基于變分模態(tài)分解和壓縮感知的弱觀測(cè)條件下雷達(dá)信號(hào)重構(gòu)方法

劉方正 韓振中 曾瑞琪

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院電子對(duì)抗信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 合肥 230037)

1 引言

對(duì)雷達(dá)信號(hào)的準(zhǔn)確分析處理是雷達(dá)對(duì)抗的核心任務(wù)之一。現(xiàn)有偵察采集設(shè)備特別是升空設(shè)備在信號(hào)實(shí)時(shí)采集過(guò)程中，受一系列弱觀測(cè)因素(如低信噪比、信號(hào)傳輸和存儲(chǔ)短猝故障、平臺(tái)姿態(tài)斷續(xù)對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)等)的影響，導(dǎo)致部分時(shí)間內(nèi)采集數(shù)據(jù)發(fā)生連續(xù)丟失或者隨機(jī)丟失，同時(shí)伴有噪聲干擾，嚴(yán)重影響了采集信號(hào)的完整性和準(zhǔn)確性。因此，在進(jìn)行雷達(dá)信號(hào)的分析與處理之前，必須進(jìn)行合理的降噪與重構(gòu)處理。如果能夠去除實(shí)際采集數(shù)據(jù)中的噪聲干擾，修復(fù)采集過(guò)程中丟失的數(shù)據(jù)，則將有效提高雷達(dá)對(duì)抗偵察信號(hào)處理結(jié)果的正確性和可靠性。

針對(duì)雷達(dá)信號(hào)的降噪問(wèn)題，學(xué)者先后提出了短時(shí)傅里葉變換(Short-Time Fourier Transform，STFT)、卡爾曼濾波(Kalman Filtering， KF)、小波域變換(Wavelet Transform， WT)[1]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition， EMD)[2]等方法。雷達(dá)信號(hào)一般為非平穩(wěn)信號(hào)，但STFT不能完全表征非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)間頻率變換特性，故這類方法存在一定的局限性。KF雖然可以處理非平穩(wěn)信號(hào)，但在處理缺失信號(hào)或快速變化信號(hào)時(shí)，該類方法誤差較大[3]。WT具有良好的時(shí)頻局部特性，但由于其基函數(shù)難以自適應(yīng)信號(hào)變化的特點(diǎn)[4]，這類方法亦有不足。EMD具有良好的自適應(yīng)性，可以極好地反映信號(hào)局部頻率特征，但存在端點(diǎn)效應(yīng)、模態(tài)混疊等問(wèn)題[5]。2014年，文獻(xiàn)[6，7]提出的變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition，VMD)方法自適應(yīng)效果好，可處理非線性、非平穩(wěn)信號(hào)。該類方法可克服EMD的模態(tài)混疊問(wèn)題，運(yùn)算效率高，降噪能力強(qiáng)。目前，VMD已應(yīng)用于激光雷達(dá)信號(hào)、監(jiān)測(cè)信號(hào)、地震勘探信號(hào)、語(yǔ)音信號(hào)等領(lǐng)域的降噪處理[8—11]。

