空間繩網結構設計及優化方法

司驥躍，龐兆君，由錳，馮廣斌，杜忠華

(1.南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094;2.上海航天控制技術研究所,上海 200233)

0 引言

近20年，地球軌道飛行物數量從2000年的約11 000個激增到了2020年的近20 000個，在軌碰撞解體和爆炸解體事件時有發生，嚴重威脅著空間環境的安全[1-2]。為了應對空間碎片的威脅，人們提出了多種空間碎片清理方法[3-6]，其中空間繩捕方法因其捕獲距離遠和抓捕容錯率高等特點，在空間碎片清理方面具有良好的應用前景[7-8]。

歐洲航天局資助的“ROGER”項目對空間繩網系統的工作流程進行了詳細規劃[9]。Mao等將一個旋轉繩網裝置送入太空，并對空間環境下的繩網展開過程進行了初步研究[10]。同時，一些學者和機構開展了關于空間繩網展開及碰撞階段的試驗，包括零重力下的捕獲試驗和繩網下落試驗等，驗證了空間繩網方法的可行性[11-13]。英國薩里大學主導的“碎片清除”衛星于2018年4月初通過SpaceX的CRS-14號火箭發射到國際空間站，并在2018年9月19日首次在太空完成繩網抓捕測試[14]。

空間繩網系統的抓捕任務主要包含3個階段：繩網展開階段、接觸碰撞階段和網口可靠收緊階段。其中碰撞、收口階段主要關注繩網與目標接觸后的狀態，本文重點關注繩網與目標接觸前的展開階段。目前針對于展開階段的研究主要集中在動力學建模、參數敏感性分析、高效展開方法3個方面。空間繩網的動力學建模方法主要有彈簧質點法[15-16]和絕對節點坐標法[17-18]。彈簧質點法在繩網展開階段能夠較好地模擬繩網的運動過程[18-19]，且相比絕對節點坐標法具有更高的計算效率，現階段研究多使用這種方法對繩網進行動力學建模。展開參數敏感性方面，主要的輸入參數有發射速率、發射角度、牽引體質量占比和繩網材料參數等。考察的目標參數主要有繩網的展開時間、展開位移、最大展開率、有效展開位移等。現有的研究表明參數有發射速率、發射角度和牽引體質量占比這3項參數對繩網展開性能影響較大[20-23]。

現階段繩網高效展開方法方面的研究并不多，高慶玉等[24]提出的“二級發射”模式使得繩網的最大展開面積以及飛行距離均優于傳統的繩網發射模式。陳青全等[25]提出一種基于“定力撕裂帶”的網型控制方法，通過在繩網邊線安裝定力撕裂帶來抑制繩網的回彈現象。也有部分學者在研究過程中采用了不同構型的繩網，如平面繩網[26]、圓錐形繩網[27]、方錐形繩網[28]和半球形繩網[29]等。但是繩網構型的選擇多是從功能性的角度考慮，如是否便于收納和收口等。很少關注不同構型下展開性能的差異，且繩網網目均為規則多邊形，并以四邊形為主。

本文基于四邊形平面繩網，在不改變繩網拓撲結構前提下通過優化網目結構，提升繩網的展開性能。通過引入矩陣表示繩網的拓撲結構及繩段長度，并使用彈簧質點法建立繩網動力學模型。提出通過控制繩網連接線落點實現網目結構優化的策略，進行數值仿真驗證優化后的繩網相比未優化繩網的優勢。

1 空間繩網結構及動力學模型

1.1 繩網結構

本文基于應用最廣泛的四邊形繩網開展研究，繩網4個網角依次連接有牽引體。將繩網的物理節點視為集中質量，物理節點之間的繩段視為彈簧和阻尼器并聯的無質量單元，繩網的構型及離散方法如圖1所示。

圖1 繩網構型Fig.1 Configuration of tether-net

同時，為了便于描述繩網的拓撲結構及定位繩段，對繩網節點依次編號。引入0-1矩陣A表示繩網的拓撲結構，以aij表示矩陣的(i,j)元，矩陣的行數和列數與繩網總節點相同，在本文中為49. 若節點i與節點j之間通過繩段連接則記aij=1，否則記aij=0. 根據繩網節點的編號規律，A矩陣可以通過(1)式賦值：

(1)

式中：np表示繩網單側邊繩的物理節點數量，np=7；符號∨和∧是邏輯運算符號，分別表示“或”和“與”；符號|是整除符號，文中表示i能被np整除。可得本文中A矩陣的結構如圖2所示。

圖2 拓撲結構矩陣Fig.2 Topological structure matrix of tether-net

引入矩陣B表示節點間的繩段長度，bij代指矩陣的(i,j)元，B矩陣與A矩陣的結構相同。若節點i與節點j之間的繩段長度為l0,ij，則記bij=l0,ij；若節點i、j之間無繩段則記bij=0. 可知在圖1所示的正方形網目的繩網中，其B矩陣的非0值均相等。

