關(guān)于幾何問題多解成因的舉例探究

李通

[摘? 要] 幾何多解問題在初中數(shù)學(xué)十分常見，如不能把握問題的核心條件，理解多解成因很容易造成漏解或錯解，因此探究幾何多解的成因十分重要. 文章將深入剖析多解問題，結(jié)合實(shí)例探究多解問題的四大成因，與讀者交流探討.

[關(guān)鍵詞] 幾何;多解;成因;圖形;點(diǎn)位置;相似

問題綜述

多解是數(shù)學(xué)幾何中常見的情況，即對于同一問題，在設(shè)定條件下，需要考慮問題的不同情形，對應(yīng)的結(jié)論不是唯一的. 在解題時如若考慮不全面，很容易造成“漏解”，因此深入探究幾何問題多解的成因十分必要. 造成幾何問題多解的因素是多樣的，包括因圖形表述不確定、點(diǎn)位置不確定、特殊圖形特性不明、相似三角形對應(yīng)關(guān)系不明等. 對于幾何多解題，可采用分類討論的策略，解題時需要把握造成問題多解的成因，結(jié)合題意分別討論不同情形，構(gòu)建模型逐步剖析. 下面結(jié)合實(shí)例對幾何多解問題的成因及構(gòu)建思路進(jìn)行深入剖析.

實(shí)例探究

成因一：圖形表述不確定引起的多解

圖形表述不確定是造成幾何問題多解的重要成因，圖形表述不確定有多種情形，如旋轉(zhuǎn)角度不確定、平移方向不確定、圖形形狀不確定等. 具體解析時要根據(jù)核心條件來逐步推理，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，從而確定具體的圖像.

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，點(diǎn)D、E分別是邊BC和AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D、E旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D′、E′，當(dāng)直線D′E′經(jīng)過點(diǎn)A時，線段CD′的長為______.

分析 本題目中以幾何旋轉(zhuǎn)為背景，探究旋轉(zhuǎn)后線段CD′的長，核心條件是“直線D′E′經(jīng)過點(diǎn)A”，由于沒有限制旋轉(zhuǎn)角度，該條件下有兩種情形：情形一，點(diǎn)D′、E′位于點(diǎn)B的上方;情形二，點(diǎn)D′、E′位于點(diǎn)B的下方. 后續(xù)只需結(jié)合三點(diǎn)共線構(gòu)建模型，然后提取圖形中的特殊關(guān)系即可求解.

解 在Rt△ABC中使用勾股定理，可得AB= =2 ，由于點(diǎn)D、E分別是邊BC和AB的中點(diǎn)，則DE是△ABC的中位線. 其中BD=2，BE= ，所以DE∥AC，DE= AC=1，則∠EDB=90°. 根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可得BD′=2，D′E′=1，BE′= ，∠BD′E′=90°. 有如下兩種情形.

情形一：點(diǎn)D′、E′位于點(diǎn)B的上方時，如圖1所示. 由于點(diǎn)A、D′、E′三點(diǎn)共線，則∠AD′B=90°. 在Rt△AD′B中使用勾股定理，可得AD′= =4，所以AE′=5. 因為∠ABC=∠D′BE′，則∠CBD′=∠ABE′，結(jié)合 = = 可證△CBD′∽△ABE′，所以 = ，可解得CD′=2 ;

情形二：點(diǎn)D′、E′位于點(diǎn)B的下方時，如圖2所示. 由于點(diǎn)A、D′、E′三點(diǎn)共線，則∠AD′B=90°，在Rt△AD′B中使用勾股定理，可得AD′= =4，所以AE′=3. 因為∠ABC=∠D′BE′，則∠CBD′=∠ABE′，結(jié)合 = = 可證△CBD′∽△ABE′，所以 = ，可解得CD′=? ;

綜上可知，CD′的長為2 或? .