對(duì)于弱觀測(cè)條件下雷達(dá)信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題，即采集過(guò)程中丟失數(shù)據(jù)修復(fù)問(wèn)題的傳統(tǒng)解決方法主要有插值法和曲線擬合法等。該類方法首先基于已有數(shù)據(jù)信息提取數(shù)據(jù)的分布，然后根據(jù)分布估計(jì)缺失的數(shù)據(jù)，然而該類方法需要求解高維方程組，隨著數(shù)據(jù)量的增大，求解過(guò)程會(huì)越來(lái)越困難。此外，該類方法并未結(jié)合雷達(dá)信號(hào)的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，因此其重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)相差較大，難以滿足信號(hào)精細(xì)分析處理需求，影響雷達(dá)信號(hào)脈沖寬度、重復(fù)頻率、脈內(nèi)調(diào)制類型、碼元寬度及編碼規(guī)律等重要特征的判斷和參數(shù)估計(jì)。壓縮感知理論(Compressed Sensing，CS)將原始采集數(shù)據(jù)投影到只有少量測(cè)量值的稀疏空間，通過(guò)采用適當(dāng)?shù)闹貥?gòu)算法得到完整信號(hào)。CS理論目前已經(jīng)在諸多領(lǐng)域得到研究和應(yīng)用，如圖像處理領(lǐng)域，龔忠毅[12]研究了基于子帶自適應(yīng)稀疏表示的圖像壓縮感知重構(gòu)方法；醫(yī)療信號(hào)監(jiān)測(cè)領(lǐng)域，齊林等人[13]提出了基于CS的心電信號(hào)稀疏采樣和重構(gòu)方法；雷達(dá)領(lǐng)域，雷勵(lì)[14]基于CS理論設(shè)計(jì)了MIMO雷達(dá)波形，蔣瑩等人[15]提出的分布式壓縮感知算法有效地解決了基于稀疏陣列的寬帶欠定信號(hào)到達(dá)角估計(jì)問(wèn)題；數(shù)據(jù)修復(fù)領(lǐng)域，張新鵬等人[16]提出一種基于壓縮感知原理的振動(dòng)數(shù)據(jù)修復(fù)方法，另外在航天[17，18]、超寬帶雷達(dá)[19]等領(lǐng)域也都開(kāi)展了CS 的應(yīng)用研究工作。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，將VMD算法和CS原理引入弱觀測(cè)條件下雷達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)修復(fù)問(wèn)題中，提出了一種基于VMD-CS的雷達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)重構(gòu)方法。該方法首先利用VMD算法對(duì)采集信號(hào)進(jìn)行降解去噪處理，然后根據(jù)VMD算法的處理結(jié)果構(gòu)造CS框架下的觀測(cè)矩陣，進(jìn)而針對(duì)雷達(dá)信號(hào)的特點(diǎn)，建立稀疏表示字典矩陣，在此基礎(chǔ)上利用正交追蹤匹配(Orthogonal Matching Pursuit， OMP)算法重構(gòu)完整的雷達(dá)信號(hào)[20]。

2 VMD-CS雷達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)重構(gòu)

弱觀測(cè)條件下，實(shí)際采集的雷達(dá)信號(hào)不僅在完整性上有損失，且伴有污染。因此，高精度重構(gòu)原始雷達(dá)信號(hào)須在實(shí)際采集的殘損信號(hào)中，一方面消除噪聲干擾的影響，另一方面修復(fù)丟失的數(shù)據(jù)。因此本文提出了一種基于VMD-CS算法的雷達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，如圖1所示。假定采集信號(hào)是由殘缺的實(shí)際信號(hào)疊加上噪聲等干擾信號(hào)構(gòu)成。首先使用VMD算法對(duì)采集信號(hào)進(jìn)行降解去噪處理，進(jìn)而使用CS模型處理降噪數(shù)據(jù)，高精度重構(gòu)原始雷達(dá)信號(hào)。

圖1 VMD-CS雷達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)重構(gòu)系統(tǒng)框圖

3 VMD降解去噪

VMD算法針對(duì)EMD算法存在的模態(tài)混疊、虛假分量和端點(diǎn)效應(yīng)等問(wèn)題作出改進(jìn)。該方法首先假設(shè)每一個(gè)固有模態(tài)(Intrinsic Mode Function，IMF)分量有著不同的中心頻率和有限帶寬，然后采用交替方向乘子法(Alternate Direction Method of Multipliers， ADMM)，不斷更新各模態(tài)及其中心頻率，使得每一個(gè)IMF分量的估計(jì)帶寬之和最小，逐步將各模態(tài)解調(diào)到相應(yīng)的基頻帶，這樣便實(shí)現(xiàn)了信號(hào)從低頻到高頻的有效分離。換言之，只需在VMD算法處理之后，選取合適的IMF即可從采集信號(hào)中去除噪聲等干擾信號(hào)的影響。

假定將輸入信號(hào)f(t)分解為N個(gè)IMF分量，則相應(yīng)的變分問(wèn)題構(gòu)造過(guò)程如下：

(1) 對(duì)每個(gè)IMF分量進(jìn)行Hilbert -Huang變換得到其解析信號(hào)

其中，δ(t)為狄利克來(lái)函數(shù)，uk(t)為IMF函數(shù)。

(2) 對(duì)各解析信號(hào)預(yù)估其中心頻率，將各信號(hào)的頻譜變換到基帶上，即

其中，wk為IMF的中心頻率

(3) 計(jì)算式(2)解調(diào)信號(hào)的歐氏距離，估計(jì)各模態(tài)帶寬。得到變分約束問(wèn)題

為計(jì)算該變分約束模型的最優(yōu)解，需將該約束問(wèn)題轉(zhuǎn)換成無(wú)約束問(wèn)題。因此，引入二次罰函數(shù)項(xiàng)α和Lagrange乘數(shù)λ算子進(jìn)行約束。

