融合黃金正弦混合變異的自適應樽海鞘群算法

周 新，鄒 海

安徽大學 計算機科學與技術學院，合肥230601

群智能優化算法通常是受自然界中生物行為和物理現象啟發而構造出具有特殊理論模型的優化方法，其作為一種高效的計算方法，受到了眾多學者的重視，近年來，越來越多的群智能優化算法被提出，常見的算法有粒子群算法[1]、人工蜂群算法[2]、花授粉算法[3]、蟻群算法[4]、雞群算法[5]等。

樽海鞘群算法（Salp Swarm Algorithm，SSA）[6]是Mirjalili等人于2017年提出的一種新型群智能優化算法，該算法啟發于海洋動物樽海鞘的群體覓食行為，相比于粒子群算法、人工蜂群算法等其他常見的群智能優化算法，樽海鞘群算法的數學模型更加簡單，尋優機制易于理解，且算法參數較少，更易實現。近年來SSA算法受到了國內外學者的廣泛關注，并已被成功應用在了特征選擇[7]、圖像處理[8]等領域中。

雖然SSA在求解大多數優化問題時展現出了較強的尋優能力，但是，與其他常見智能優化算法一樣，在求解高維復雜函數的優化問題時，SSA算法仍然存在著收斂速度慢、尋優精度低、易陷入局部最優等缺陷。為此，國內外學者從不同的角度出發對基本SSA算法進行了改進。文獻[9]提出了一種混沌策略改進的SSA算法，利用混沌變量對算法中部分參數進行優化，大幅提升了算法的全局搜索和局部開發能力；文獻[10]在基本SSA算法中引入了自適應變異策略，通過對種群中的最優解進行變異，有效提升了算法跳出局部最優的能力；文獻[11]利用單純形法對種群的初始分布進行了改良，增加了種群的多樣性，提升了SSA算法的搜索能力；文獻[12]提出了一種基于混沌初始化和精英質心拉伸機制的SSA算法，在增強了種群多樣性的同時充分利用了當前群體中精英個體的信息，有效提升了算法的全局探索和局部開發能力。

雖然以上的改進算法通過不同的策略在一定程度上提升了SSA的算法性能，但是，由于SSA提出的時間較短，其存在的尋優效率低，易陷入局部最優等問題還沒有得到最有效的解決，需要更進一步的研究。因此，本文針對基本SSA算法中存在的問題，從以下三個方面出發對其進行改進：（1）引入自適應變化的權重因子，充分發揮精英個體的引導作用，提升算法收斂速度與精度；（2）將黃金正弦算法作為一種優化算子引入到SSA中以改進種群中領導者的位置更新方式，利用黃金正弦算法對解空間較強的遍歷能力擴大基本SSA算法的尋優區域，從而提升SSA算法的全局搜索能力；利用黃金正弦算法中引入了黃金分割數的系數可以對解空間中能產生優秀解的區域進行充分探索，并通過隨機參數控制個體移動方向和距離，引導個體快速向食物源位置靠攏，增強了算法的局部開發能力；（3）融合鄰域重心反向學習策略和柯西變異算子對當前最優個體進行隨機擾動，擴大算法搜索區域，增強種群多樣性，使算法在迭代后期具備跳出局部最優區域的能力。

1 樽海鞘群算法

在自然界中，樽海鞘在導航和覓食的過程中會聚集成鏈狀并快速游動以捕獲食物，SSA算法通過模擬樽海鞘的這種行為建立了一種樽海鞘鏈模型以求解優化問題。在SSA中，樽海鞘種群被分為了兩部分：領導者和追隨者，領導者位于鏈前端，它引領著追隨者在D維空間中移動并尋找食物，其他個體為追隨者，領導者的位置更新方式如下：

其中，表示第一個樽海鞘個體（領導者）在第j維的位置；F j表示食物源的第j維位置；ub j和lb j分別為第j維搜索空間的上界和下界，c2和c3為[0，1]區間內的隨機數，它們分別決定了樽海鞘個體在第j維的移動步長以及移動方向，c1是SSA中用于平衡算法全局搜索和局部開發能力的重要參數，其定義如下：