評析 上述幾何問題中由于沒有給定圖形旋轉(zhuǎn)的具體方向和角度，條件表述不明造成了問題多解，結(jié)合圖中的共線關(guān)系，出現(xiàn)了兩種情形，這是問題分類討論的基礎(chǔ). 后續(xù)利用特殊圖形、特殊關(guān)系構(gòu)建思路即可完成求解.

成因二：點(diǎn)位置不確定引起的多解

點(diǎn)的位置關(guān)系是幾何問題討論的關(guān)鍵，位置關(guān)系將直接影響到幾何圖像. 若問題中點(diǎn)的位置不確定則可能造成問題多解，如點(diǎn)在線段上的位置，點(diǎn)在圖形內(nèi)外的位置等. 具體解析時可分類討論點(diǎn)之間的位置關(guān)系，構(gòu)建具體的問題圖像，然后結(jié)合相關(guān)知識逐步剖析.

例2 在正方形ABCD中，AB=6，連接AC，BD，已知點(diǎn)P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若PD=2AP，則AP的長為______.

分析 本題目中直接明確了點(diǎn)P的位置有多種情形，可位于正方形邊上，也可位于對角線上，因此需要基于點(diǎn)P開展分類討論，構(gòu)建具體的模型. 問題的核心條件是“PD=2AP”，據(jù)此可推導(dǎo)出AP的長度.

解 由于四邊形ABCD是正方形，則AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°，AC=BD=6 . 需要討論點(diǎn)P的位置.

①當(dāng)點(diǎn)P位于AD上時，如圖3所示，由于AP+PD=AD=6，PD=2AP，所以AP=2;

②當(dāng)點(diǎn)P位于AB上時，如圖4所示. 因為∠PAD=90°，則AP 2+AD 2=PD 2. 因為AD=6，PD=2AP，則AP 2+36=4AP 2，所以AP=2 ;

③當(dāng)點(diǎn)P位于AC上時，如圖5所示. 過點(diǎn)P作AD的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)N，則△PDN和△APN均為直角三角形，設(shè)AN=x，則DN=6-x，PN=x，由勾股定理可得AP= x，PD= .

因為PD=2AP，所以 =2 x，可解得x= -1或x=- -1（不符合題意，舍去），所以AP= x= - ;

而當(dāng)點(diǎn)P位于正方形的其余邊上或?qū)蔷€上時，不存在可使PD=2AP的點(diǎn).

綜上可知，AP的長為2或2 或 - .

評析 上述問題中明確了點(diǎn)P可位于正方形的邊上，也可位于對角線上，直接確定了需要分類討論點(diǎn)P的位置. 而在實(shí)際討論中排除了核心條件不成立的情形，確定點(diǎn)位置的三個解. 因此對于點(diǎn)位置討論的幾何問題，不僅要討論全面，還要關(guān)注點(diǎn)位置的合理性.

成因三：特殊圖形的特性反映不明引起的多解

特殊圖形是幾何探究的重點(diǎn)，如直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、正方形等. 若題干對特殊圖形的特性反映不明很容易造成多解，如沒有指明直角三角形的直角頂點(diǎn)、沒有指明等腰三角形的腰，均會呈現(xiàn)三種情形. 解題時需要基于幾何特性進(jìn)行分類討論，然后結(jié)合幾何特性構(gòu)建模型.

例3 如圖6所示，已知∠MAN=90°，點(diǎn)C位于AM上，AC=4，點(diǎn)B是邊AN上的一動點(diǎn). 現(xiàn)連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長交A′B所在直線于點(diǎn)F，連接A′E. 當(dāng)△A′EF為直角三角形時，AB的長為_____.

分析 本題目所設(shè)條件眾多，討論△A′EF為直角三角形時AB的長，由于沒有設(shè)定△A′EF的直角頂點(diǎn)，從而造成有∠A′EF=90°和∠A′FE=90°兩種情形. 后續(xù)根據(jù)直角情形構(gòu)建模型，分別探究AB的長.

解 當(dāng)△A′EF為直角三角形時，有如下兩種情形.