(4) ADMM算法迭代，得到最終的IMF分量。

由于VMD算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解時(shí)，雷達(dá)信號(hào)中的隨機(jī)噪聲將會(huì)被分離到較高模態(tài)中，通過(guò)去除較高頻率模態(tài)分量，便能抑制信號(hào)中的噪聲。另一方面，本文同時(shí)使用了非相關(guān)模態(tài)去除原則，既可以抑制噪聲的干擾，也可以消除實(shí)際雷達(dá)信號(hào)中混入的非相關(guān)無(wú)意干擾信號(hào)，處理結(jié)果如圖2所示。可見(jiàn)通過(guò)VDM算法處理之后的降噪信號(hào)無(wú)論在時(shí)域上還是頻域上都得到了一定改善，信號(hào)中的噪聲部分被較好地分離出來(lái)了。

4 CS重構(gòu)

雷達(dá)信號(hào)采集數(shù)據(jù)可能存在連續(xù)丟失或者隨機(jī)丟失，通過(guò)標(biāo)簽索引的方式標(biāo)記所有數(shù)據(jù)，即標(biāo)簽1表示數(shù)據(jù)未丟失，標(biāo)簽0表示數(shù)據(jù)丟失，構(gòu)造采集信號(hào)的索引集合。基于索引集合和單位矩陣In∈RN×N可構(gòu)造出殘缺雷達(dá)信號(hào)的觀測(cè)矩陣Φ ∈RN×N。考慮到CS的數(shù)據(jù)恢復(fù)原理是將數(shù)據(jù)壓縮過(guò)程和采樣過(guò)程合并，將原始采集數(shù)據(jù)投影到只有少量測(cè)量值的稀疏空間，再采用適當(dāng)?shù)闹貥?gòu)算法由測(cè)量值重構(gòu)得到完整信號(hào)。而在稀疏空間，雷達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)丟失概率相對(duì)較小，通過(guò)稀疏空間的信號(hào)重構(gòu)可以大概率恢復(fù)出原始雷達(dá)信號(hào)。因而，本文引入CS方法重構(gòu)雷達(dá)信號(hào)，同時(shí)考慮到離散余弦變換(Discrete Cosine Transform， DCT)適用于雷達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)的稀疏表示，故基于DCT變換構(gòu)造稀疏字典矩陣，再通過(guò)OMP算法重構(gòu)雷達(dá)信號(hào)。綜上所述，可將殘缺雷達(dá)信號(hào)重構(gòu)算法流程如圖3所示，具體步驟如下：

圖2 雷達(dá)信號(hào)VMD降噪結(jié)果

圖3 弱觀測(cè)條件下雷達(dá)信號(hào)重構(gòu)方法流程圖

4.1 信號(hào)重構(gòu)原理

設(shè)觀測(cè)得到的采集信號(hào)為y ∈RM(M＜N)，其中M表示實(shí)際采集得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，N表示無(wú)丟失情況下的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，即：采集設(shè)備在實(shí)際采集過(guò)程中丟棄了原始完整信號(hào)不是特別重要的N—M點(diǎn)數(shù)據(jù)。令這丟失的N—M點(diǎn)數(shù)據(jù)的數(shù)值為零(因?yàn)樵揘—M點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)時(shí)刻未能成功采集到信號(hào))，因此可由實(shí)際采集的M點(diǎn)數(shù)據(jù)和這補(bǔ)充的N—M個(gè)零數(shù)據(jù)，重新構(gòu)建一組N點(diǎn)數(shù)據(jù)，記為x0，其在數(shù)據(jù)丟失位置對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)值為零。將丟失位置的索引記為集合Z，則將x0中對(duì)應(yīng)集合Z索引位置的N—M個(gè)零值去掉，保持其它元素值順序和大小不變，可得到觀測(cè)信號(hào)y ∈RM(M＜N)。

設(shè)In∈RN×N為單位矩陣，將In中的第j行(j ∈Z)刪除，其它行保持順序和大小不變，可得到觀測(cè)矩陣Φ ∈RN×N，進(jìn)而應(yīng)用CS修復(fù)算法，可以重構(gòu)原始信號(hào)N點(diǎn)數(shù)據(jù)的估計(jì)值。