其中，t為當前迭代次數，Tmax為最大迭代次數。

追隨者的位置更新方式如下：

基本SSA算法通過式（1）和式（3）來對樽海鞘群的移動方式進行模擬，并依此解決實際優化問題。

2 樽海鞘群算法的改進

2.1 精英個體引導和自適應權重

在SSA算法中，追隨者跟隨其前一個個體進行位置更新，這種盲目的移動方式使得解的分布過于局限，嚴重影響了算法的尋優能力。文獻[13]通過在追隨者的位置更新公式中引入了自適應變化的慣性權重大幅提升了算法的搜索和開發能力，該算法中追隨者的更新方式如下：

其中，w(t)為第t次迭代時的慣性權重，它隨著迭代過程自適應的減小。觀察式（4）可知，隨著w的逐漸減小，追隨者的移動受前一個個體的影響將會越來越小，在迭代后期，追隨者將以自身的上一次迭代位置為導向進行局部尋優，雖然此策略在一定程度上提升了算法的尋優能力，但是，由上述分析可知，該方法僅考慮了追隨者的先前個體對其移動的負面影響，而忽略了先前個體帶來的正面影響，即當追隨者的前一個個體的位置優于其當前位置時，該策略仍會削弱先前個體的影響權重，這可能會導致個體錯過適應度更好的位置，因此，本文提出了一種結合精英個體引導和自適應權重的改進策略，該方法中，追隨者的更新由式（5）、（6）完成：

其中，w(t)為自適應遞減的權重因子，f(?)為個體的適應度值。w s和w f別為權重因子的初始值和最終值，在本文算法中，權重因子w的取值應滿足以下三個條件：

（1）在算法的迭代尋優過程中，追隨者自身所處位置和其前一個樽海鞘個體位置應始終參與追隨者的位置更新。

（2）權重因子應起到積極正向的引導作用。

（3）非精英個體所占權重應始終小于等于精英個體所占權重。

由條件（1）、（2）可知，權重因子應為正數，即

由條件（1）、（2）可知，權重因子應滿足：

即：

由上述分析可知，權重因子的取值應滿足w∈(0,0.5]，相應的，權重因子初始值w s和最終值w f的取值也應當位于(0,0.5]區間內。

經過多次實驗發現，當w s取0.5，w f取0.1時，算法的尋優結果最好。為了更直觀地看出權重因子的變化過程，圖1給出了w隨迭代過程的變化曲線圖。

圖1 權重因子迭代曲線

由文獻[14]可知，在迭代前期迅速遞減的權重將會造成種群多樣性的極速喪失，從而導致算法陷入早熟收斂，觀察圖1可知，本文算法中權重因子w在迭代前中期保持了較為平緩的遞減速度，能夠減緩種群多樣性的喪失，降低算法陷入早熟收斂的幾率；在迭代后期，權重因子遞減速度加快，意味著非精英個體所占權重將快速減小，精英個體所占權重將隨之迅速增大，追隨者將在精英個體鄰域內進行搜索，并使算法逐漸趨于收斂狀態。

在AGHSSA中，追隨者在進行位置更新時將會對其自身位置與其前一個樽海鞘的位置進行比較，從中選取適應度較優的個體作為精英個體，并為精英個體和非精英個體賦予相應的權重因子，由式（5）、（6）和圖1可知，隨著迭代過程的進行，w將從w s逐漸減小到w f，非精英個體所占的權重將隨之逐漸減小，而精英個體所占的權重將逐漸增大，追隨者將始終以精英個體為導向進行移動，從而降低其因盲目跟隨前一個個體而錯過較優位置的幾率，提升算法的收斂速度與精度。

2.2 黃金正弦領導策略

黃金正弦算法（Golden Sine Algorithm，Golden-SA）[15]是Tanyildizi等人于2017年提出的一種新型元啟發式算法，該算法構造了基于正弦函數的數學模型來求解優化問題。依據正弦函數與單位圓的關系，Golden-SA可以遍歷正弦函數上的所有點即單位圓上的所有點，算法具有較強的全局搜索能力，且Golden-SA在其位置更新過程中引入了黃金分割數系數，使得算法在每次迭代過程中都會對能產生優秀解的區域進行充分搜索，從而加快了算法的收斂速度，算法具有較強的局部開發能力。Golden-SA的核心是其位置更新方式，在迭代過程中，算法先隨機產生s個個體的位置，之后通過式（10）對每個個體進行位置更新：

