可重構單驅動3-RRR平面并聯機構連桿曲線與姿態的數值解法

李庠，李瑞琴，李輝，寧峰平

(中北大學 機械工程學院，山西 太原 030051)

0 引言

目前，在多工件多位姿的搬運、裝配、包裝等領域主要采用多驅動的并聯機構[1]、串聯機構[2]或者連桿機構[3]來實現。多驅動的并聯機構由于其正解復雜，導致其控制系統復雜，而單驅動能夠簡化控制系統，使機構擺脫對傳感器的依賴，顯著降低連續驅動時的能耗。因此，實現多個精確位姿的單驅動平面并聯機構在工程上有重要的應用價值。

3-RRR平面并聯機構是典型的平面并聯機構，相關文獻研究了其運動學和動力學性能[4-8]。Li等[9]研究了3-RRR機構的曲柄存在條件，揭示了該機構的可轉動性。Zhang等[10]采用轉換驅動模式的方法，在不改變其拓撲結構、不增加冗余的情況下消除平面3-RRR機構的Ⅱ型奇異性。Quintero-Riaza等[11]提出了一種平面并聯機構的尺寸綜合方法并應用于3-RRR機構，能夠優化得到預期的靈巧度好、傳動力大、覆蓋特定工作區間的機構。

有些學者將平面并聯機構約束為連桿機構，進行機構綜合分析。Soh等[12]提出由一個平面并聯機構約束兩個R-R(轉動- 轉動)的曲柄綜合方法，設計出能夠實現5個指定位姿的8連桿機構。Chen等[13]通過一個連桿連接兩個4連桿，生成一種能夠實現11個指定位姿的8連桿機構。Chung[14]提出將兩個4桿機構串聯起來轉化為可以實現17個指定位姿的連桿機構，但該機構具有兩個自由度。Surez-Velsquez等[15]提出了一種1自由度的連桿機構，可以實現8個指定的位姿。

Bai等[16]提出的一種通過平行四邊形機構約束3-RRR平面并聯機構得到1自由度平面并聯機構的連桿綜合方法，計算得到動平臺能夠實現10個位姿。但該文獻沒有對輸入- 輸出(IO)方程進行求解，必須借助計算機輔助設計(CAD)模型仿真結果確定方程的解屬于機構的何種構型，因此還需要進一步研究機構運動軌跡與姿態的求解方法。

在此基礎上，本文研究單驅動3-RRR平面并聯機構的IO特性，提出一種IO方程的數值解法，利用此方法精確生成機構的連桿曲線(即運動軌跡)和姿態，能夠判斷在某一輸入下得到的多個解分別屬于機構的何種構型，擺脫構型分析對CAD模型的依賴；提出一種單驅動3-RRR平面并聯機構的重構方法，計算機構重構后的連桿曲線與姿態。

1 3-RRR平面并聯機構的數學表示

傳統3自由度3-RRR平面并聯機構如圖1(a)所示，需要3個原動件同時驅動，在通過指定多個位姿的連續運動中，需要傳感器實時檢測機構的運動位置，驅動電機還需要頻繁地進行正/反轉的切換，經常進行加速、減速運動，能耗較大，控制系統復雜。為改善以上問題，本文在實驗室已有3自由度3-RRR平面并聯機構的基礎上，提出一種單驅動3-RRR平面并聯機構，在實現指定多個位姿的同時，降低軟件與硬件成本和能耗。

單驅動3-RRR平面并聯機構如圖1(b)所示。圖1(b)中，Ai、Bi、Ci(i=1，2，3)表示第i個支鏈的各轉動關節，G、H為支鏈2約束支鏈1、支鏈3的轉動關節，l1i表示桿BiCi的長度，l2i表示桿AiCi的長度，e1、e2表示動平臺A1A2、A2A3的邊長，θi0表示第i個支鏈的初始角度，OBXBYB為固定在B2點的靜坐標系。3-RRR平面并聯機構有3個原動件，但桿B1C1與B3C3分別被C1G與C3H約束，形成兩個平行四邊形連桿B1C1GB2和B3C3HB2. 由于桿B1C1、B3C3的轉角θ10、θ30分別與B2C2的轉角θ20相差θ1-2=θ10-θ20、θ3-2=θ30-θ20，3個角度可以相互表示，故機構自由度為1. 使用θ2j作為輸入角θj，其中j表示機構處于第j個姿態：當機構處于初始姿態時j=0；當桿B2C2轉過某一角度θ時，會帶動B1C1和B3C3同時轉過θ角，此時θj=θ20+θ.

