基于間接法在線能力評估和自主規劃技術研究

湛康意，陳海朋，賀從園，甘慶忠，王祿

上海航天控制技術研究所，上海 201109

隨著航天技術的發展，高密集的發射任務已經成為常態。為了保證任務的成功，對運載火箭的可靠性提出了更高的要求。從目前國內外發射失利的情況來看，大約60%的故障源自于火箭動力系統。2009年，俄羅斯和歐洲聯合研制的四級運載火箭聯盟-2-1a，由于三子級提前關機，未能把衛星送入預定軌道。2011年，俄羅斯聯盟-U在發射貨運飛船任務中，三級發動機發生了燃料管路堵塞故障而導致任務失敗。這些都是動力故障導致的[1]。對于一些非致命的動力故障，通過在線調整飛行程序，仍然可以保證任務的成功。美國土星1號運載火箭在一臺發動機提前關機的情況下，通過調整關機時間進入預期目標軌道。美國獵鷹9號運載火箭在2012年的發射任務中，火箭一子級的一臺發動機發生故障關機。通過在線規劃新的上升軌跡，延長剩余發動機工作時間，將龍飛船送入預定的軌道，但是次要有效載荷OG2原型衛星被迫留置在較低的軌道[2]。國外火箭構型可以通過增加發動機來實現動力的冗余，能力較為充足，而國內現役運載火箭很難再增加一臺發動機，在大多數衛星發射任務下，能力富余量較小。因此，在小能量故障情況下，當不能進入原目標軌道時，需要確定一個次優的救援軌道[3]。雖然現役的自適應迭代制導能夠適應一定程度的推力偏差[4]，但是推力下降后，為了維持彈道，攻角會變大，用于加速的推力分量減小，導致進入目標軌道時燃料不足，耗盡關機，不能成功入軌。這種情況下，就需要規劃新的救援軌道。

國外在線規劃技術已經有成功應用的例子，但是公開的文獻卻很少。國內目前還處于方案研究階段，尚未在具體型號上應用。文獻[5]提出了一種推力故障下的彈道重構策略，通過離線建立地面彈道庫，設計救援軌道和相應的飛行諸元。一旦故障后，通過能力預測在線切換制導參數，實現故障情況下的彈道重構。為了覆蓋可能的工況，該方法需要做大量的地面離線仿真工作。文獻[6]提出了一種基于凸優化和自適應配點法的自主軌跡規劃方法，設計了一套完整的自主規劃流程。通過對地心角進行估計，采用凸優化求解一個具有相對精度的初值給自適應配點法，極大提高了自適應配點法的求解速度。該方法屬于凸優化和自適應配點法相結合，求解過程復雜，對箭載計算機的性能提出了一定的要求。

針對運載火箭上升制導問題，基于間接法推導了許多制導方法，如迭代制導[7-9]、動力顯示制導(PEG)等[10]。間接法的優勢在于解的精度高且滿足一階最優性必要條件，對于一些動力學模型簡單的問題，間接法具有一定的優勢。國內外學者在間接法求解上升軌跡方面做了大量工作。文獻[11-12]基于間接法研究了大氣層內的上升制導，采用有限差分和密度同輪技術來求解兩點邊值問題。文獻[13-15]也對該方法進行了研究，但是并沒有考慮故障條件下的制導問題。文獻[16]針對傳統迭代制導小角度修正假設的不足，基于間接法研究了一種多終端約束的最優制導方法，并通過引入權重因子來提高制導方程數值求解精度。對于大氣層外制導，不考慮過程約束，只需要求解滿足終端目標的兩點邊值問題，即可確定最優軌跡。對于變目標軌道要素的制導問題，間接法不依賴標稱軌跡,可用來實現軌跡的在線規劃。

本文基于間接法，研究了一種大氣層外的在線能力評估和自主規劃方法，在發生推力故障的情況下，能夠自主在線規劃救援軌道。通過數值仿真，驗證了方法的有效性、收斂性和實時性。該方法能夠提高發射任務的可靠性，具有一定工程實用價值。

1 問題建模

1.1 動力學模型

假定發動機的推力始終沿運載火箭的體軸方向且為常值，則在發射慣性坐標系下建立運載火箭大氣層外速度、位置無量綱化的運動模型：

式中：r∈R3為運載火箭相對發射慣性系的地心位置矢量；V∈R3為運載火箭相對發射慣性系的速度矢量；g0為標準海平面重力加速度大小；Tvac為發動機真空推力；Ib∈R3為體軸方向單位矢量；m是運載火箭的質量；μ為秒耗量。

1.2 最優問題描述

一般情況下，當發生動力故障，原目標軌道不可達時，重新規劃軌跡后需要耗盡關機，充分挖掘火箭的潛力。在這種情況下，飛行時間基本確定，本文先構建末端時刻固定，以入軌點能量最大為最優性能指標的最優控制問題。

