復雜作戰網絡體系博弈與重構方法

陳曉楠，胡建敏，池本亮，崔洋

(1.國防大學 聯合勤務學院，北京 100089；2.91213部隊，山東 煙臺 264000)

0 引言

信息技術的發展推動著科學技術的進步，影響著軍事理論的發展與創新。在新時代國防和軍隊建設的大環境下，先進的信息技術對我國軍事戰略決策的有著深遠的影響。復雜網絡作為21世紀最為重要的新興交叉學科之一，逐步成為科學界關注的焦點，并對很多傳統學科的研究范式帶來了顛覆性的改變。隨著復雜網絡相關理論研究的不斷深入，其應用性已經在很多領域內得以體現。

作戰體系是一個復雜巨系統，復雜系統可以用復雜網絡進行描述。復雜網絡是研究復雜系統的一種科學方法，通過把作戰系統抽象為作戰節點與作戰節點的相互關系，來理解和研究復雜系統特性和功能。

研究復雜網絡必須從其復雜性入手，來反映出作戰體系的各種特性，例如復雜網絡的小世界效應、社團結構、異質性、涌現性等性質。復雜網絡重構是通過觀察到的數據來推測節點之間與臨邊的關系。節點的動力學特性影響著自身與鄰接節點，節點與節點之間相互交互，共同構成了整個網絡體系。

目前有很多關于作戰網絡的抗毀性、協同性等方面的研究，例如:文獻[1-2]中運用復雜網絡的傳播動力學特性對體系作戰中的指揮與協同效果進行研究；文獻[3]中對從問題域和技術域兩個方面建立體系貢獻率評估的研究框架并進行分析研究；文獻[4-5]對作戰網絡抗毀性進行了分析與研究。關于復雜網絡重構的研究也有很多，網絡重構的目的是通過觀測網絡中獲得的數據來推斷網絡的拓撲結構。文獻[6]中對近年來復雜系統重構方面取得的研究進展進行了分析，總結了通過壓縮感知的網絡重構、重構非線性動力學系統網絡、似然估計重構網絡等復雜系統網絡重構方法。但是對于作戰網絡體系的重構，尤其是結合作戰實際的復雜網絡重構研究則少之又少。基于此，本文對復雜作戰網絡體系中的雙方作戰博弈關系與對敵作戰網絡重構方法進行研究，提出了一種改進的作戰博弈和重構方法。

1 復雜作戰網絡體系博弈方法的描述

1.1 作戰網絡的定義

已知復雜作戰網絡中，每個作戰節點為一個可以獨立遂行作戰任務的作戰單元，作戰單元要具備相對獨立的作戰能力，包括情報信息、偵察通信、指揮控制、機動打擊、綜合保障等一種或多種作戰要素[7]。戰場雙方都是由眾多作戰單元共同組成并以特定方式進行耦合的作戰網絡。己方作戰節點之間組成己方作戰網絡，敵方作戰節點之間組成敵方作戰網絡，雙方作戰網絡的網間關系共同組成交戰網絡，具體如圖1所示。圖1中，x1,x2,…,x10,y1,y2,…,y10為作戰節點。

圖1 作戰網絡示意圖Fig.1 Schematic diagram of combat network

假設己方網絡作戰節點共No個，己方鄰接矩陣為Co=[aij]No×No，敵方網絡作戰節點共Ne個，敵方鄰接矩陣為Ce=[bij]Ne×Ne，雙方之間的交戰網絡鄰接矩陣為Cb=[cij](No+Ne)×(No+Ne)，aij、bij和cij為判斷對應網絡中第i個節點是否指向第j個節點，有指向關系則為1，否則為0. 己方網絡、敵方網絡和交戰網絡都有著復雜網絡對應的基本特性，可以求得相應的網絡特征屬性，例如，節點的度、聚類系數、介數等。

己方網絡作戰節點之間或敵方網絡作戰節點之間共同組成相同陣營的有向無權網絡，節點之間的相互關系為協調、控制、保障、支援等，在這種關系里面，作戰節點與作戰節點之間的博弈更側重于正和博弈，作戰節點之間通過協調與配合使網絡中的綜合收益最優化。