觀察SSA算法中領導者的位置更新公式（1）可知，領導者始終以食物源為導向移動，種群中領導者與追隨者之間缺乏信息交流，算法難以對解空間進行充分的探索，從而導致SSA出現早熟收斂，尋優效率低下等問題，受文獻[15]啟發，本文將黃金正弦算法作為一種優化算子引入到SSA算法中以改變領導者移動方式，在AGHSSA中，領導者的位置更新由下式完成：

Golden-SA不是模擬自然現象而設計的，而是一種利用正弦函數和黃金分割數進行迭代尋優的數學模型，算法具有很好的可移植性，由式（11）可知，引入黃金正弦算子僅需要提供樽海鞘個體i自身和最優個體（食物源）F的位置信息，而這些信息在基本SSA算法中均已給出，因此，黃金正弦算法能夠被較好地移植到SSA算法中。在本文算法中，個體i在每一次迭代時都會與當前最優個體通過式（11）進行信息交互以充分吸收自身與最優個體間的位置差信息，加快種群向最優個體位置靠攏的速度，引入黃金正弦領導策略可以有效彌補基本SSA算法中領導者與追隨者個體缺乏信息交流的缺陷；此外，依據正弦函數和單位圓的關系，Golden-SA可以遍歷單位圓上的所有點，算法的尋優區域更加全面，針對基本SSA算法中存在的全局尋優能力差和收斂精度低等缺點，黃金正弦領導策略的引入可以在一定程度上擴大基本SSA算法的尋優區域，使算法能夠發現解空間中潛在的全局最優解，從而提升算法的全局搜索能力和收斂精度；同時，針對基本SSA算法中存在的局部開發能力差和收斂速度慢等問題，利用Golden-SA中引入了黃金分割數得到的系數可以逐步縮小算法的搜索空間，對能產生優質解的區域進行充分搜索，并通過參數R1和R2可以控制樽海鞘個體的位置更新距離和方向，快速引領個體向最優解位置靠近，從而減少算法尋優時間，提升了SSA算法的局部開發能力和收斂速度。綜上所述，黃金正弦領導策略能夠有效改善基本SSA算法中存在的不足，并且具備被移植到基本SSA算法中的條件，由此可以得出結論，黃金正弦領導策略適用于樽海鞘群算法。

2.3 鄰域重心反向學習與柯西變異

在基本SSA中，最優個體即食物源的位置更新依賴于每次迭代時種群的更新，即在每次迭代后期，將由當前適應度最好的個體來替代最優個體，算法并未主動的對最優個體位置進行擾動，算法一旦陷入局部最優則難以跳出，且由2.1節分析可知，權重因子在迭代后期的迅速減小會造成種群多樣性的極速喪失，也將導致算法陷入局部最優，為此，本文提出了一種融合鄰域重心反向學習與柯西擾動的混合變異策略以對當前最優個體位置進行隨機擾動，增強種群多樣性，提升算法跳出局部最優的能力。

（1）鄰域重心反向學習

反向學習是由Tizhoosh提出的一種數學模型[17]，其主要思想是通過同時評估當前解和反向解來選出較優解加以使用，反向學習的定義如下：

定義1（反向學習）設xi是D維空間中的一個可行解，x i=(x i1,x i2,…,x iD),且x ij∈[a j,b j],j=(1,2,…,D),則其對應的反向解x?i=(x?i1,x?i2,…,x?iD)為：

傳統的反向學習通過最大最小邊界計算反向點來獲取優質解，但是，該方法沒有考慮到種群間的信息交流，為此，Rahnamayan等人提出了基于重心的反向點[18]，其定義如下：