圖1 3-RRR平面并聯機構Fig.1 3-RRR planar parallel mechanism

為了便于描述，將靜坐標系固定在B2點，動坐標系固定在動平臺的A2點并隨之移動，如圖2所示。圖2中，OAXAYA為固定在A2點的動坐標系，以支鏈B2C2A2為例，使用向量b2表示B2的位置(由于b2為0向量，故不在圖2中標出)，向量a20、c20表示A2、C2的初始位置，向量a120表示初始位姿下A2指向A1的向量。當機構處于第j個位姿時，用向量rj和角度φj描述動平臺的位置和姿態，向量a2j、c2j描述A2、C2的位置，a12j表示A2指向A1的向量。支鏈B1C1A1和支鏈B3C3A3同理可表示。

圖2 機構原動件的初始姿態與第j個姿態Fig.2 Initial orientation and jth orientation of driving link of the mechanism

假設連桿A2C2為剛體，可得

(1)

同理可得關于A1C1與A3C3的方程，故(1)式可寫為

(2)

式中：aij=rj+Qjai20；cij=bi+Rjc′i，c′i=ci0-bi；Qj、Rj為平面旋轉矩陣，Qj=Q(φj)、Rj=R(θj).

故(2)式可以寫為

(3)

(4)

式中：dij=rj+eij，eij=Qjai20-bi.

(4)式簡寫為

Jicosθj+Kisinθj+Li=0，

(5)

式中：Ji、Ki、Li均為系數，

(6)

(5)式即為機構的綜合方程。

2 單驅動3-RRR平面并聯機構的IO方程

建立單驅動3-RRR平面并聯機構的IO方程，便于研究機構的連桿曲線與姿態，判斷機構的構型情況。

圖3所示為IO分析的機構運動簡圖。圖3中，μ1為桿A1A2與桿A2C2的夾角，μ2為桿A2C2與桿A2A3的夾角，α為桿A1A2與桿A2A3的夾角，ψ1為桿A2C2與線C1C2的夾角，ψ2為桿A2C2與線C2C3的夾角，σ為線C1C2與線C2C3的夾角，d1、d2分別為C2點到C1點、C3點的距離。

圖3 IO分析的機構運動簡圖Fig.3 Kinematic diagram of the mechanism for IO analysis

對圖3所示機構的任一個位姿，使用Freudenstein方程將平面連桿機構的IO方程寫成無量綱形式：

k11-k12cosμ1-k13cosψ1+
cosψ1cosμ1-sinψ1sinμ1=0，

(7a)

k21-k22cosμ2-k23cosψ2+
cosψ2cosμ2-sinψ2sinμ2=0，

(7b)

式中：k11、k12、k13為等效4桿機構A1C1C2A2的Freudenstein參數，

(8)

k21、k22、k23為等效4桿機構A2C2C3A3的Freudenstein參數，

(9)

為了方便求解，需要利用輸入和輸出角度的幾何關系減少變量的個數，即

μ1=2π-μ2-α,

(10)

ψ1=2π-ψ2-σ,

(11)

式中：當給定輸入角θj后，利用幾何關系計算可得σ.通過(10)式、(11)式消除μ1、ψ1兩個變量后，(7a)式可重寫為

k11-k12cos(μ2+α)-k13cos(ψ2+σ)+
cos(ψ2+σ)cos(μ2+α)-
sin(ψ2+σ)sin(μ2+α)=0,

(12)

(12)式簡寫為

D1cosψ2+E1sinψ2+F1=0,

(13)

式中：

(14)

同理,(7b)式可寫為

D2cosψ2+E2sinψ2+F2=0,

(15)

式中：

(16)

聯立(13)式、(15)式，可得

(17)

得到最終的IO方程為

f(μ2)=(E1F2-F1E2)2+(D1F2-D2F1)2-
(D1E2-D2E1)2=0，

(18)

(18)式中只包含一個變量μ2，令t=tan(μ2/2)，利用萬能公式

(19)

將(18)式化為一個關于變量t的6次多項式，此時t是可解的。得到t后，μ2和ψ2也能夠解出。當解出μ2和ψ2后，A1、A2和A3都能用μ2和ψ2表示，

(20)

當已知動平臺3個頂點中任意2個頂點的位姿時，便可求得rj與φj. 假設已知A1、A2兩點的坐標，由圖2可知，A1、A3可表示為

a1j=rj+Q(φj)(a10-a20)+a20,

(21a)

a3=rj+Q(φj)(a30-a20)+a20,

(21b)

(21a)式和(21b)式轉置后相減，得

(a1j-a3j)T=[Q(φj)(a10-a30)]T=
[cosφj(a10-a30)+sinφjE(a10-a30)]T.

(22)

(22)式等號兩邊同時右乘E(a10-a30)，得

(23)

(22)式等號兩邊同時右乘a10-a30，得

(24)

令u=sinφj，v=cosφj，則φj可表示為

(25)

此時，rj可表示為

rj=a1j-a20-Q(φj)(a10-a20).