交戰網絡之間的雙方節點共同組成不同陣營的有向無權網絡，不同陣營節點之間的相互關系為滲透、攻擊、干擾等，在這種關系里面，作戰節點與作戰節點之間的博弈更側重于零和博弈，作戰節點之間通過作戰策略的選擇使己方網絡收益最大化，敵方網絡中的綜合收益最小化。

1.2 作戰節點結構重要程度

在作戰體系中，作戰節點最直觀的性質是節點在網絡體系結構中的重要程度。關于節點結構重要程度的文獻很多，節點重要性的度量方法主要有兩種：一種是通過節點的中心性來評估，節點中心性越強，對應的網絡節點越重要，例如節點的度中心、介數等；另一種是通過去掉某個網絡節點后，評估網絡性能的下降程度來進行衡量，例如節點刪除法、收縮法等[8]。

這里通過刪除對應節點后的網絡同步能力變化來進行節點結構重要性的評估。網絡同步能力大小可以通過對應的Laplace矩陣的特征值之比來衡量，即R=λmax/λmin，R為網絡的同步性，λmax和λmin分別為Laplace矩陣最大和最小非零特征值矩陣。R值越小，對應網絡同步能力就會越大[9]。研究表明，在一個有向網絡中，網絡的度分布和網絡的層次結構這兩個重要因素影響著R值大小，可以看出，度分布越均勻，對應網絡的同步性就越強。因此，網絡的同步性可以近似的表示為

(1)

作戰節點的最小入度為1情況下，對應節點的結構重要程度D可以表示為刪除此節點后的網絡同步性R′和未刪除此節點后的網絡同步性R的比值，即

D=R′/R.

(2)

(3)

結構重要程度D值越大，說明此作戰節點在網絡中對同步能力的影響越大，作戰節點的重要程度就越大。

1.3 作戰節點價值重要程度

無論己方的作戰節點還是敵方的作戰節點，都有著自身的價值。在實際作戰中，價值量高的作戰節點不一定有著重要的結構特征，但是其價值本身決定了在作戰體系中的重要性和作戰貢獻度。因此，對作戰節點的價值重要程度進行評估是有必要的。

接下來對作戰節點的價值重要性進行評估，指標體系如圖2[11-14]所示。

圖2 節點價值重要程度的指標體系Fig.2 Value importance index system of nodes

作戰節點的價值重要性指標：

1)偵察能力S包括作戰節點的發現目標能力S1、目標定位能力S2和目標識別能力S3. 偵察能力主要是對敵方目標進行偵察的能力。

2)決策能力A包括作戰節點的作戰指揮能力A1、輔助決策能力A2和控制協調能力A3. 決策能力主要是對敵方節點情報信息進行決策的能力。

3)攻擊能力I包括作戰節點的精確命中能力I1、攻擊毀傷能力I2和攻擊支援能力I3. 攻擊能力主要是按照命令對敵方節點進行攻擊的能力，對敵方節點造成一定的毀傷效果。

4)保障能力L包括作戰節點的保障作用范圍L1、保障持續時間L2和保障機動能力L3. 保障能力主要是對我方節點進行保障的能力。

對于節點的價值重要程度中偵察能力、決策能力、攻擊能力、保障能力4個二級指標的計算采用加權法來計算：

(4)

式中：r∈{S,A,I,L}；ωk為加權值；Cr,k為偵察能力、決策能力、攻擊能力、保障能力下的具體能力指標值，Cr,k值是通過現有的情報信息進行評估后得到的，取值為[0,1].