根據(jù)上述定義和假設(shè)，可得

其中， Φ為觀測(cè)矩陣。

原始信號(hào)x可以通過(guò)稀疏表示字典矩陣Ψ ∈RN×N進(jìn)行稀疏化，即

其中，Θ 為稀疏表示系數(shù)向量。

令A(yù)=ΦΨ，則

此時(shí)已知實(shí)際觀測(cè)值(采集信號(hào))y和測(cè)量矩陣A，需要重構(gòu)稀疏系數(shù)向量 Θ，如果Θ 滿足稀疏便可成為CS框架下的信號(hào)重構(gòu)過(guò)程。

有學(xué)者證明，只需測(cè)量矩陣A滿足約束等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property， RIP)或者觀測(cè)矩陣 Φ和稀疏表示字典矩陣 Ψ不相關(guān)即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重構(gòu)[21]。

RIP的定義如下：對(duì)任意k-稀疏的信號(hào) Θ和常數(shù)δk∈(0，1)，滿足

4.2 雷達(dá)信號(hào)修復(fù)

由上所述，雷達(dá)信號(hào)的修復(fù)過(guò)程主要與觀測(cè)矩陣 Φ、稀疏字典矩陣 Ψ以及稀疏表示系數(shù)向量Θ 有關(guān)。其中觀測(cè)矩陣Φ ∈RN×N的構(gòu)造方法前文已經(jīng)詳敘。為實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重構(gòu)，測(cè)量矩陣A必須滿足RIP條件或者觀測(cè)矩陣 Φ和稀疏表示字典矩陣 Ψ不相關(guān)。即：只需要選擇合適的字典矩陣 Ψ即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)修復(fù)。一般來(lái)說(shuō)能夠使原始采集信號(hào)足夠稀疏的字典矩陣 Ψ并不是惟一的，能夠?qū)⒉杉盘?hào)稀疏化的字典矩陣均可用于信號(hào)重構(gòu)中。由于雷達(dá)信號(hào)的數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)DCT后對(duì)應(yīng)的系數(shù)比較稀疏，因此本文采用DCT矩陣作為稀疏字典矩陣，設(shè)其為C ∈RN×N，矩陣C的第i行、j列的元素計(jì)算方法如式(10)所示。

稀疏表示向量Θ 為

4.3 OMP算法

5 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文方法的有效性，本文針對(duì)常見(jiàn)雷達(dá)信號(hào)(線性調(diào)頻信號(hào)LFM、非線性調(diào)頻信號(hào)NLFM、Baker碼信號(hào)PSK)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，設(shè)置信號(hào)中心頻率為52 MHz采集時(shí)長(zhǎng)為2 μs，采樣頻率為500 MHz，采樣點(diǎn)數(shù)為1000。對(duì)于線性調(diào)頻信號(hào)設(shè)置其調(diào)頻帶寬為4 MHz且為正向調(diào)頻，對(duì)于非線性調(diào)頻信號(hào)采用正向偶二次方方式進(jìn)行調(diào)頻，調(diào)頻帶寬為4 MHz，對(duì)于Baker碼信號(hào)選用11位編碼方式。分別進(jìn)行連續(xù)丟失和隨機(jī)丟失兩種情況下的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，分別從時(shí)域、頻域以及時(shí)頻域角度對(duì)比了傳統(tǒng)方法與本文方法的信號(hào)重構(gòu)結(jié)果。為了進(jìn)一步精確分析本文方法的重構(gòu)效果，特別選用平均絕對(duì)誤差進(jìn)行衡量，如式(12)所示

5.1 連續(xù)丟失數(shù)據(jù)信號(hào)重構(gòu)實(shí)驗(yàn)

針對(duì)原始完整信號(hào)連續(xù)丟失的情況，分別從信號(hào)時(shí)域、頻域以及時(shí)頻域角度對(duì)比了原始完整信號(hào)、連續(xù)丟失數(shù)據(jù)信號(hào)、本文方法重構(gòu)結(jié)果以及傳統(tǒng)方法重構(gòu)結(jié)果，如圖4所示(由于圖片較多，連續(xù)丟失情況只顯示了LFM信號(hào)修復(fù)結(jié)果，隨機(jī)丟失選擇NLFM信號(hào)顯示)對(duì)于多脈沖信號(hào)，其脈內(nèi)信號(hào)與單脈沖信號(hào)相似，因此對(duì)于多脈沖信號(hào)情況，可采用逐個(gè)脈沖依次重構(gòu)的方法處理，然后再將各脈沖的重構(gòu)結(jié)果拼接，從而得到多脈沖信號(hào)的重構(gòu)結(jié)果。因此，多脈沖信號(hào)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其產(chǎn)生原因與單脈沖情況相似，只是幅值上有所增大。