①∠A′EF=90°時，如圖6所示，因為△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，則A′C=AC=4，∠ACB=∠A′CB. 又知點(diǎn)D和E分別是AC和BC的中點(diǎn)，則DE就為△ABC的中位線，則DE∥AB，可推得∠CDE=∠A′EF，進(jìn)而可得AC∥A′E，所以有A′C=A′E=4. 在Rt△A′CB中，點(diǎn)E是斜邊BC的中點(diǎn)，則BC=2A′E=8，由勾股定理可得AB2=BC2-AC2，則AB=4 ;

②當(dāng)∠A′FE=90°時，如圖7所示. 由于∠ADF=∠A=∠DFB=90°，則∠ABF=90°. 結(jié)合問題中的對稱條件可得∠ABC=∠CBA′=45°，則△ABC是等腰直角三角形，所以AB=AC=4;

綜上可知，AB的長為4 或4.

評析 上述問題中由于沒有設(shè)定直角三角形的直角頂點(diǎn)，從而造成了多解的情形. 問題涉及三角形中位線定理、勾股定理、軸對稱特性等知識，問題綜合性極強(qiáng)，采用數(shù)形結(jié)合，合理構(gòu)建模型，逐步討論是常用的解題策略.

成因四：圖形對應(yīng)關(guān)系不明引起的多解

圖形對應(yīng)關(guān)系不明也易引起多解，最常見的有相似三角形對應(yīng)關(guān)系不明，全等三角形對應(yīng)關(guān)系不明. 一般情況下會出現(xiàn)三種對應(yīng)關(guān)系，但實(shí)際解題時由于圖形位置關(guān)系的影響，可能僅出現(xiàn)兩種對應(yīng)情形. 解題時同樣以構(gòu)圖為主，然后逐步提取圖像的特殊關(guān)系、特殊圖形.

例4 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上. 如果D為AB中點(diǎn)，且△ADE與△ACB相似，那么AE的長度為______.

分析 本題目中設(shè)定點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，而點(diǎn)E可以運(yùn)動，要求△ADE與△ACB相似，顯然有兩種對應(yīng)情形：△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，后續(xù)根據(jù)對應(yīng)關(guān)系來求解即可.

解 ①當(dāng)△ADE∽△ABC時，如圖8所示，則DE∥BC，又知點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則DE是△ABC的中位線，即AE= AC=5;

②當(dāng)△ADE∽△ACB時，如圖9所示，此時∠AED=90°，由相似性質(zhì)可得 = ，已知AD=4，AC=10，AB=8，所以AE=3.2;

綜上可知，AE的長可為5或3.2.

評析 上述問題中沒有設(shè)定兩個三角形相似的對應(yīng)關(guān)系，但設(shè)定了點(diǎn)D為所在邊的中點(diǎn)，從而造成只存在兩種相似情形. 后續(xù)直接利用相似特性或平行特性即可求出AE的長. 上述所涉模型實(shí)則是相似三角形的兩種常見模型，即正“A字型”相似和反“A字型”相似.

總結(jié)思考

幾何多解問題的解析難度較高，多解成因是初中數(shù)學(xué)探究的重點(diǎn). 圖像模型不明是多解問題的表象，幾何特性的多樣性才是多解成因的本質(zhì)，如旋轉(zhuǎn)過程、直角頂點(diǎn)、相似對應(yīng)中隱含了數(shù)學(xué)的旋轉(zhuǎn)三要素、直角三角形特性、相似三角形特性等. 在探究教學(xué)中要透徹分析幾何的概念、定義、定理、特性，強(qiáng)化學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解. 同時注重數(shù)學(xué)文字與圖形的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度探究圖形.

另外，教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯性，可從以下兩個方向進(jìn)行：一是演示圖形變換過程，圍繞設(shè)定條件開展數(shù)學(xué)建模，使學(xué)生直觀了解分類討論的根本緣由;二是變式探究，針對不同的多解成因進(jìn)行變式探究，引導(dǎo)學(xué)生探究問題的核心條件，全面認(rèn)識問題. 探究教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的思維活動，合理設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣.