轉化運動條件，分段構建模型

萬春

[摘? 要] 幾何動點問題的難點集中體現在“動”字，包括處理動態條件、求解動態線段、轉化動態模型. 實際解題時可圍繞運動公式，由點求線、以線建模，合理利用分類討論思想，把握運動臨界點來構建模型，實現動態模型的具體化. 文章將以一道幾何雙動點問題為例，探究解題過程，開展教學微設計，反思解題教學.

[關鍵詞] 幾何;動點;函數關系

幾何動點問題是中考常見問題類型，該類試題往往以動點為依托，引出動線，然后構建動態圖形. 設問常以一個或多個動點作為變量，探究變量之間的關系，或以動態圖形為重點，探究圖形特性. 問題突破時需要關注點的運動過程，分析圖形的變化，然后把握圖形的特殊時刻來構建模型，分步討論. 下面以2020年黑龍江省的中考數學卷考題為例，開展解題突破，進行解題反思.

問題呈現

考題：（2020年黑龍江中考卷）如圖1所示，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB長是x2-3x-18=0的根，連結BD，∠DBC=30°，并過點C作CN⊥BD，垂足為N，動點P從B點以每秒2個單位長度的速度沿BD方向勻速運動到D點為止;點M沿線段DA以每秒 個單位長度的速度由點D向點A勻速運動，到點A為止，點P與點M同時出發，設運動時間為t秒（t>0）.

（1）線段CN=________;

（2）連結PM和MN，求△PMN的面積S與運動時間t的函數關系式;

（3）在整個運動過程中，當△PMN是以PN為腰的等腰三角形時，直接寫出點P的坐標.

思路探究

本題目以矩形為背景，涉及雙動點沿著不同的方向，以不同的速度進行運動，由于點P和M的運動，使得以其為頂點構建的圖形呈現動態變化狀態. 后續的分析需要把握運動過程的特殊時刻、特殊位置，構建問題模型，利用基礎知識求解.

第（1）問——解析方程，幾何探究

該問求線段的長，考查幾何基礎知識. 設定AB長是方程x2-3x-18=0的根，則可求出AB的長，點N是直角三角形的直角頂點，利用直角三角形特性即可逐步求出CN的長.

AB是方程的解，變形方程可得（x-6）（x+3）=0，線段長為正值，則AB=6. 根據矩形特性可知AD=BC，AB=CD=6，∠BCD=90°. 又知∠DBC=30°，則BD=2CD=12，BC= CD=6 ，所以CN=? BC=3 .

第（2）問——分類討論，構建模型

該問構建了△PMN，解析三角形面積與運動時間t之間的函數關系. 可將△PMN視為是以點M為頂點，PN為底的三角形，則點P的位置變化將影響到底PN的表示方法，故需要對點P的位置進行討論.

如圖2所示，過點M作BD的垂線，設垂足為點H，則MH就為△PMN的高，可將其面積表示為S= PN·MH. 由運動條件可知MD= t，在Rt△MDH中，已知∠DBC=30°，則MH= MD= t，可求得BN= CN=9. 需分點P位于BN段、點N處和ND段三種情形討論△PMN面積的構建.

情形一：當點P位于BN段上時，0

情形二：當點P位于點N處時，t= ，此時P、N、M三點無法構建三角形，故其面積S=0;

情形三：當點P位于ND段時， <t≤6，此時PN=2t-9，則S= PN·MH= （2t-9）· t= t2-? t;

綜上，當0

第（3）問——把握特性，充分討論

該問討論△PMN是以PN為腰的等腰三角形時點P的位置，雖然設定PN為腰，但結合等腰三角形特性，可知存在PN=PM和PN=NM兩種情形. 后續解析點坐標可結合勾股定理來構建方程，求解點P的運動時間，進而確定點P位置.

如圖3所示，過點P作BC的垂線，設垂足為點E. 顯然若PN為等腰三角形的腰，則點P一定位于線段BN上，此時PN=9-2t.

當PN=PM=9-2t時，在Rt△PHM中使用勾股定理，可得PM2=MH2+PH2，則（9-2t）2= t +12-2t- t ，可解得t=3或t= ，所以BP=6或 . 當BP=6時，由于∠DBC=30°，則PE=sin30°·BP= BP=3，BE=cos30°·BP= BP=3 ，所以點P的坐標為（3 ，3）;當BP=? 時，同理可求得點P的坐標為 ， ;

當PN=NM=9-2t時，在Rt△NHM中使用勾股定理，可得NM2=MH2+NH2，則（9-2t）2= t + t-3 ，可解得t=3或24（舍去），則BP=6，所以點P的坐標為（3 ，3）;

綜上可知，點P的坐標為（3 ，3）或 ， .

