Lagrange函數(shù)L=Tw+TB+Tf代入方程(13)，然后按狀態(tài)變量的各階導(dǎo)數(shù)整理得到

(15)

其中：

將方程(12)兩邊同時關(guān)于t求導(dǎo)，然后代入方程(15)得

(16)

在方程(16)的左右兩邊同時左乘ST(q)，結(jié)合方程(14)消去等式中的Lagrange乘子得

整理上式，最終可以將三輪移動機器人動力學(xué)方程表示為如下狀態(tài)方程形式

(17)

其中

β1=a2r2MB+4a2r2Mw+2d2r2Mw+4r2IB+4a2Iw+8r2Iwd，

β2=(2d2r2Mw+4r2IB+8Iwdr2-3a2r2MB-8a2r2Mw-8a2Iw)cosφ-β1。

3 三輪移動機器人的軌跡跟蹤運動控制

3.1 速度跟蹤目標(biāo)設(shè)計

(18)

對方程(18)兩邊同時關(guān)于t求導(dǎo)得

(19)

將方程(18)和(19)交叉相乘并相減得

因此中心點C運動速度與運動軌跡曲線之間的關(guān)系式為

(20)

由于φ和u1之間有約束關(guān)系，本文將φ和u2看作控制變量。觀察發(fā)現(xiàn)方程(17)是解耦的，可以先通過第二個方程將u1設(shè)計出來。然后結(jié)合方程(9)有

(21)

再利用方程(21)將控制器φ設(shè)計出來。然后將控制變量φ代入方程(17)的第一式，設(shè)計控制器u2實現(xiàn)最終的軌跡跟蹤任務(wù)。

從上式可以看出，當(dāng)參數(shù)變換后，前向速度目標(biāo)也是隨之而改變的。因此，上式中含有曲線相對曲率的第二式才是對軌跡曲線的本質(zhì)刻畫。

其中，α>0,β>0，r>0，并且滿足

(22)

由方程(22)有r=l,α=lβ2。因此函數(shù)φ(η)可以設(shè)計為

φ(η)=-(βη+1)le-βη+l,

其中l(wèi)是目標(biāo)軌跡曲線長度。

(23)

其中：s=φ(t)=-(βt+1)le-βt+l.

3.2 偏航轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)

由于方程(17)是解耦的，先考慮其偏航轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)

(24)

偏航轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)(24)比較簡單，容易設(shè)計反饋跟蹤控制器。為了加強它的魯棒性，采用積分滑模思想處理不確定性因素的影響[15]。

其中d1(t)是偏航轉(zhuǎn)速誤差系統(tǒng)受到的不確定性因素。

其中k是誤差反饋控制增益參數(shù)。

再將軌跡跟蹤目標(biāo)設(shè)計成積分滑模面S1(ω(t))=0，且

其中G1>0是合適的常數(shù)。這樣，切換控制部分設(shè)計為

其中:μ是滑模控制參數(shù)；ε是外部擾動最大振幅。因此，u1設(shè)計為

u1(t)=u10(t)+u11(t)。

(25)

最后，結(jié)合方程(21)和(25)，最終設(shè)計的操舵角控制器為

(26)

3.3 前向速度控制系統(tǒng)

接下來考慮前向速度控制系統(tǒng)

(27)

對系統(tǒng)(27)利用反饋線性化思想處理，設(shè)

(28)

得到一個簡單的控制系統(tǒng)

令X=[x1,x2]T=[s,υ]T，前向速度控制系統(tǒng)改寫為

(29)

再將控制方程(29)轉(zhuǎn)化成誤差系統(tǒng)，令

則前向速度誤差系統(tǒng)為

其中d2(t)是前向速度誤差系統(tǒng)受到的不確定性因素。

為了使得前向速度誤差盡量小，可以將前向速度誤差的權(quán)重取得足夠大[11]。利用線性二次型最優(yōu)控制理論，h(t)設(shè)計為

h(t)=-R-1BT[P(t)Y(t)+b(t)],

其中：P(t)∈2×2，b(t)∈2滿足方程

-PA-ATP+PBR-1BTP-Q=0，

為了增強反饋控制的魯棒性，同樣采用積分滑模思想來處理不確定性因素。系統(tǒng)(29)的控制器基礎(chǔ)部分設(shè)計為

h20(t)=-R-1BT[P(t)Y(t)+b(t)]。

引入積分滑模函數(shù)