定義2（重心）設(x1,x2,…,x n)是D維空間中帶有單位質量的n個點，則整體的重心M定義為：

即得：

定義3（重心反向點）若一個離散均勻的整體重心為M，則該整體中某一點x i的反向點定義為：

在此基礎上，文獻[19]提出了鄰域重心反向解的概念，其通過引入收縮因子進一步拓展了反向搜索范圍，有效提升了粒子群算法的尋優精度，鄰域重心反向解定義如下：

定義4（鄰域重心反向解）設x i是群體X中的第i個個體，M i是它所在鄰域的重心，則鄰域重心反向解定義為：

其中，mi表示個體i所在鄰域內個體的數目，k為收縮因子，是[0，1]間均勻分布的隨機數。

為了更好地引導個體尋優，本文將鄰域重心反向學習融入到基本SSA中。

設當前迭代的最優解（食物源）位置為F(F=(F1,F2,…,F D))，鄰域重心M為整個樽海鞘種群的重心，則其經鄰域重心反向學習后的解F?(F?=(F?1,F?2,…,F?D))的計算方式如下：

（2）柯西變異

柯西分布是一個數學期望不存在的連續型概率分布，當隨機變量x滿足其概率密度函數時，稱x服從柯西分布。標準柯西分布的概率密度函數如下：

柯西分布具有原點處概率密度大、分布緊湊，兩端密度小，分布較長的特點，通過柯西變異可以對個體產生更大的擾動，使得個體具備跳出局部最優的能力[20]。受文獻[20]啟發，本文將柯西變異算子引入到SSA中對食物源位置進行擾動，計算方式如下：

其中，F′為食物源經柯西變異后產生的新位置。

（3）混合變異

為提升算法尋優能力，AGHSSA將等概率的交替執行鄰域重心反向學習策略和柯西擾動策略，動態地更新食物源位置，混合變異計算方式如下：

其中，R3為[0，1]區間內均勻分布的隨機數，Fnew為食物源經混合變異后產生的新位置。

改進算法利用鄰域重心反向學習策略生成反向解，拓展算法的搜索范圍，使算法能夠發現搜索空間中更多的潛在全局最優解，提升了算法尋優精度；利用柯西變異算子對食物源進行隨機擾動，在一定程度上增強了種群多樣性，降低了算法陷入局部最優的幾率，但是，該策略并不能保證變異后的個體優于原個體，因此，為了進一步提升算法收斂精度，AGHSSA在混合變異完成后將依據貪婪原則決定是否更新食物源位置，即當變異后個體的適應度優于原個體時，才對食物源進行位置更新，否則保留原食物源位置信息。

2.4 算法描述

AGHSSA算法的具體執行步驟如下：

步驟1設置種群規模N，迭代次數Tmax，問題維度D，權重因子初始值w s，最終值w f。

步驟2初始化樽海鞘群，計算種群內每個個體的適應度值并排序，記錄當前最優個體的位置及其適應度值，將其作為食物源。

步驟3更新領導者和追隨者位置。生成隨機數R1、R2，根據式（6）更新權重因子w，選取種群中前一半樽海鞘個體按式（11）更新領導者位置，另一半個體按式（5）更新追隨者位置。

步驟4計算更新后種群的適應度值，并更新食物源位置。

步驟5混合變異。生成隨機數k、R3，按式（14）計算種群重心M，通過式（20）對步驟4得到的解（食物源）進行變異產生一個新解，并用目標函數對得到的新解進行估，如果新解的適應度值比原解更好，則用新解代替原來的解，否則保留原解。

步驟6重復步驟3～5，如果達到最大迭代次數，則終止算法，輸出全局最優解。

3 仿真實驗結果與分析

3.1 仿真實驗環境

本仿真實驗基于Intel?CoreTMi5-9300H CPU，2.4 GHz主頻以及Windows 10操作系統，仿真軟件是Matlab R2018a。

3.2 測試函數

為了檢驗算法性能，本文選取了如表1所示的12個基準測試函數進行測試，其中F1～F6是單峰函數，用于檢測算法的收斂速度，F7～F12是多峰函數，具有多個局部最優點，用于評估算法的搜索和開發能力。