(26)

由于(18)式為6次多項式，最多具有6個實數解，其每個解都是在機構原動件參數不變情況下的不同構型，即機構除了圖1所示的構型外，最多還存在5種不同的構型。

3 單驅動3-RRR平面并聯機構的重構方法與IO方程的數值解法

3.1 機構的重構方法

機構重構簡圖如圖4所示。圖4中，θRE為重構角度，是B1G1與B1C1的夾角，θRE0為重構后的初始重構角。在桿B1C1的C1點固定一個圓心為B1、半徑為B1C1的圓弧形導軌，使G1點能夠沿著弧形導軌滑動θRE后固定，以此改變機構的初始重構角θRE0，此時θRE0=θ10+θRE，約束桿B1C1的平行四邊形變為B1G1G2B2.θRE每改變一次，則實現對機構的一次重構，每次重構后均可得到一個新的機構。在不同原動件上增加弧形導軌，均能夠實現對機構的重構，通過此類方法可以得到若干個新的機構。不失一般性，在此以桿B1C1為例，研究機構重構后連桿曲線的求解方法。

圖4 重構的機構運動簡圖Fig.4 Kinematic diagram of reconfigured mechanism

3.2 機構IO方程的數值解法與重構后IO方程的數值解法

由于建立IO方程時使用了萬能公式，采用解析法求解IO方程各個參數時需要進行角度判定，從而增加了解方程的工作量。并且由于(18)式為6次方程，可能存在多個實數解，但無法確定在不同輸入角θj下每個實數解之間的對應關系，導致難以求解機構的IO方程，因此本文提出一種IO方程的數值解法。

機構的初始位置如圖1(b)所示，以點B2為原點，假設機構各設計參數與運動參數已知。計算(8)式、(9)式，將所得的Freudenstein參數代入(18)式、(19)式求解t.通過(19)式計算得到μ2的所有實數解，即得到機構的所有構型。利用(17)式解出ψ2，代入(20)式計算A1、A2、A3在初始相位角θ10時的值，此時rj與φj均為0，將其作為MATLAB軟件中fsovle函數的初值代入(5)式中，計算當θ10轉過一個微小角度Δθ后θj的rj與φj，并得到此時A1、A2、A3的值。再將此時的rj與φj作為fsovle函數的初值代入(5)式中，計算θj轉過一個微小角度Δθ得到新的輸入角θj時機構的rj與φj，得到此時A1、A2、A3的值，以此循環，直到θj=360°時，即可獲得機構的連桿曲線。

若已知機構某一位姿，則可將該位姿代入不同構型的方程中(參數t、μ2、ψ2以及動平臺初始位姿不同)，檢查計算是否收斂，以此判斷該位姿屬于何種構型，也可判斷不同位姿下t的多個解的關系。

當機構重構時只改變了機構的初始重構角θRE0，故上述方法同樣適用于重構后的機構。在求解時，只需要改變機構的初始重構角，重復上述方法即可得到機構重構后的連桿曲線，計算流程如圖5所示。

圖5 機構連桿曲線計算流程圖Fig.5 Flowchart for calculating coupler curve of mechanism

4 數值算例

如圖1(b)所示，以點B2為原點，機構的設計參數如表1所示，運動參數如表2所示。

表1 機構的設計參數Tab.1 Design parameters of mechanism

表2 機構的運動參數Tab.2 Kinematic parameters of mechanism

通過(18)式和(19)式計算得到μ2有2個實數解，如表3所示，表明該機構除了圖1(b)所示的構型以外，還存在一種構型，如圖6所示，即該機構共有兩種構型。

表3 IO方程的兩個解Tab.3 Two solutions of IO equation

圖6 單驅動3-RRR平面并聯機構的構型ⅡFig.6 Configuration Ⅱ of single-driven 3-RRR planar parallel mechanism

將圖1(b)所示的機構稱為構型Ⅰ，圖6所示的機構稱為構型Ⅱ，構型Ⅰ與構型Ⅱ的設計參數與運動參數完全相同，但動平臺A1A2A3的位姿不同。構型Ⅰ的ψ2通過計算所得的值為155.48°，但圖1(b)中ψ2明顯大于180°，因此ψ2=360°-155.48°=204.52°. 這表明若采用解析法求解IO方程，則還需解決角度判定問題，因此本文提出的數值解法能夠很大程度上化簡求解IO方程的工作。

構型Ⅰ與構型Ⅱ的重構方法和連桿曲線與姿態的計算步驟相同，因此本文僅以構型Ⅰ作為算例。按照圖5所示計算流程計算得到構型Ⅰ的連桿曲線與姿態φj，通過三維建模SolidWorks軟件仿真得到連桿曲線，將理論計算曲線與仿真曲線進行比對驗證，發現二者完全吻合(以B2為坐標原點、A2為動平臺原點)，如圖7所示。構型Ⅰ的連桿曲線在x軸上的坐標最大值和最小值分別為50.89 mm和-85.01 mm，跨度為135.9 mm；在y軸上的坐標最大值和最小值分別為102.1 mm和9.76 mm，跨度為111.86 mm.