其中，G2是適當(dāng)?shù)某＞仃嚒?/p>

積分滑模面設(shè)計為S2(X(t))=0，因此系統(tǒng)(29)的控制最終設(shè)計為

h2(t)=h20(t)+h21(t),

(30)

其中：h21是切換的不連續(xù)控制，用來補償系統(tǒng)不確定性因素和外部擾動的影響，

h21(t)=-(μ+ε||Y||1)(G2B)-1sgn(S2(X(t)))。

結(jié)合方程(28)和(30)，前向速度控制器設(shè)計為

(31)

4 仿真實現(xiàn)

考慮目標(biāo)軌跡曲線是單位圓，假設(shè)初始時刻三輪移動機器人是靜止的，且目標(biāo)軌跡曲線為

由曲線基本理論，目標(biāo)軌跡曲線的曲率為k(t)=1。

根據(jù)方程(20)，軌跡曲線的速度目標(biāo)形式表示為

(32)

再根據(jù)方程(23)，改進(jìn)的速度跟蹤目標(biāo)設(shè)計為

(33)

假設(shè)三輪移動機器人的各部分參數(shù)選擇如下

M=3 kg,Mw=2 kg,a=1 m，r=0.1 m，Iw=0.01 kgm2,Iwd=0.005 kgm2,I=0.01 kgm2。

l=π/2,β=0.5,k=2,μ=0.01,ε=2,G1=1.8,G2=diag(100,1)。

若前向速度誤差控制系統(tǒng)和偏航轉(zhuǎn)速誤差控制系統(tǒng)分別受到如下未知擾動影響

且將φ(t)設(shè)計為

此時，關(guān)于控制器(26)和(31)中的所有量就都已知了，實驗如圖3、4所示。

圖3 前向速度誤差圖

從圖3和圖4可以看出，采用速度目標(biāo)(32)會使得初始速度誤差不為零，而改進(jìn)后的速度跟蹤目標(biāo)(33) 從初始時刻開始速度誤差為零。如若初始速度誤差過大，自然會導(dǎo)致三輪移動機器人在整個運動過程中累積位置誤差也很大，最終導(dǎo)致實際運動軌跡曲線嚴(yán)重偏離目標(biāo)軌跡曲線。如圖5所示，由于筆者設(shè)計控制器時采用了積分滑模的思想，所設(shè)計的滑模控制器具有很強的魯棒性。因此即使誤差控制系統(tǒng)存在不確定性因素的影響，采用速度目標(biāo)(33)和積分滑模控制器時，得到的實際運動軌跡幾乎和目標(biāo)軌跡重合，反之采用速度目標(biāo)(32)時，即使同樣采用積分滑模控制，得到的實際軌跡曲線也會嚴(yán)重偏離目標(biāo)軌跡曲線，這主要是由于初始速度誤差導(dǎo)致的累積位置誤差太大所致。

圖4 偏航轉(zhuǎn)速誤差圖

圖5 三輪移動機器人在平面上的實際運動軌跡

5 結(jié) 論

通過分析三輪移動機器人的運動約束方程和運動規(guī)律，針對給定的目標(biāo)軌跡曲線，給出了一種新的速度跟蹤目標(biāo)和控制器設(shè)計方法。該方法可以通過選擇合適的光滑函數(shù)，為三輪移動機器人設(shè)計合適的前向速度和偏航轉(zhuǎn)速目標(biāo)，使得在控制過程中能夠極大地減少誤差控制系統(tǒng)的初始速度誤差，從而達(dá)到減少累積位置誤差的目的。仿真結(jié)果表明，采用文中所提出的速度跟蹤目標(biāo)和控制方法，可以使得三輪移動機器人能精確地沿著給定的目標(biāo)軌跡曲線運動。

提出的精確軌跡運動控制方法完全可以推廣到三維空間中的軌跡曲線跟蹤運動，并應(yīng)用于航天航空、機器人、機械制造等需要精確軌跡運動控制的領(lǐng)域。