3.3 實驗參數設置

本文選取了基本樽海鞘群算法（SSA）[6]、文獻[9]中的改進SSA算法（CSSA1）、文獻[12]中的改進SSA算法（CESSA）、基本鯨魚算法（WOA）[21]、基本蝴蝶優化算法（BOA）[22]與本文算法AGHSSA進行對比，為體現實驗的公平性，將所有算法的種群規模設置為40，最大迭代次數為1 000，其余各算法的具體參數設置與相應的文獻一致。另外，AGHSSA中兩個參數w s與w f的不同取值將會對算法的尋優能力產生重大影響，由2.1節的分析已經得知，w s與w f應位于(0,0.5]區間內，由于權重因子w是遞減的，因此w f應始終小于等于w s，且由文獻[23]可知，當權重過小時有可能導致算法陷入局部最優，影響算法尋優效率，因此本文算法取權重因子變化步長為0.1。當w s取0.5時，w f可取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，將其記為第一組；當w s取0.4時，w f可取0.1、0.2、0.3、0.4，將其記為第二組；依此類推，當w s取0.3時，w f可取0.1、0.2、0.3，將其記為第三組；當w s取0.2時，w f可取0.1、0.2，將其記為第四組；當w s取0.1時，w f僅可取0.1，將其記為第五組；為比較不同的w s與w f取值對于算法性能的影響，將每一組w s與w f應用于AGHSSA算法，并在10維的測試函數F2、F4、F12上進行測試，記錄不同權重取值的AGHSSA算法獨立運行30次的尋優結果，比較其最優值，平均值和標準差，由于實驗數據較多，文章篇幅有限，本文僅給出了每一組中收斂結果最好的w s與w f取值，實驗結果如表2所示。

表1 基準測試函數

表2 w s與w f不同取值的AGHSSA算法尋優結果

由表2可以明顯看出，對于所選的3個測試函數，當w s取0.5，w f取0.1時，算法的3項評估指標均為最優，以函數F12為例，w s取0.5，w f取0.1時，AGHSSA算法的最高收斂精度達到了1E－321，相較于其他組中不同w s與w f取值的算法提高了1～9個數量級，且其平均收斂精度達到了1E－287，相較于其他取值的AGHSSA算法提高了2～10個數量級。綜上可知，當w s取0.5，w f取0.1時，算法的收斂性能最佳，因此，本文算法取權重因子初始值w s為0.5，最終值w f為0.1。

3.4 實驗結果與分析

本文將從以下5個方面對AGHSSA算法進行性能評估：

（1）與基本SSA算法和其他新型群智能優化算法進行對比，驗證本文算法的有效性。

（2）對不同的改進策略進行性能測試，驗證各策略的有效性。

（3）與其他較新的改進SSA算法進行對比，證明本文算法具有一定的競爭力。

（4）對各算法進行秩和檢驗與MAE排序，進一步驗證本文算法的可靠性和優越性。

（5）分析本文算法的時間復雜度以評估AGHSSA的運行時間成本。

3.4.1 與其他群智能優化算法的性能對比

為了驗證本文算法的有效性，將AGHSSA與基本SSA算法和文獻[21-22]中的新型群智能優化算法在表1所示的測試函數上（維度為30）進行對比，記錄各算法獨立運行30次結果的最優值、平均值和標準差，實驗結果如表3所示，其中粗體部分表示尋優結果最好的算法。

表3 與新型智能優化算法對比（30維）

由表3可知，對于所選測試函數，本文算法的尋優能力明顯優于其他3種對比算法。相比于基本SSA算法，AGHSSA在函數F1、F3、F5、F7、F8、F9、F11上的3項評估指標都達到了理論最優值0，算法尋優成功率達到了100%，而基本SSA算法在所有測試函數上的尋優精度均未能達到0，雖然在其他的5個測試函數上AGHSSA無法收斂到理論最優值，但其收斂結果仍然遠優于基本SSA算法，以函數F2為例，基本SSA的平均收斂精度為1E-01，而AGHSSA的平均收斂精度則達到了1E-272，相較于SSA算法提升了271個數量級，說明了本文所提出的改進策略可以有效提升基本SSA算法的收斂精度；相比于較新的BOA、WOA算法，AGHSSA仍然具有更好的尋優能力。對于BOA、WOA算法能夠收斂到理論最優值的函數F5、F7、F9、F11而言，AGHSSA也能夠尋找到理論最優值，對于它們無法收斂到理論最優值的函數F1、F3、F8，AGHSSA仍可以收斂到理論最優值，并且在其他測試函數上，AGHSSA均取得了最優的收斂結果，例如對于函數F12，AGHSSA相比于BOA、WOA算法分別提升了254、164個平均收斂精度，算法性能提升顯著。除此之外，AGHSSA在除F6以外的所有測試函數上的標準差均為0，而SSA算法在所有函數上的標準差均不為0，證明了所提出的改進策略能夠大幅提升SSA算法的穩定性。