則作戰節點的價值重要性F同樣用加權法來計算：

F=ωSPS+ωAPA+ωIPI+ωLPL,

(5)

式中：ωS、ωA、ωI、ωL為加權值。

1.4 不同陣營收益矩陣衡量方法

通過作戰節點結構重要程度和作戰節點價值重要程度可以反映出作戰節點本身的內在屬性，這種屬性影響著作戰決策的選擇和作戰收益的衡量。這里通過構造收益矩陣函數來表示不同作戰節點之間的收益關系。

已知在不考慮作戰節點內在屬性情況下，敵我雙方收益矩陣如表1所示。

表1 雙方收益矩陣Tab.1 Payoff matrices of both sides

根據作戰實際情況，當敵我雙方進行作戰時，既要考慮作戰節點的內在屬性，也要考慮交戰網絡的方向指向。我方作戰節點價值重要程度屬性越大，敵方作戰節點價值重要程度屬性越小，對敵方的滲透、攻擊、干擾等行動越容易成功，作戰成功率越高，但是，獲得的收益越低；反之，我方作戰節點價值重要程度屬性越小，敵方作戰節點價值重要程度屬性越大，對敵方的滲透、攻擊、干擾等行動越難，作戰成功率越低，但是，成功后得到的收益也越大。收益的大小與敵方作戰節點的結構重要程度屬性和價值重要程度有關。這也表示了風險和收益的對等關系，風險越大、收益越大，風險越小、收益越小。因此對表1收益矩陣進行處理，具體收益矩陣如表2和表3所示。

表2 基于節點內在屬性的收益矩陣Tab.2 Payoff matrices based on the internal attributes of nodes

表3 相同陣營作戰節點的收益矩陣Tab.3 Payoff matrices of nodes in the same sides

表2中：Hφ=DφFφ，φ∈{o,e}，Ho、He分別表示我方作戰節點的內在屬性和敵方作戰節點的內在屬性，當我方對敵方采取行動時φ=e，當敵方對我方采取行動時φ=o.

表3中：HM對應采用M1和M2策略的作戰節點的內在屬性；H′M對應采用M′1和M′2策略的作戰節點的內在屬性；對于己方陣營，M1、M2、M′1、M′2策略與O1、O2策略相對應；對于敵方陣營，M1、M2、M′1、M′2策略與E1、E2策略相對應。

1.5 相同陣營內收益矩陣衡量方法

對于己方各作戰節點之間或者敵方各作戰節點之間的博弈收益矩陣則是另一種情況。對于相同陣營的作戰節點策略選擇更側重協同與合作，同時，作戰節點內在屬性值越大，則作戰節點越重要，對策略選擇后產生的收益大小影響更大，其收益矩陣如表3所示。

作戰開始時，在指揮機構統一領導下，相同陣營內作戰節點初始策略的選擇是滿足綜合收益最大化原則。

隨著作戰的進行，我方根據敵方的行動調整策略，所謂牽一發而動全身，一個作戰節點策略改變，往往使周圍其他作戰節點的策略可能發生改變，周圍作戰節點策略改變的同時也要兼顧對敵方策略的選擇，即要使綜合收益最大化，這就需要對作戰博弈策略的更新進行分析與研究。

1.6 博弈策略更新準則

在每輪作戰博弈中，各個作戰節點的策略選擇有很多種方法。例如在文獻[15]中，Wang等提出了費米方程作為選擇策略，即對于每一個節點i(策略選擇為Si)，隨機選擇鄰接節點j(策略選擇為Sj)，Si以W概率選擇Sj策略：

(6)

式中：Gi為Si累計收益；Gj為Sj累計收益；κ為噪聲，表示一種非理性行為的可能性，是一個比較小的值。

采用費米方程作為更新準則是十分常見的方法，但是會導致作戰博弈策略選擇趨于單一化，單一策略過多，不利于后續重構求解，且費米方程不能很好地反映出符合作戰實際的策略選擇。因此這里提出一種切合作戰實際博弈策略更新準則。

步驟1這里設首輪作戰博弈中己方與敵方策略選擇都滿足雙方作戰網絡內的綜合收益最大原則，只考慮雙方各自的作戰網絡中節點之間的博弈效益最大化，即

(7)

式中：N為雙方作戰網絡的作戰節點數量，N∈{No,Ne}；P為收益矩陣；Si和Sj分別為雙方作戰節點i和j的策略選擇矩陣，Si,Sj=[1,0]T或Si,Sj=[0,1]T。