教學微設計

在實際教學中建議采用教學微設計的方式，由易到難引導學生逐步剖析問題，幫助學生構建解題思路. 以上述考題為例，可分如下四個環節.

環節（一）——讀題審題，信息處理

問題條件：如圖4所示，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB長是x2-3x-18=0的根，連結BD，∠DBC=30°，并過點C作CN⊥BD，垂足為N，動點P從B點以每秒2個單位長度的速度沿BD方向勻速運動到D點為止;點M沿線段DA以每秒 個單位長度的速度由點D向點A勻速運動，到點A為止，點P與點M同時出發，設運動時間為t秒（t>0）.

設問①：求出邊AB的長，分析△DBC與△NCD的關系;

設問②：提取條件中的動點運動要素，用含有t的參數表示BP和DM的長.

教學引導：①教學中引導學生通過解方程求出AB=6，關注△DBC與△NCD的內角關系，確定△DBC∽△DCN，則∠DCN=30°，可在Rt△DCN中使用三角函數直接求出CN的長.

②引導學生處理動態要素，即點P，B→D，v=2單位長度/秒;點M，D→A，v= 單位長度/秒. 后續利用運動公式可得BP=2t，MD= t.

環節（二）——動靜結合，分段討論

在環節（一）的基礎上添加如下條件：連結PM和MN，構建△PMN，過點M作BD的垂線，設垂足為點H.

設問①：將△PMN視為是以點M為頂點，PN為底的三角形，則如何表示其面積，MH為PN上的高，試求其長度.

設問②：點P在BD上運動，請以點N為臨界點，分別計算其運動時刻及PN的長度.

教學引導：①引導學生根據設問構建合理的面積模型，即S= PN·MH，后續只需要分別求PN和MH的長即可表示面積. 在Rt△MDH中，已知MD= t，∠MDH=30°，則MH=MD·sin∠MDH= t.

②求△PMN面積的難點主要集中在求PN上，結合點P移動位置分段求解. 引導學生分BN、點N、DN三段，計算出點P運動到點N的時刻：t= = ，運動到點D時刻：t= =6. 然后在此基礎上求解PN的長，即當0

解后探討

上述是關于雙動點的幾何探究題，考題共分三小問，分別解析線段長，求面積函數，討論等腰三角形特性，問題難度由淺入深. 首先引導學生處理動點條件，然后聯系動點構建面積模型，最后深入結合幾何特性討論動點位置. 考題的分層設問旨在引導學生合理處理動點條件，靈活利用動點條件構建模型，聯系特殊圖形性質. 上述考題的解析過程有如下幾點啟示.

啟示一：把握點動要素，構建與線段關系

點的運動過程必然涉及三大要素：速度、時間、方向，結合三要素可將其轉化為線段長，即根據物理上利用點動的速度和時間推導路程. 因此在已知點動速度的前提下，可將線段長表示為關于時間t的函數，這也是幾何動點問題的常見處理方法. 教學中建議引導學生回顧運動公式，聯系動點條件建立與線段長的關系，掌握動點條件的轉化方法.

啟示二：考慮動點位置，分段構建模型

點動過程必然會影響到圖形的形狀，在分析幾何特性時需要充分考慮動點位置，尤其是求解雙動點問題. 如上述討論三角形面積，考慮動點位置的影響，分段構建模型;解析等腰三角形，結合等腰特性來分情形討論. 問題解析通常結合動點對圖形的影響進行位置分段，一般考慮兩點：一是對線段函數的影響;二是對圖形形狀的影響，適用于面積類問題. 教學中建議引導學生關注動點軌跡，探究點動對線段的影響，采用分段的策略構建模型.

啟示三：重視解題策略，利用思想方法

動點問題是幾何動態問題類型之一，問題的難點有兩個：一是轉化動態條件，二是構建幾何模型. 動態問題與常規問題的區別體現在“動”，因此需要采用合理的解題方法實現化“動”為“靜”. 上述解析時圍繞點動的特殊位置，分段求解線段長，采用數形結合、分類討論的思想方法構建幾何模型，該解題策略在解析動點問題時十分有效. 因此，教學中建議重點放在解題策略的探究上，引導學生把握動靜結合的臨界點，將動態模型具體化，同時注重思想方法滲透，讓學生逐步感悟方法的思想內涵，提升數學素養.