通過以上分析可知，本文算法在低維函數上展現出了較強的尋優能力，但是一般算法在求解高維復雜函數問題時極易失效，而大部分實際優化問題都是大規模的復雜優化問題，因此，為了證明本文算法的實用性，將AGHSSA與基本BOA、WOA、SSA算法在200維的測試函數上進行對比，實驗結果如表4所示，因F7是固定低維函數，故不對其進行高維測試。

表4 與其他智能優化算法對比（200維）

對比表3、表4信息可知，隨著函數維度的上升，WOA算法在大部分測試函數上的收斂精度均有著不同程度的波動，BOA算法比較穩定，但其在200維的函數F2上失效，而基本SSA算法的尋優精度則有著明顯的下降，以函數F1為例，SSA的30維平均收斂精度為1E-09，當維度上升到200時，其精度銳減到了1E+03，說明基本SSA算法在高維函數上的尋優能力較差。AGHSSA算法在求解高維測試函數的優化問題時仍然表現出了良好的尋優能力，對于函數F1、F3、F5、F8、F9、F11，AGHSSA的3項評估指標仍然達到了0，雖然在F2、F4、F12上，AGHSSA的平均收斂精度有著略微的下降，但是對于另外的8個測試函數，其尋優精度和標準差沒有隨著維度的改變而改變，可知本文算法具有較強的魯棒性。

為了更直接地觀察出AGHSSA的收斂趨勢，圖2給出了AGHSSA和對比算法在測試函數F1、F2、F3、F5、F8、F9、F10、F11上的收斂曲線圖，為便于觀察，本文實驗對適應度值取以10為底的對數。觀察圖2可知，基本BOA算法和SSA算法的收斂速度十分緩慢，且在迭代過程中兩者均出現了不同程度的停滯，極易陷入局部最優值。由圖2（a）～（d）所示的單峰函數F1、F2、F3、F5的收斂曲線可以看出，AGHSSA的收斂曲線幾乎是線性遞減的，極少出現停滯，由此認為本文所提出的改進策略可以有效提升算法收斂速度；觀察多峰函數F8、F9、F10、F11的收斂曲線（圖2（e）～（h））可知，AGHSSA的收斂曲線下降很快且在函數F10上的曲線有拐點出現，證明所提出的改進策略可以有效提升SSA算法的全局搜索和局部開發能力，并且具備較強的跳出局部最優的能力。此外，不論是對于單峰函數還是多峰函數優化問題，AGHSSA的收斂效率都是最高的，以函數F11為例，如圖2（h）所示，AGHSSA在第20次迭代左右就已經收斂到了理論最優值，而基本BOA算法在迭代次數達到最大時仍然沒有達到收斂狀態，SSA算法雖然能夠達到收斂狀態，但它的收斂精度遠低于AGHSSA算法，優化效果較好的WOA算法雖然能夠收斂到理論最優值，但其收斂于第300代左右，是AGHSSA的15倍。

綜上可知，本文所提出的改進策略可以顯著提升SSA算法的尋優能力，在求解高維問題時仍然有著不俗的尋優表現，算法具有一定實用價值，且相比于其他較新的群智能優化算法仍然具有較強的競爭力。

3.4.2 驗證改進策略的有效性

為比較不同改進策略對算法性能的影響，將AGHSSA算法與僅采用精英引導自適應權重策略改進的SSA算法（SSA-1），僅采用黃金正弦領導策略改進的算法（SSA-2）以及僅采用混合鄰域重心反向學習與柯西變異策略改進的算法（SSA-3）在表1所示的測試函數上進行對比，本節實驗中的公有參數設置與3.2節完全相同，表5為對比實驗結果，圖3為三種改進策略在單峰函數F2、F3，多峰函數F8、F10上的收斂曲線圖。