分析圖4可知，在連續(xù)丟失10%數(shù)據(jù)的情況下，傳統(tǒng)的插值方法對(duì)于這種情況重構(gòu)效果非常差，丟失區(qū)域的時(shí)域重構(gòu)結(jié)果仍全為0，頻域以及時(shí)頻域上與原始完整信號(hào)區(qū)別更為明顯，時(shí)頻域上已經(jīng)丟失了原始信號(hào)的調(diào)頻特性。而本文的方法無(wú)論是對(duì)于LFM信號(hào)、NLFM信號(hào)還是PSK信號(hào)，都可以較好地重構(gòu)出了原始信號(hào)，重構(gòu)后信號(hào)在時(shí)域很接近，頻域以及瞬時(shí)頻率特性與原始完整信號(hào)基本相同，特別需要指出的是，在信號(hào)在時(shí)頻域重構(gòu)效果圖中，雖然由于缺失點(diǎn)數(shù)達(dá)到了100，線條上在缺失區(qū)域?qū)?yīng)位置有波動(dòng)，調(diào)頻特性有所損失，但是重構(gòu)信號(hào)在總體趨勢(shì)依然保留了原始完整信號(hào)的調(diào)頻特性。

分析原因可能是：傳統(tǒng)的插值算法重構(gòu)丟失點(diǎn)信號(hào)時(shí)，需要利用丟失點(diǎn)的鄰域信息進(jìn)行插值計(jì)算，這就要求其鄰域信息是存在且可靠的，然而在連續(xù)丟失情況下，丟失區(qū)域中間點(diǎn)的鄰域點(diǎn)也發(fā)生了信息丟失情況，這顯然不滿足插值重構(gòu)的前提條件。相反，本文方法原理是將信號(hào)變換到稀疏域進(jìn)行重構(gòu)修復(fù)，雖然信號(hào)在時(shí)域連續(xù)丟失了相對(duì)多的信息，但是當(dāng)將其轉(zhuǎn)換到稀疏域之后，有可能只丟失了整個(gè)信號(hào)相對(duì)較少的信息，或者是丟失了原始信號(hào)的部分不重要信息，因此本文方法的重構(gòu)結(jié)果相較于傳統(tǒng)方法明顯有所改善。

圖4 連續(xù)丟失數(shù)據(jù)條件下修復(fù)結(jié)果

觀察圖4(c)可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)使用傳統(tǒng)插值方法進(jìn)行殘缺數(shù)據(jù)修復(fù)重構(gòu)時(shí)，重構(gòu)結(jié)果中出現(xiàn)了較為突出的一段低頻成分，這明顯是不合理的。分析產(chǎn)生這段低頻成分的原因可能是：當(dāng)原始信號(hào)某處發(fā)生信息丟失時(shí)，直接反映在時(shí)域上是該處的采樣點(diǎn)數(shù)值為零，在連續(xù)發(fā)生數(shù)據(jù)丟失的條件下，便形成了一段時(shí)間的零采樣點(diǎn)情況。當(dāng)采用傳統(tǒng)的插值算法進(jìn)行重構(gòu)修復(fù)時(shí)，由于丟失區(qū)域中間點(diǎn)的鄰域點(diǎn)也發(fā)生了信息丟失情況，導(dǎo)致這些丟失區(qū)域中間點(diǎn)的插值條件基本相同，進(jìn)而使得這段區(qū)域的插值結(jié)果基本相同，且數(shù)值變化平緩，這種平緩變化的數(shù)據(jù)反映在頻譜中便產(chǎn)生了一個(gè)較低的頻率成分。由于LFM信號(hào)與PSK信號(hào)的頻率變化相較于NLFM信號(hào)簡(jiǎn)單，因此低頻混入情況也更為明顯。以至于當(dāng)使用傳統(tǒng)插值法重構(gòu)LFM信號(hào)與PSK信號(hào)時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)混入的低頻成分幅值上超過(guò)原信號(hào)的主要頻率成分的情況，這種情況隨著丟失率的進(jìn)一步上升越來(lái)越明顯。