性能指標：

終端約束：

設哈密爾頓函數如下：

式中：λr∈R3、λV∈R3為協態變量;ν為乘子變量。采用極大值原理有：

求解可得：

協態變量方程為：

求解可得：

邊值條件為：

式中：Ψ∈R3表示終端約束；ξ∈R3為乘子變量；λrf∈R3，λVf∈R3為協態變量終端值。消去乘子變量可得：

式中：Hf=rf×Vf為無量綱軌道動量矩。結合終端約束條件(2)～(4)，可得到6個等式約束。至此，以入軌能量最大為最優性能指標的兩點邊值問題構建完畢。

式中：0<β≤1；當‖Yk+1-Yk‖≤εY或‖E(Yk)‖≤εΨ，停止迭代，εY、εΨ為相應的收斂精度。

2 入軌能力評估

通過仿真發現，隨著入軌高度hf的增大，入軌點速度先增大，后減小，存在一個使得入軌點速度最大的入軌高度，火箭飛行時間Tgo越長，相同入軌高度情況下，速度越大，見圖1。當飛行時間較短，能力不足時，近地點曲線Hp與遠地點曲線Ha沒有交點，此時只能進入一個橢圓軌道，且存在一個使得近地點最高的入軌高度；當火箭飛行時間長，能力富足時，近地點曲線Hp與遠地點曲線Ha存在兩個交點，見圖2。

圖1 入軌點速度曲線

圖2 遠地點和近地點曲線

圖3為近地點與遠地點曲線存在交點的典型情況，hf1和hf2為遠地點曲線與近地點曲線相交處的入軌高度。通過分析，可以得到以下結論：1)當入軌點高度小于hf1，或大于hf2時，在遠地點入軌，且只能進入一個橢圓軌道；2)當入軌點高度為hf1和hf2時，可以進入一個圓軌道，其中，hf1對應最小的圓軌道，hf2對應最大的圓軌道；3)當入軌點高度在hf1和hf2之間時，入軌點為近地點，此時通過縮短飛行時間，也能夠使得火箭進入一個圓軌道。同時，在hf1和hf2區間內，存在一個能量最大的軌道。

圖3 遠地點和近地點曲線(Tgo=544 s)

通過上述分析，可以設計如下的特征量Rk來判斷運載火箭的入軌能力：

Rk=Ha(hf)+Hp(hf)-2hf

式中：Ha(hf)、Hp(hf)分別為軌道的遠地點高度曲線和近地點高度曲線；hf為入軌點高度。則特征量Rk關于入軌點高度的曲線關系如圖4所示。

圖4中包含了不同飛行時間條件下特征量曲線與入軌高度之間的關系，通過分析可以得出如下結論：1)特征量曲線隨著入軌高度的增大，先增大，后減小，存在唯一的極大值；2)當火箭飛行時間長，能力足時，特征量Rk的極大值大于零，有兩個零點，大零點對應著最大的圓軌道，較小零點對應著最小圓軌道；3)當火箭飛行時間較短，能力不足時，特征量Rk的極大值小于零，此時火箭只能進入橢圓軌道。

3 自主在線規劃策略

從算法層面上來看自主規劃技術，需要解決故障的在線診斷和辨識[17]，入軌能力在線評估，以及新的目標軌道在線規劃等問題。在線故障診斷和辨識主要目的是提供當前火箭的推力、比沖、秒耗量、燃料質量等狀態信息，為后面基于動力學模型的在線入軌能力評估和目標軌道規劃提供輸入信息，此內容不是本文重點工作，不在此贅述。入軌能力在線評估主要是基于當前的火箭狀態信息，判斷能否進入原目標軌道。當不能進入原目標軌道時，需要進行在線目標軌道重規劃。

自主規劃還需要確定新目標軌道的選取原則，針對救援問題，主要目的是讓火箭能夠進入一個安全的軌道，為后期的救援任務創造良好的條件。因此，本文在保證目標軌道傾角，放開升交點赤經約束的條件下，以近地點最高為救援軌道的選取準則。第2節的入軌能力分析，為在線目標軌道規劃提供了基本依據。當能夠入圓軌道時，近地點最高對應著最大圓軌道，需要求解最大圓軌道對應的入軌高度；當只能入橢圓軌道時，則需要搜索使得橢圓軌道近地點最高的入軌高度。