圖2 算法收斂曲線

由表5和圖3可知，在這三種改進策略中，采用黃金正弦領導策略的SSA-2對算法的性能提升最大，采用精英引導自適應權重策略的SSA-1次之，SSA-3的尋優精度雖然提升不是很大，但由圖3（d）可知，在求解多峰函數F10的優化問題時，其收斂曲線在第300次迭代左右出現了轉折，圖4給出了SSA、SSA-3在函數F10上第300次迭代時的個體分布圖，因30維空間難以展示，本文僅給出了二維空間中SSA和SSA-3算法的個體分布圖，分別如圖4（a）、圖4（b）所示，由圖4（a）和圖4（b）可以明顯看出，在第300次迭代時，引入了混合重心反向學習和柯西變異策略的SSA-3算法的種群分布相比于基本SSA算法范圍更廣，分布更均勻，說明了混合變異策略可以有效增強種群的多樣性，并且能夠在一定程度上提升算法跳出局部最優的能力。總體來看，相比于基本SSA算法，三種改進策略算法的收斂精度均有著不同程度的提升，說明了改進策略是有效的。然而，盡管這三種改進策略均在一定程度上提升了SSA的尋優能力，但是，僅采用單一策略改進的SSA算法與結合了三種改進策略的AGHSSA算法相比仍有較大差距。以函數F12和F10為例，AGHSSA算法在函數F12上的平均收斂精度相較于SSA-1、SSA-2、SSA-3分別提升了242、222、260個數量級，并且觀察圖3（d）可知，在求解函數F10的優化問題時，AGHSSA在第80次迭代左右就已經收斂，而三種改進策略中收斂效果最好的SSA-2收斂于第360代左右，可知AGHSSA的收斂速度與精度都要優于僅使用單一策略改進的SSA算法，進而驗證了本文采用混合策略的合理性。

3.4.3 與其他改進算法的對比

為比較本文算法與其他改進算法的性能優劣，將AGHSSA與較新的改進樽海鞘群算法CSSA1[9]和CESSA[12]進行對比，本節實驗中，表1中除F7以外的所有測試函數的維度設置為10，種群規模為50，最大迭代次數為500，與參考文獻相同，CSSA1和CESSA的數據直接引用于文獻[9]和文獻[12]，如表6所示。

表5 不同改進策略對比

圖3 不同改進策略算法收斂曲線

圖4 SSA和SSA-3算法個體分布圖

表6 與其他改進SSA算法對比

由表6可知，CESSA作為較新的改進SSA算法，其在所有測試函數上的收斂結果均優于CSSA1算法，然而，對于CESSA算法能夠收斂到理論最優值的函數F7、F9、F11而言，本文算法也能取得同樣的收斂結果，對于CESSA無法收斂到0的函數F5，本文算法仍然能夠尋找到理論最優值，此外，除了在函數F6上，AGHSSA的尋優結果要略差于CESSA之外，本文算法在其他測試函數上的收斂結果都要遠優于對比算法，以函數F1為例，AGHSSA的平均收斂精度相較于CESSA、CSSA1分別提升了246、262個數量級，且AGHSSA在除F2、F4、F6、F12以外的所有測試函數上的標準差均為0，而對比算法中僅CESSA在函數F7、F9、F11上的標準差達到了0，可知本文算法的穩定性同樣優于對比算法。由此可以得出結論，相比于部分新型改進SSA算法，本文算法仍具有較強的競爭優勢。