步驟2新一輪作戰博弈雙方策略選擇根據作戰節點的上一輪收益來決定是否變換策略。以任意一個作戰節點K為例，假設與K作戰節點相鏈接的敵對陣營作戰節點數為M，則

(8)

式中：W為K作戰節點更換策略的概率；G0為K作戰節點的上一輪收益；GK為與K作戰節點相連的敵對陣營節點上一輪收益；κ是調整策略的一個參數，表示策略改變對上一輪收益比較的敏感程度。

步驟3敵我作戰收益矩陣的具體收益針對的是作戰策略成功的前提下，若作戰策略沒有成功的話，一方不會減少收益，另一方不會增加收益，因此，根據1.4節中對節點價值重要程度屬性與風險收益的判斷來決定節點i對節點j策略執行的成功率，即

(9)

式中：Xij為策略的成功與否。Xij=0的概率為

(10)

式中：Fi為i作戰節點的價值重要程度；Fj為j作戰節點的價值重要程度；κ1是調整作戰成功率的一個參數。

在每一輪作戰博弈中，作戰節點與他們的所有己方鄰居作戰節點和對方鏈接作戰節點進行博弈并且獲得收益，可以計算出作戰節點i的收益。

己方作戰節點的作戰收益為己方網絡之間作戰節點的協同收益和與敵方作戰節點交戰的博弈收益之和，為

(11)

敵方作戰節點的作戰收益為敵方網絡之間作戰節點的協同收益和與己方作戰節點交戰的博弈收益之和，為

(12)

步驟4返回步驟2進行新一輪作戰博弈，更新作戰策略。

在真實作戰背景下，作戰博弈過程應考慮到作戰節點的增加與刪除，每一次作戰節點的增加與刪除相當于一個新的博弈起點，博弈推導過程的原理相同，這里限于篇幅，僅考慮一個作戰博弈周期內的作戰博弈情況，即不考慮作戰節點的增加與刪除情況。

2 復雜作戰網絡體系重構方法的描述

作戰網絡的重構與普通復雜網絡的重構有著一定的區別。作戰網絡體系是在保存我方節點的前提下消滅敵方節點，雙方的不斷攻防交互使得整個作戰網絡體系的復雜程度劇增。我方盡可能地重構敵方的網絡體系，從而更好地掌控戰場形勢，最終得到更大化的軍事效益；此外，我方為了保存有生力量盡可能地隱蔽我方的網絡節點，通過我方節點的機動或者一定的戰略策略讓敵方失去對整個作戰體系網絡的把控，反之敵方也采取同樣的行動來對我方進行遏制。作戰網絡體系的重構就是對整個網絡體系進行重構，即在各種復雜環境下對整個作戰體系網絡進行全方位地掌控，使我方能夠正確地掌握更多的作戰節點和網絡特性。

2.1 復雜作戰網絡的3種重構情況描述

傳統復雜網絡的重構以重構節點之間的鏈接為主，通過演化博弈、動力學特征等來重構遺失的網絡鏈接。而對于復雜作戰網絡的重構，需要貼合作戰的實際情況，重新對重構進行定義。限于篇幅，這里只討論敵方作戰體系的重構問題，敵方作戰體系的重構分3種情況。

情況1重構敵方部分的作戰鏈接。胡曉峰曾指出，作戰系統為網絡，作戰關系為核心，尤其在作戰系統中，從某種程度上來講，網絡鏈接比節點更重要[16]。在這種情況下，敵方網絡中部分鏈接信息不明，這里就需要通過敵我雙方之間的作戰博弈，重構出敵方網絡真實的鏈接情況。

情況2重構敵方部分作戰節點價值重要程度。每一個作戰節點都有自身的價值重要程度，例如在1.3節中的偵察能力、決策能力、攻擊能力、保障能力等。我方通過已知信息和偵察手段可以了解敵方作戰節點的各種能力，但是敵方會對其作戰節點采取防護措施，妨礙我方的偵察行動，因此，在復雜作戰體系中，敵方若干作戰節點的價值重要程度很可能無法得知，這里就需要通過雙方的作戰博弈來重構敵方作戰節點的價值重要程度。