在此基礎上設計了如圖5所示的自主在線規劃策略。

圖5 自主在線規劃策略

Step1：獲取發動機推力、比沖和剩余燃料Mleft等信息。

Step2：按照原目標軌道參數，利用迭代制導求解程序角，數值積分運動學方程，計算消耗的燃料質量Mneed。

Step3：判斷是否達到目標軌道。如果達到，則燃料充足，直接結束；否則，進入Step4。

Step4：當Mneed≥Mleft時，燃料不足，需要重新規劃目標軌道，進入Step5；當Mneed

Step6：當特征量Rk的最大值Rkmax≥0時，存在圓軌道，進入Step7；當特征量Rk的最大值Rkmax<0時，只能入橢圓軌道，進入Step8。

Step7：以入軌高度為自變量，割線法[19]求解特征量Rk的最大零點，進一步求解對應的最大圓軌道，進入Step9。

Step8：以入軌高度為自變量，以近地點高度最大為優化性能指標。牛頓法求解近地點極大值對應的入軌高度，進一步求解相應的近地點最高的橢圓軌道。

Step9：更新迭代制導目標和參數，結束。

4 仿真結果及分析

4.1 典型工況仿真結果

仿真參數如表1所示，設置故障時刻t=30 s，推力下降后占比75%，按目標半長軸或者燃料耗盡關機。

表1 仿真參數

圖6為規劃前后的仿真結果曲線，從圖中可以看出，規劃后降低了入軌高度，減少了側向機動。從表2仿真結果可知，當在30 s發生推力下降故障時，如果不采用自主在線規劃方法，燃料耗盡關機時，火箭只能進入一個300.380 km×(-9.636 km)的不可行軌道，任務失敗；采用本文自主在線規劃方案后，使火箭進入一個246.738 km×245.614 km的近似圓軌道，為后期的自主救援提供良好的條件。

表2 典型故障仿真結果

圖6 典型故障仿真結果曲線

4.2 故障度與故障時間綜合仿真

以故障時刻和推力下降后占比來刻畫故障工況，并對故障工況進行網格化遍歷仿真，采用燃料耗盡關機或半長軸關機。

圖7(a)為傳統迭代制導仿真結果，圖7(b)為加入了自主在線規劃策略后的仿真結果。圖7中“*”表示300 km圓軌道，“o”表示近地點大于150 km安全軌道，“x”表示近地點小于150 km的不安全軌道。對比圖7(a)(b)中的仿真結果可以看出，采用在線規劃策略后，近地點小于150 km的工況顯著減少，原來不能進入安全軌道的故障工況，采用在線規劃后，可以進入一個近地點大于150 km的安全軌道，增大了火箭對故障的適應范圍。其中，當推力下降到75%時，不采用自主規劃，故障時刻只能適應70 s以后，采用自主在線規劃，則故障時刻能夠適應全程范圍，保證任務安全。

圖7 綜合仿真結果

從仿真結果還可看出，原來不能進入300 km圓軌道的工況，在采用了在線規劃后進入300 km的圓軌道，主要原因是第1.2小節中的間接法在約束處理上優先保證軌道傾角，放開了升交點赤經約束，使得軌道面在保證軌道傾角的前提下發生了挪動，減少了火箭垂直軌道面側向機動的能力損失，充分挖掘了火箭的潛能。

4.3 算法收斂性和實時性分析

本文在求解算法的設計上均基于成熟的數值方法。對于第1.2小節中的兩點邊值問題，由于有6個等式約束，6個協態變量初值，在有解前提下，問題解是唯一的。此外，協態變量主矢量λV跟實際的推力方向一致，而推力方向與速度方向之間的夾角通常不大，因此可以直接選擇協態變量主矢量λV的初值為當前速度方向，協態變量λr初值為0，即可保證該兩點邊值問題迭代求解收斂。本文仿真環境為Intel Core i5-7500,3.4GHz,4GB RAM的電腦，編程環境為VS2013。仿真結果表明，自主規劃算法在本文所有故障工況下均可靠收斂，完成一次自主規劃平均耗時25 ms，滿足實時性要求。

5 結束語

本文針對軌道救援問題，研究了一種基于間接法的在線能力評估和自主規劃方法。仿真結果表明：

1)以入軌高度為自變量，基于最大能量軌道兩點邊值問題，數值分析得出的入軌速度、遠地點和近地點跟入軌高度之間的關系具有普遍性。設計的自主在線規劃策略，不僅可以適用于推力故障，后續還能用于火箭一子級提前關機故障。

2)構建的特征量，能夠對入軌能力做出評估，判斷當前狀態下，火箭能夠進入圓軌道還是橢圓軌道，為目標軌道選擇提供依據。

3)自主在線規劃策略具有明顯的效果，部分不能進入安全軌道的故障工況，通過自主在線規劃后進入了安全救援軌道，提高了火箭對故障的適應范圍，增強了任務的可靠性。

4)自主在線規劃算法子問題規模小，求解目標明確，求解算法簡單，有解情況下能夠可靠收斂。完成一次規劃耗時短，滿足制導實時性要求，針對軌道救援問題，具有一定工程實用價值。

5)目前的方法固定了軌道傾角，放開了升交點赤經約束，后續還需要綜合考慮目標軌道傾角和升交點赤經的選擇問題，進一步挖掘火箭故障情況下的潛能，使得火箭更加智能[20]。