同樣由于以上原因，在處理LFM， NLFM和PSK信號(hào)時(shí)，本文方法相較于傳統(tǒng)插值算法明顯更好的保留了原始信號(hào)的調(diào)頻特性。本文方法在處理LFM與NLFM信號(hào)時(shí)，雖然在丟失區(qū)域存在一定的波動(dòng)，但其波動(dòng)的幅值較小且整個(gè)時(shí)間段上依舊保留了原信號(hào)的調(diào)頻特性，而傳統(tǒng)插值算法在該區(qū)域完全丟失了原信號(hào)的調(diào)頻特性；處理PSK信號(hào)的時(shí)頻結(jié)果顯示本文方法完全修復(fù)了丟失區(qū)域頻率損失，只是帶來(lái)了一定的頻率波動(dòng)，如圖4(f)所示。而傳統(tǒng)插值算法卻完全丟失了該區(qū)域，如圖4(e)所示。此外需要指出，插值算法重構(gòu)結(jié)果中，非丟失區(qū)域與原信號(hào)調(diào)頻特性是相同，然而由于丟失區(qū)域瞬時(shí)頻率變化幅值較大，導(dǎo)致非丟失區(qū)域的調(diào)頻特性被掩蓋了。

分析圖4(a)可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)據(jù)丟失率不高于30%時(shí)，本文方法重構(gòu)出的采集信號(hào)與原始真實(shí)信號(hào)相比平均相對(duì)誤差比較小，在丟失率超過(guò)40%后誤差增加明顯，有可能無(wú)法有效重構(gòu)出原始采集信號(hào)。即本文方法在連續(xù)數(shù)據(jù)丟失率不超過(guò)40%時(shí)，均可以較為完好的重構(gòu)原始信號(hào)。

5.2 隨機(jī)丟失數(shù)據(jù)信號(hào)重構(gòu)實(shí)驗(yàn)

針對(duì)原始完整信號(hào)隨機(jī)丟失的情況，分別從信號(hào)時(shí)域、頻域以及時(shí)頻域角度對(duì)比了原始完整信號(hào)、隨機(jī)丟失數(shù)據(jù)信號(hào)、本文方法重構(gòu)結(jié)果以及傳統(tǒng)方法重構(gòu)結(jié)果，結(jié)果如圖5所示(由于圖片較多，隨機(jī)丟失情況只繪制了NLFM信號(hào)修復(fù)結(jié)果，連續(xù)丟失選擇LFM信號(hào)顯示)。對(duì)于多脈沖信號(hào)，其處理方法與連續(xù)丟失情況時(shí)相同。

圖5 連續(xù)丟失數(shù)據(jù)條件下修復(fù)結(jié)果

分析圖5可知，在隨機(jī)丟失50%數(shù)據(jù)的情況下，傳統(tǒng)插值方法的重構(gòu)效果相對(duì)較差，時(shí)域波動(dòng)明顯，頻域峰值點(diǎn)處雖然與原始信號(hào)相同，但是出現(xiàn)很多雜亂的鄰域點(diǎn)，時(shí)頻域與原始完整信號(hào)偏差很大，完全丟失了原始信號(hào)的線性調(diào)頻特性。而本文的方法無(wú)論是對(duì)于LFM信號(hào)、NLFM信號(hào)還是PSK信號(hào)，都可以較好地重構(gòu)出了原始完整信號(hào)，重構(gòu)后信號(hào)在時(shí)域很接近原始信號(hào)，頻域特性與原始完整信號(hào)基本相同，時(shí)頻域上更是可以明顯的體現(xiàn)出原始信號(hào)的調(diào)頻特性。

相較于連續(xù)丟失情況，隨機(jī)丟失情況下，傳統(tǒng)方法的重構(gòu)結(jié)果有所改善，但是當(dāng)丟失數(shù)據(jù)進(jìn)一步提高時(shí)，依然會(huì)出現(xiàn)局部小區(qū)域連續(xù)丟失的情況，因此其依然逃避不了其自身修復(fù)數(shù)據(jù)的局限性。相反，由于本文方法是將信號(hào)變換到稀疏域進(jìn)行相應(yīng)處理，數(shù)據(jù)點(diǎn)之間存在一定的信息關(guān)聯(lián)性，在稀疏域中，隨機(jī)丟失情況下丟失的重要信息概率相較于連續(xù)丟失情況降低了，因此，在隨機(jī)丟失情況下，可以容忍的數(shù)據(jù)丟失率相較于連續(xù)情況更高。