情況3重構敵方部分作戰區域。與情況1和情況2類似，我方對敵方的偵察不能使敵方網絡完全透明，在一個區域之內，敵方作戰節點數量未知，內部作戰節點之間的關系未知，這就需要對此未知區域內的具體情況進行重構。

2.2 重構敵方網絡的部分鏈接

在一輪作戰博弈結束后，己方與敵方策略選擇都已知，己方網絡作戰節點之間的協同收益和雙方作戰節點交戰的博弈收益都已經得到，敵方節點結構重要程度未知，敵方作戰節點價值重要程度已知，同樣地可以確定敵方與我方交戰的博弈收益。這里有兩種方式重構敵方網絡鏈接。

方法1可以利用己方作戰節點與敵方作戰節點的博弈情況來判斷。通過與敵方作戰節點博弈可以得到部分作戰節點對應的收益矩陣中作戰節點內在屬性He(我方對敵方采取作戰行動對應的博弈)，從而得到作戰節點的結構重要程度De，通過De可以判斷對應的敵方作戰節點是否有未知鏈接在。但這種方式受限于交戰網絡的鏈接情況，不一定能夠完整地重構鏈接。此外，還可以通過敵方內部作戰節點之間的博弈收益來判斷，但從作戰實際上來講，敵方作戰節點之間獲得的作戰博弈收益無法準確得到，而我方作戰節點的收益情況則非常清晰。

方法2利用每輪策略后的改變來判斷。假設與敵方作戰K節點相鏈接的己方陣營作戰節點數為M，根據每輪作戰博弈后敵方策略是否改變來估計1.6節中策略變換概率公式中的未知量——G0中的bij值。

敵方作戰節點K上一輪收益G0是bij的函數，設與作戰節點K沒有鏈接的敵方網絡作戰節點數量為N′，在與這N′個作戰節點之間存在可能的未知鏈接，重構敵方網絡鏈接就是確定這個未知鏈接。

這里設第t輪作戰博弈的策略改變函數yt，作戰節點K在第t輪作戰博弈中策略發生改變則yt=1，策略沒有發生改變則yt=0. 因此定義

(13)

每輪作戰博弈的己方上一輪收益GKt和策略改變結果yt已知，當t足夠大時，通過非線性最小二乘法進行擬合可以得到N′個bij的估計值，而bij∈{0,1}，最終通過bij的估計值可以確定bij的最終值。

2.3 重構敵方部分節點的價值重要程度

在2.2節中假設的是敵方作戰節點價值重要程度都是已知的，而在實際情況下，由于掌握的信息有限性和對敵偵察能力的限制，敵方個別作戰節點的價值重要程度無法確定，因此需要對敵方位置節點的價值重要程度進行重構。這里有兩種方法重構敵方網絡鏈接。

方法1可以利用己方作戰節點與敵方作戰節點之間的博弈情況來判斷。如果敵方作戰節點K價值重要程度未知，通過己方作戰節點與敵方作戰節點K進行博弈，可以得到部分節點對應的收益矩陣中節點內在屬性He(我方對敵方采取作戰行動對應的作戰博弈)，從而得到作戰節點的價值重要程度Fe.

方法2方法1是假定收益矩陣或者具體收益可以通過作戰博弈后得知的，這也是傳統網絡重構所采用的方法，而在實際作戰過程中，敵方作戰節點價值重要程度未知，理論上獲得的收益也無法準確評估地得到，這里同樣可以通過2.2節中的方法來確定。

這里的未知條件不再是bij，而是作戰博弈的收益。此時，GKt和G0t是He的函數，根據每輪作戰博弈中作戰節點K的策略變化，可以通過非線性最小二乘法進行擬合可以得到He的估計值，從而得到作戰節點價值重要程度的估計值。

2.4 重構敵方網絡的部分作戰未知區域

2.4.1 節點數量確定

如果簡單地利用多輪作戰博弈中鏈入和鏈出未知區域的己方作戰節點和敵方作戰節點在每輪作戰博弈中所獲得的收益變化情況，可以直接對比得到未知區域內節點數量Nu(未知區域內沒有對外產生鏈接的節點除外，這里稱此類節點為邊緣節點)。

無論是鏈入和鏈出到未知區域的節點xq和yp選擇什么策略，都離不開以下4種情況：

情況1xq或yp節點采取第一種策略，與未知區域內作戰博弈的收益為Pq1或Pp1；

情況2xq或yp節點采取第一種策略，與未知區域內作戰博弈的收益為Pq2或Pp2；

情況3xq或yp節點采取第二種策略，與未知區域內作戰博弈的收益為Pq3或Pp3；

情況4xq或yp節點采取第二種策略，與未知區域內作戰博弈的收益為Pq4或Pp4.