1.2 繩網動力學模型

本文使用彈簧質點模型對繩網進行建模，其基本原理是將繩網離散為有質量的質點和質點間無質量的彈簧、阻尼器單元。計算各質點的受力并建立相應的動力學方程，最后通過聯立各個質點的動力學方程得到繩網的位移及受力情況。根據牛頓第二定律，圖1中質點i的動力學方程為

(2)

式中：mi為質點i的等效質量，根據質點在繩網內的位置分布由(3)式定義：

(3)

(4)

當繩段端點距離大于繩段原始長度時，繩段中產生拉力，否則不產生拉力，因此在以i、j為端點的繩段中，i點所受張力為

(5)

kij是網繩的等效剛度系數，

kij=EA/bij，

(6)

E是繩網選用材料的楊氏模量，A是網繩的橫截面積，bij表示繩段的原始長度；lij是繩段的真實長度；eij是從i指向j的單位向量；vij是質點i與質點j的相對速度；dij是阻尼系數，

(7)

ζ為繩網選用材料的阻尼比。

2 基于遺傳算法的繩網結構優化策略

2.1 繩網性能衡量指標

本文將繩網的展開面積定義為繩網4個網角所圍成四邊形的面積，將繩網的展開面積與設計面積的比值定義為展開率。繩網展開率的變化規律是評估繩網抓捕能力和確定繩網抓捕時機的重要因素。一般情況下，繩網的展開率越高，成功抓捕目標的概率越大，因此衡量繩網展開性能的衡量指標可以細化為：展開時間、展開位移、最大展開率、有效展開時間和有效展開位移，如圖3所示。

圖3 展開性能指標Fig.3 Performance criteria of deployment

展開時間和展開位移可以通過發射速率和發射角度進行調整，為最佳抓捕時機的確定提供依據，因此在本文不作為性能指標。通常認為只要展開率超過設定的閾值，抓捕任務便可以完成，因此繩網最大展開率在本文中同樣不做重點討論。有效展開位移的大小表示繩網抓捕區間的覆蓋范圍。而相比有效展開位移，有效展開時間只能說明繩網展開率超過閾值的時間，對于抓捕成功評估意義不大。綜上所述，選擇有效展開位移作為本文的優化目標，并使用80%作為本文的展開率閾值。

2.2 繩網優化原理

空間繩網相關研究中，具有正方形網目的四邊形繩網是應用最廣泛的一種網型，而其他平面網型均是在此基礎上的演變。本文以具有正方形網目的四邊形繩網為研究對象對其網型結構進行優化，以提高繩網的有效展開位移。

不失一般性，本節使用4×4個網目的繩網舉例，并將正方形繩網分解為3部分，如圖4所示：第1部分是由牽引繩與牽引體組成；第2部分是多個同心的正方形邊框，由首尾相連的閉環繩段組成，在圖4中繩網邊框的數量為2；第3部分是各個邊框之間的連接線。本優化在保持繩網拓撲結構即總節點數的基礎上，對繩網內部連接線的長度進行優化。為了保持繩網的正方形網型，在優化過程中，每個邊框的整體外形尺寸不變。同時為了防止優化過程中因出現過大的網孔而降低繩網的包裹性能，各個邊框之間的距離也保持固定。邊框之間各連接線的長度將隨著優化的進行而改變，相應構成邊框的繩段長度將發生變化。同時，相比未優化的繩網，優化繩網B矩陣的非零元不再完全相等。最終將原本具有正方形網目的四邊形繩網，優化為具有不規則四邊形網目的繩網，并達到提高繩網有效展開位移的目標。雖然本文采用平面四邊形繩網作為研究對象，但是其他構型繩網，如平面六邊形和圓錐形等，均可按照本方法進行推廣優化。

圖4 繩網分解示意圖Fig.4 Illustration of net structure

2.3 優化實現

空間繩網的中心對稱性是其能夠通過若干個牽引體同步牽引展開的原因之一。因此為了保持繩網各對稱部分的展開同步性，只需優化相鄰牽引體之間的單側繩網結構，并將優化的結構以繩網中心點為基準進行N等份圓周陣列即可完成整個繩網的結構設計，如圖5所示。其中N為牽引體數量，本文中N=4.