觀察圖5(c)可以發(fā)現(xiàn)：相較于連續(xù)丟失情況，當(dāng)使用傳統(tǒng)插值方法對(duì)隨機(jī)丟失信號(hào)進(jìn)行殘缺數(shù)據(jù)修復(fù)重構(gòu)時(shí)，重構(gòu)結(jié)果中并未有出現(xiàn)了連續(xù)丟失情況中的那段低頻成分。分析原因可能是：由于隨機(jī)丟失率較低的時(shí)候，當(dāng)前丟失點(diǎn)附近很小概率會(huì)出其他丟失點(diǎn)，因此插值方法重構(gòu)該點(diǎn)時(shí)所依據(jù)的信息還是準(zhǔn)確的，而且由于每個(gè)丟失點(diǎn)所依據(jù)的鄰域數(shù)據(jù)點(diǎn)都不同，所以不會(huì)出現(xiàn)連續(xù)丟失情況中的大段相同數(shù)據(jù)點(diǎn)，即不會(huì)出現(xiàn)異常的低頻成分。然而隨著隨機(jī)丟失率的進(jìn)一步提升，依然會(huì)出現(xiàn)局部小區(qū)域連續(xù)丟失的情況，所以這種異常的低頻成分會(huì)隨著隨機(jī)丟失率的提升而出現(xiàn)且越來(lái)越明顯。

此外，由于隨機(jī)丟失數(shù)據(jù)點(diǎn)位置的采樣值突變成零，這導(dǎo)致頻譜中出現(xiàn)一個(gè)高頻分量，這樣一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的丟失就會(huì)出現(xiàn)1～2次的高頻分量情況，另一方面由于各丟失點(diǎn)之間的差異，因此導(dǎo)致丟失信號(hào)頻譜中出現(xiàn)較多的毛刺頻率分量。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)本文方法重構(gòu)修復(fù)之后這種毛刺頻率分量也明顯較少，使得重構(gòu)頻譜與原信號(hào)頻譜更為接近。

同樣由于以上原因，在處理LFM，NLFM和PSK信號(hào)時(shí)，本文方法相較于傳統(tǒng)插值算法明顯更好的保留了原始信號(hào)的調(diào)頻特性。本文方法重構(gòu)結(jié)果相較于原信號(hào)只是多了一些頻率波動(dòng)，但波動(dòng)幅值不大，如圖5(f)所示。而傳統(tǒng)插值算法在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)完全丟失了原信號(hào)的調(diào)頻特性，如圖5(e)所示。

分析圖5(a)可以發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)丟失情況下的信號(hào)重構(gòu)效果要明顯優(yōu)于連續(xù)丟失情況下的信號(hào)重構(gòu)效果，數(shù)據(jù)隨機(jī)丟失率不高于60%時(shí)，本文方法的重構(gòu)信號(hào)與原始真實(shí)信號(hào)相比平均相對(duì)誤差接近于0，在丟失率超過(guò)65%后誤差明顯增大，有可能無(wú)法有效重構(gòu)出原始采集信號(hào)。即本文方法在隨機(jī)數(shù)據(jù)丟失率不超過(guò)60%時(shí)，可以較為完好的重構(gòu)原始信號(hào)。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文將VMD算法與CS原理引入弱觀測(cè)條件下雷達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)修復(fù)問(wèn)題中，提出了一種基于VMD-CS的雷達(dá)信號(hào)數(shù)據(jù)重構(gòu)方法。該方法首先利用VMD算法對(duì)采集信號(hào)進(jìn)行降解降噪處理，然后根據(jù)VMD算法處理結(jié)果構(gòu)造CS框架下的觀測(cè)矩陣，接著針對(duì)雷達(dá)信號(hào)的特點(diǎn)，建立稀疏表示字典矩陣，在此基礎(chǔ)上利用OMP算法重構(gòu)采集信號(hào)。對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，無(wú)論是在連續(xù)丟失還是隨機(jī)丟失情況下，本方法相較于現(xiàn)有技術(shù)可以更好地重構(gòu)原始信號(hào)，其在時(shí)域、頻域以及瞬時(shí)頻率等方面與原始信號(hào)相當(dāng)接近。