通過上述4種情況可以判斷未知區域內作戰節點的策略選擇情況，當第l輪作戰博弈中，第m個鏈入或鏈出未知區域的作戰節點對應作戰博弈收益為Pq1、Pp1、Pq3或Pp3時dml=0，對應作戰博弈收益為Pq2、Pp2、Pq4或Pp4時dml=1，其中：dml為作戰節點博弈的標志；m=1,2,…,p+q.

從而得到未知區域的策略矩陣為

Cs=[dml](p+q)×t.

(14)

如果存在某一輪作戰博弈中鏈入和鏈出未知區域的己方作戰節點和敵方作戰節點收益沒有發生變化，而未知區域的整體策略發生變化，那就說明未知區域內存在邊緣節點，舉例說明如圖3所示。

圖3 敵方未知區域內示意圖Fig.3 Schematic diagram of unknown enemy area

圖3示例中：y4為未知區域內的邊緣節點，當y4策略變化，y1、y2、y3策略沒有發生變化時，整個未知區域策略發生變化，而鏈入和鏈出未知區域的己方作戰節點和敵方作戰節點與未知區域內的作戰博弈收益不變。因此可以通過這個方法判斷未知區域內是否存在邊緣節點。

2.4.2 節點之間鏈接和價值重要程度的確定

在不考慮邊緣節點的情況下，根據2.4.1節中判斷出的作戰節點數量，然后根據與己方網絡之間的作戰博弈來求得未知區域內作戰節點的鏈接情況。由于未知區域是敵方網絡的一部分，這里將未知區域內網絡設為C′s=[eij]Nu×Nu，eij為判斷未知區域內網絡中第i個節點是否指向第j個節點，有指向關系則為1，否則為0. 此時由于每一個內部作戰節點收益都與外部的作戰節點和未知區域內部的其他作戰節點相關聯，且外部作戰節點收益的計算可能不僅與內部區域一個作戰節點有關，這里的未知量是eij和HM或H′M，t輪作戰博弈后共產生t組方程組，每組Nu個方程，再通過2.2節中的第二種方法的非線性最小二乘法進行擬合，求得位置區域內作戰節點的鏈接eij和作戰節點的價值重要程度Fe.

當考慮邊緣節點的情況下，邊緣節點與其他作戰節點的博弈會導致節點收益發生偏差，進而使策略改變概率發生變化，再直接采用上述方法會導致測量的eij不準確，邊緣節點內在屬性越大，對eij的測量誤差就越大。這樣就需要添加必要的條件來對邊緣節點情況進行評估。

1.3節中通過對敵的偵察與信息采集評估敵方作戰節點的價值重要程度，同理，采用相同方法對整個未知區域進行評估，評估未知區域的價值重要程度Fw，減去2.4.1節中求得的未知區域內Nu個作戰節點價值重要程度，得到邊緣節點的價值重要程度。此時，設定一個閾值α，當邊緣節點的價值重要程度大于α時，說明對其他作戰節點收益造成的偏差足以影響策略改變概率發生很大的變化，影響eij的測量；當邊緣節點的價值重要程度小于α時，則可以邊緣節點的影響程度忽略不計，Nu個作戰節點構成的網絡即為所求未知區域。閾值α是結合具體數據和eij的估計情況后統計得出的。