圖5 繩網結構優化原理Fig.5 Optimization principle of net structure

遺傳算法是一種模擬生物進化機制的全局優化算法，不需考慮所優化問題的內在工作原理，可以處理定義在離散、連續或混合搜索空間上的線性或非線性目標函數[30-31]。為了實現上述優化過程，引入了連接線落點系數pkq(k=1,2…,m,k為落點所在的邊框序號，m為繩網的邊框總數；q=1,2…,n，q為此邊框落點的序號，n為邊框k上的落點總數)來定位各個連接線在邊框上的位置；并采用實數編碼對落點系數進行編碼，以各個落點系數為優化對象，以繩網有效展開位移為優化目標，對繩網結構進行優化。pkq的取值范圍為[-1,1]；pkq=-1時，連接點位于單側邊框的起點；pkq=1時，連接點位于單側邊框的終點。則在圖5所示的坐標系中，可以得到連接點的坐標為

(8)

式中：lm為優化前繩網網目的邊長；le,k為邊框k的邊長，連接線的長度可以通過連接點的坐標計算得到，進而得到優化后的B矩陣。對于任意給定的兩個落點系數pka和pkb，其中a>b、k>1，必須保證pka

(9)

式中：d為有效展開位移；a,b=1,2…,n.繩網邊線網目劃分數量為偶數時，所需要優化的落點系數數量為

Nump=1+2+…+(2m-1)=m2.

(10)

3 仿真結果及討論

3.1 優化結果

為了驗證提出方法的有效性，對結構優化后的繩網展開過程進行數值仿真。建立三維笛卡爾坐標系，將繩網收納放置于坐標系原點O處，繩網的飛行方向為z軸正向。牽引體的發射速率10 m/s，發射角度40°，其中發射角度是牽引體的發射方向與繩網飛行方向(z軸)的夾角。本文算例在理想空間環境中進行，不考慮引力、攝動及空氣阻力，所研究繩網的參數如表1所示。

表1 繩網參數Tab.1 Simulation parameters

本例中6網目繩網的邊框數量為3，根據(10)式，需要優化的落點系數數量Nump=9.按照提出的繩網結構優化策略，使用Matlab編寫了采用實數編碼的遺傳算法，初始種群規模為40，進化代數為100.約束閾值λe=λd=0.08，仿真時長設置為2 s.優化在CPU為Intel Core i7-6700HQ@2.60 GHz的筆記本電腦上進行，運算時間約為12 h 28 min.未優化及優化后的落點系數如表2所示。

表2 優化結果Tab.2 Optimization results

圖6繪制了適應度函數(有效展開位移的負值)隨進化代數的變化歷程。隨著進化代數的增加，適應度函數逐漸減小，最終收斂于-2.71 m，說明了優化策略的收斂性。

圖6 適應度函數的迭代歷程Fig.6 Optimization process of fitness function

圖7繪制出了優化前及優化過程中繩網的構型，及該網形下繩網的有效展開率，圖片截取于繩網展開率最大的時刻。從圖7中可以發現，隨著進化代數的增加，繩網的有效展開位移逐漸上升，繩網內部結構與未優化工況產生了較大差異。整個優化過程繩網保持了較好的中心對稱性，連接點未出現重合且連接線未出現交叉。進化到第30代時繩網內部結構已經與最終優化結果十分接近，接下來的優化過程中有效展開位移最終收斂為2.71 m.

圖7 優化網型圖Fig.7 Optimized net structure

值得注意的是，優化前的連接線垂直于與其相連的邊框，而優化后的連接線可能并不垂直于其連接的邊框。這就導致了優化后的繩網需要更多的編織材料，同時繩網總質量也將增大。現有的研究表明繩網質量是影響繩網展開性能的因素之一[17,23]，為了排除繩網質量增加對優化結果產生的干擾，引入了“質量等效”工況。在優化結果的基礎上，降低網繩的密度使得其總質量與未優化繩網相同，通過對比未優化、優化和質量等效3種工況的展開歷程，研究繩網結構優化后的質量增長對繩網展開性能的影響。首先列出了3種工況的質量參數，如表3所示。

表3 3種繩網的質量參數Tab.3 Mass parameters of different tether-nets

從表3中可以看出，優化后繩網總質量增加了約30.2 g，將優化后繩網的材料密度設置為870.4 kg/m3后使得繩網總質量與未優化時相同。進一步繪制出3種工況下展開率隨時間和位移的變化曲線，如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可看出：未優化繩網在約0.75 s時展開率首次達到80%的設定閾值，此時的展開位移為4.66 m；在約1.19 s時展開率再次達到80%，此時對應的位移為6.65 m.優化工況下繩網展開率分別在約0.76 s和1.38 s達到閾值，對應的展開位移分別為4.67 m和7.38 m.質量等效工況下繩網展開率分別在約0.75 s和1.34 s達到80%，對應的展開位移分別為4.66 m和7.34 m.可知未優化、優化和質量等效3種工況所對應的有效展開位移分別為1.99 m、2.71 m和2.68 m.繩網結構優化后，有效展開位移提高了約36.18%.盡管將質量等效后繩網的有效展開時間略微縮短，但是對于所關心的有效展開位移影響很小，提升率依然達到了34.67%。因此在下文中著重對比優化及未優化工況，不再對質量等效工況進行討論。