3.4.4 統計檢驗與MAE排序

算法運行30次的結果通常不會與每一次的實驗結果進行比較，僅以最優值、平均值和標準差作為評價依據是不充分的，為了驗證本文算法的可靠性和優越性，在本節中對AGHSSA、BOA、WOA、SSA算法在表1所示的12個測試函數上進行了顯著性水平為5%的Wilcoxon秩和檢驗，本節實驗參數設置與3.4.1小節相同，表7記錄了各算法秩和檢驗計算的p值，如最佳算法是AGHSSA，則在AGHSSA/BOA、AGHSSA/WOA、AGHSSA/SSA之間進行成對比較，因最佳算法無法與自身進行比較，故將最佳算法標記為N/A，表示“不適用”，說明相應的算法在秩和檢驗過程中沒有統計數據與自身比較。當秩和檢驗的p值小于0.05時，說明兩種對比算法具有顯著性差異，否則說明兩種算法的尋優結果在整體上是相同的[24]。

觀察表7可知，AGHSSA在所有秩和檢驗過程中計算的p值均小于0.05，其中N/A是因為對比算法和AGHSSA在函數F5、F9、F11上的30次尋優結果均為0，所以該統計檢驗不適用，說明本文算法的優越性在統計上是顯著的，即認為AGHSSA相對于其他對比算法具有更好的尋優能力。

表7 Wilcoxon秩和檢驗結果

文獻[25]指出平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）是一種有效的性能指標，可用于對優化算法進行排序。為了進一步評估算法性能，本文對各算法基于表1的測試函數進行了MAE排序，MAE計算公式如下：

其中，mi為算法取得的最優解的平均值，oi為相應的基準測試函數的理論最優值，N f為基準測試函數個數。各算法的MAE排序如表8所示。

表8 算法MAE排名

由表8可知，AGHSSA算法具有最小的MAE，算法排名第1，從而進一步表明了本文算法的優越性。

3.4.5 改進算法的時間復雜度分析

設樽海鞘種群規模為N，迭代次數最大為Tmax，問題維度為D，依據2.4節對AGHSSA算法的描述對改進算法的時間復雜度進行分析，算法隨機初始化種群和找到當前最優位置（食物源）的時間復雜度均為O(N?D)，挑選精英個體的時間復雜度為O(N?D)，引入自適應權重因子對追隨者進行位置更新的時間復雜度為O(Tmax?N?D)，引入黃金正弦算法對領導者進行位置更新的時間復雜度為O(N?D)，融合鄰域重心反向學習和柯西變異對食物源位置進行擾動的時間復雜度為O(N?D)，AGHSSA算法的總的時間復雜度為O(Tmax?N?D)，與基本SSA算法的時間復雜度相同，并未增加計算負擔。

綜上所述，本文所提出的結合三種改進策略的AGHSSA算法能夠在不增加算法時間復雜度的情況下顯著提升基本SSA算法的尋優能力，并且無論對于單峰或多峰，低維或高維函數的優化問題，本文算法均取得了最優的收斂結果，與部分新型群智能優化算法和改進SSA算法相比，仍然具有較強的競爭力。

4 結束語

本文針對基本SSA算法在求解高維復雜函數時存在的尋優效率低，易陷入局部最優等問題，提出了一種融合黃金正弦混合變異的自適應樽海鞘群優化算法。改進算法在基本SSA算法的追隨者位置更新處引入了精英引導和自適應變化的權重的思想，通過對精英個體和非精英個體賦予不同的權重因子，使精英個體能夠充分發揮自身的引導作用，從而避免出現追隨者因盲目跟隨先前個體而錯過更好位置的情況，提升了算法的尋優速度與精度；引入黃金正弦算法對領導者的位置更新方式進行優化，利用黃金正弦算法較強的遍歷能力和尋優能力提升了樽海鞘群算法的全局搜索和局部開發能力；引入混合鄰域重心反向學習和柯西變異策略對食物源進行動態隨機擾動，增強了算法在迭代后期跳出局部最優的能力。將本文算法與三種新型群智能優化算法和不同改進策略的算法以及兩種較新的改進的SSA算法在12個測試函數上進行實驗對比，結果表明，本文所提出的改進策略能夠在不增加算法時間復雜度的情況下顯著提升算法性能，與其他新型群智能優化算法和改進算法相比仍然具有一定的競爭優勢，且本文算法在求解低維和高維函數、單峰函數和多峰函數優化問題時均表現出了良好的尋優性能，具有一定的實際應用價值。接下來的研究重點是將所提出的算法應用到實際工程領域中。