當考慮存在一個邊緣節點的情況時。若邊緣節點的價值重要程度大于α，邊緣節點與未知區域內其他作戰節點的鏈接情況共分為3Nu種情況，此時，可以通過挑選在t輪作戰博弈中，Nu個點策略不變而未知區域整體策略而改變的輪數，進而確定邊緣節點的策略狀況，以此做更進一步計算，但這種方法十分復雜。除此之外，也可以結合作戰實際，采取其他手段來得到eij值，例如采取行動摧毀Nu個作戰節點中的一個，通過策略變化情況來做下一步的計算，限于篇幅將不進行進一步的細化與分析。

3 實例分析

3.1 作戰網絡拓撲結構與參數設定

紅軍與藍軍舉行作戰演習，紅軍有8個作戰節點，藍軍有10個作戰節點，紅軍內部各作戰節點共同組成紅方網絡，藍軍內部各作戰節點共同組成藍方網絡，紅方網絡和藍方網絡之間的網間關系為交戰網絡，具體作戰網絡結構如圖4所示。

圖4 作戰網絡結構Fig.4 Combat network structure

雙方作戰節點的結構重要程度和設定的價值重要程度如表4所示。

表4 雙方作戰網絡參數設定Tab.4 Parameter setting of combat networks of both sides

作戰博弈參數如表5所示。

表5 博弈參數設定Tab.5 Game parameter setting

3.2 博弈與重構分析

首先按照各自網絡內部作戰博弈情況確定初始策略，進行多輪作戰博弈，第t輪后得到各節點的策略變化情況(用0和1表示，這里顯示到第100輪)，如表6所示。

表6 作戰節點策略變化情況Tab.6 Strategy changes of combat nodes

在每一輪作戰博弈中獲得的實時收益如表7所示。

表7 作戰節點收益情況Tab.7 Payoff of combat nodes

接下來，驗證作戰網絡重構的有效性。假定在上述作戰博弈中，藍方網絡第8、9、10等3個節點處于未知區域，我方無法得知其內部結構，此時p=3，q=3. 此時，未知區域的策略矩陣為

(15)

通過2.4.1節中的方法，可以確定矩陣第1行、第2行、第4行，第3行、第5行，第6行分別鏈接3個作戰節點，可以確定未知區域內作戰節點數量Nu=3.

下一步進行未知區域內作戰節點之間鏈接和作戰節點價值重要程度的確定。

這里發現直接擬合后由于變量較多，價值重要程度誤差較大，而根據計算的結果，作戰節點之間的鏈接比較容易確定，這里先確定作戰節點直接的鏈接，然后減少變量繼續計算作戰節點價值重要程度。

經過大量隨機模擬實驗，發現當t足夠大時(t>100)，作戰節點之間的鏈接幾乎可以100%確定，而確定作戰節點價值重要程度時則需要更多的輪數t，結果才能趨于正確值。當然，真正作戰中不可能給紅方足夠的時間使預測特別精確，這里采用t=100進行500次模擬，3個內部區域的作戰節點價值重要程度如圖5所示。

圖5 節點價值重要程度仿真圖Fig.5 Simulation graph of node value importance

從圖5中可以看出，在100輪作戰博弈之內對作戰節點價值重要程度的預測已經比較準確，未知區域內的3個作戰節點價值重要程度在正確值的附近波動，誤差在正確值10%以內的概率分別為85.80%(3.063 6～0.374 4)、91.20%(0.526 8～0.643 8)和82.20%(0.201 4～0.246 2)，可以滿足作戰需求。此時，對未知區域內作戰節點數量、作戰節點鏈接情況和作戰節點價值重要程度的重構已經完成。

4 結論

研究作戰體系中的敵我雙方作戰博弈關系將朝著更科學、更高效、更接近實戰化方向轉變，其中對敵方作戰網絡體系中的結構與價值重構是復雜網絡在作戰領域更深一層的應用。本文建立了敵我雙方作戰博弈模型和敵方網絡結構與價值重構模型，研究了雙方之間作戰博弈關系與博弈收益，分析了敵方網絡在不同情況下相應的重構方法。實驗結果表明，本文的作戰博弈與重構方法，能較好地體現作戰博弈與重構的特點，對研究作戰博弈與對敵網絡重構有著一定的研究價值。

參考文獻(References)

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