圖7 構型Ⅰ的連桿曲線Fig.7 Coupler curve of configuration Ⅰ

通過動力學仿真ADAMS軟件對其姿態φj進行仿真，其仿真結果與理論計算所得姿態的曲線吻合，最大誤差約為0.3°，如圖8所示。構型Ⅰ的φj在一個轉動周期內的最大值和最小值分別為21.67°和-3.91°，跨度為25.58°.

圖8 構型Ⅰ的姿態Fig.8 Orientation of configuration Ⅰ

通過仿真結果和理論計算結果的對比，表明IO方程與求解方法的正確性。本文提出方程的求解思路同樣適用于其他IO方程求解工作復雜、困難的連桿機構。

機構重構的連桿曲線如圖9所示，隨著重構角θRE的增加，機構在x軸上的工作范圍越來越小，在y軸上的工作范圍越來越大。構型Ⅰ在θRE=45°時，連桿曲線在x軸的坐標最大值和最小值分別為25.07 mm和-55.4 mm，跨度為80.47 mm；y軸的坐標最大值和最小值分別為119.6 mm和-7.53 mm，跨度為127.13 mm. 相比于原機構，連桿曲線的工作范圍在x軸上減少了40.79%，在y軸上增加了13.65%.由此可得，重構主要影響了構型Ⅰ的連桿曲線在x軸上的工作范圍，且θRE每增加15°，連桿曲線在x軸上的坐標最大值減少9 mm左右，坐標最小值增加10 mm左右。

圖9 構型Ⅰ重構的連桿曲線Fig.9 Coupler curves of reconfiguration of configuration Ⅰ

由圖9(a)可知，重構改變了構型Ⅰ的連桿曲線，但所有重構后的曲線都集中相交于M、N兩點附近，在實際應用中可將這兩點作為機構的特征點，再通過具體工況選擇合適的連桿曲線。

構型Ⅰ重構后的姿態φj如圖10所示。由圖10可見：隨著重構角θRE的增加，構型Ⅰ姿態φj的曲線極值點在橫坐標上發生遷移，曲線的大致形狀相似，都存在一個波峰和一個波谷，且姿態φj的最大值和最小值也隨之增大和減小；當θRE=0°時姿態φj的最大值和最小值分別為21.67°和-14.78°，當θRE=45°時姿態φj的最大值和最小值分別為32.05°和3.911°，最大值和最小值的跨度分別為10.3°和18.691°.

圖10 構型Ⅰ重構的姿態Fig.10 Orientation of reconfiguration of configuration Ⅰ

圖10(a)中，仿真的姿態φj曲線的個別地方出現局部的峰值，這是因為在仿真過程中該點接近于機構的奇異位置，從而導致機構運動的突變。由于奇異位置的存在也限制了仿真過程中仿真步長的設置，最終導致姿態φj局部峰值的出現，與理論結果出現差異，因此在之后的研究中還要對機構的性能進行分析與優化。

由圖9、圖10可知，構型Ⅰ通過理論計算得到連桿曲線與姿態φj都與仿真結果相符，表明本文所提IO方程數值求解方法的正確性，并能夠適用于重構后機構的計算。

5 結論

本文利用Freudenstein方程推導出單驅動3-RRR平面并聯機構的IO方程，提出一種數值求解方法。在此基礎上，提出了一種通過改變某一驅動轉動副的初始角度實現重構的方法并通過數算例求解驗證。得到以下主要結論：

1)提出一種IO方程的數值解法，得到機構的所有構型及其連桿曲線與姿態，能夠通過計算判斷某一位姿屬于機構的何種構型。

2)通過對比理論與仿真得到的連桿曲線與姿態φj的曲線，證明該數值求解方法的正確性。該方法化簡之后的構型分析工作，可為其他求解IO方程工作復雜、困難的連桿機構提供參考。

3)使用提出的求解方法計算了該可重構機構的運動軌跡，理論計算結果與仿真軌跡相符，證明了該方法同樣適用于重構后的單驅動3-RRR平面并聯機構。

4)提出的約束方法能為其他多驅動平面并聯機構轉化為單驅動或少驅動機構提供研究基礎；采用的重構方法可為單驅動機構改變運動軌跡的重構設計提供參考。

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