圖8 展開率的時間歷程Fig.8 Time history of deployment rate

圖9 展開率的位移歷程Fig.9 Displacement history of deployment rate

3.2 對比分析

未優化繩網分別在0.75 s和1.19 s達到設定展開率閾值80%，繪制了這兩個時刻的繩網網型并與優化后的繩網進行對比，如表4所示。由表4可看出：0.75 s時兩種工況的展開率很接近，繩網的狀態也比較一致；主要差別體現在繩網網目的形態上，未優化繩網內部網目較為規則，而優化后的繩網網目大小不一。1.19 s時未優化繩網的展開率為80%，此時繩網中心出現了較為明顯的回彈現象；而優化后的繩網中心出現了輕微回彈，且此時展開率約為93.8%，說明繩網結構優化減弱了繩網的回彈現象，提升了繩網的展開性能。

表4 優化前后網形對比Tab.4 Deployment sequences with and without optimization

為了研究結構優化策略提升繩網展開性能的原因，將空間繩網離散為牽引體及繩網本體兩部分，利用二者質心隨時間的變化過程描述繩網回彈現象，并通過有、無優化這兩種工況的對比闡述結構優化策略的作用。圖10給出了繩網本體與牽引體的質心追逐示意圖，從中可看出：繩網展開過程中，牽引體首先拖動繩網展開，繩網本體質心Mn首先對牽引體質心Mb呈現追逐趨勢；當繩網到達最大展開率附近時，Mn完成對Mb的追逐，兩質心重合；此后繩網中心發生回彈，展開率逐漸下降，此過程中Mn在飛行方向上逐漸超越Mb.

圖10 質心追逐示意圖Fig.10 Chase of centers of mass

按照上述定義，繪制了兩種工況下繩網本體和牽引體的質心位移歷程，如圖11所示。由圖11可看出：由于兩種工況下繩網最終均發生了回彈現象，因此，兩種工況下繩網本體質心Mn對牽引體質心Mb均存在追逐現象。未優化工況下，兩質心在約0.98 s時相遇，位移為5.62 m，相遇時間與圖8中達到最大展開率的時間一致。優化工況下，兩質心在約1.07 s時相遇，位移為5.98 m. 可知優化后的繩網將回彈開始時刻，即質心相遇時間推遲了0.09 s，將相遇位移延長了0.36 m.

圖11 質心位移的時間歷程Fig.11 Time history of displacement of centers of mass

進一步繪制了兩種工況下質心的追逐速率，如圖12所示。從圖12可以看出，兩種工況下質心的速率變化趨勢接近。繩網本體質心Mn的速率先增大后減小，牽引體質心Mb的速率先減小、后增大。這是由于繩網發射時，牽引體具有一定的初始速度，在展開階段初期其動能逐漸傳遞到繩網本體，發生回彈后，具有較高動能的繩網帶動牽引體繼續運動。值得注意的是，在Mb速率接近的情況下，優化工況下Mn速率最大值相比未優化工況降低了約16%。這說明采用優化結構的繩網降有效降低了繩網本體質心對牽引體質心的追逐速率，進而抑制了繩網回彈，提高了展開性能。

圖12 質心速率的時間歷程Fig.12 Time history of velocity of centers of mass

4 結論

基于具有正方形網格的四邊形平面繩網，在不改變繩網拓撲結構的前提下，本文通過優化網目結構提升繩網的展開性能。引入兩種矩陣表示繩網的拓撲結構及繩段長度，使用彈簧質點法建立繩網的動力學模型。基于遺傳算法提出了通過控制繩網連接線落點實現網目結構優化的策略。雖然本文采用平面四邊形繩網作為研究對象，但是對于其他構型的繩網，如平面六邊形和圓錐形等，均可按照本方法進行推廣優化。通過數值仿真對比了繩網優化前后的結構及展開性能，并得到以下主要結論：

1)網目結構優化策略能夠優化出滿足抓捕需求的繩網，采用優化結構的繩網能夠在幾乎不影響最大展開率的前提下，將有效展開位移提高約36.18%。

2)網目結構優化策略會使繩網相比未優化時的質量略微增加，但是通過數值仿真發現這一變化對有效展開位移的干擾有限，可以忽略。

3)優化后的繩網降低了繩網本體質心對牽引體質心的追逐速度，抑制了繩網回彈，因此使得繩網的展開性能得到了提升。

本文提出的繩網結構優化策略沒有改變繩網的拓撲結構，關于繩網拓撲結構的優化將是未來關注和研究的重點。

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