一種低秩張量約束的下視稀疏線陣SAR三維成像算法

張思乾 于美婷 匡綱要

①(國防科技大學電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室 長沙 410073)

②(國防科技大學電子導航與時空技術工程研究中心 長沙 410073)

1 引言

近年來，合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar， SAR)逐步向超寬帶、多極化、多通道等方向發展，但是傳統2維SAR只能獲得目標在距離-多普勒平面上的投影圖像，無法獲得目標的高維度信息。因此，兼具高分辨率成像和3維成像能力的下視稀疏線陣3維SAR[1]成為SAR的研究熱點之一。下視稀疏線陣3維SAR采用下視工作模式可以有效地避免側視成像帶來的陰影、疊掩等幾何畸變問題；并利用稀疏線陣天線減少數據量和系統復雜度，同時更符合實際應用中機翼和機身結構限制(如存在發動機等)的要求；實現了對復雜場景(城市、山區等)及特殊目標(建筑物、艦船、車輛等)的高精度3維成像，在3維地形測繪、目標定位與識別等國民經濟與軍事領域具有極大的研究價值和應用前景。

根據成像機制的特點，下視稀疏線陣3維SAR通過距離向發射寬帶信號、方位向合成孔徑、切航向稀疏線陣空間采樣，獲得具有高分辨率的目標3維圖像，豐富了目標的細節信息。隨著數據的多樣化和對成像分辨率需求的不斷提高，越來越多的研究者投入到下視線陣3維SAR的研究中，其可以歸類為3類成像算法[2—4]：基于分維處理的3維成像、基于時域處理的3維成像、基于頻域處理的3維成像。文獻[5，6]中還將譜估計等超分辨數據處理方法引入下視線陣3維SAR成像中。但是，稀疏空間采樣導致采樣率不再滿足奈奎斯特采樣定理，必然會給上述3維成像算法帶來不可預期的高旁瓣影響，甚至會導致無法聚焦成像。近年來，學者充分利用信號的稀疏性和低秩性[7]，將壓縮感知[8]和矩陣補全(Matrix Completion， MC)[9]理論廣泛應用于下視稀疏線陣3維SAR成像中，高概率地重構出原始信號。然而現有的3維成像算法都是針對1維向量或2維矩陣數據處理的，因此在成像處理之前需要將高維數據向量化或矩陣化來降低3維回波數據的維度。向量化或矩陣化后，會破壞原始3維信號的內在結構，掩蓋了高維數據原本存在的冗余信息和高階依賴性，并且其生成的統計參數(如協方差矩陣)的維度極大，會導致高的計算復雜度和存儲代價，在實際應用中具有一定的局限性。

與向量和矩陣相比，張量[10]作為一類多線性映射，可以更精確和有效地表示高維數據，具有不隨參考系變換的性質，能夠最大化地保留高維數據的原始結構和判別信息，同時降低需要估計的參數維度，減少模型與計算的復雜度。因此本文引入張量數據結構，提出了一種基于低秩張量約束的下視稀疏線陣3維SAR成像算法。首先，在張量空間構建了回波信號、目標散射強度、目標位置信息之間的關系模型。針對該模型，利用張量補全對稀疏回波張量中丟失數據準確重構，提高算法成像性能和計算效率。最后，基于X波段下視線陣SAR系統進行了點目標仿真實驗，在不同信噪比和采樣率下對比分析成像性能，并基于實測數據驗證了本文算法的有效性。

2 3維SAR成像模型

2.1 成像幾何建模

下視稀疏線陣3維SAR成像依靠發射寬帶信號實現距離向的分辨力，遠場條件下可近似為高度向；沿航跡方向進行孔徑合成，提供方位向的分辨力；沿機翼方向通過放置線性陣列天線，形成切航向的分辨力。典型的下視稀疏線陣3維SAR成像幾何模型如圖1所示，其中O-XYZ表示歐氏空間下的直角坐標系，場景中心為坐標原點O。

圖1 下視稀疏線陣3維SAR成像幾何模型

為了提高算法的范化能力，通過上式的1階近似足夠描述場景中點目標的數據信息，但不適用于具有分布式特性的面目標。

2.2 歐氏空間的信號描述

步進頻率(Stepped Frequency， SF)雷達具有寬頻帶、高分辨率的優點，已廣泛應用于人造目標的定位、跟蹤等[13]。假設下視稀疏線陣3維SAR雷達發射SF信號，則雷達能接收到的目標上任意強散射點 B的回波信號為

其中，σ 為散射點 B的后向散射系數，f =f0+kΔf為入射電磁波頻率，且 K個采樣信號對應信號序列中的 K個脈沖，Δt=2R/c為電磁波的雙程時延，c為光速。將式(2)代入式(3)，信號在方位向-切航向2維平面為隨機非均勻離散采樣，因此回波信號可以表示為離散形式

2.3 張量空間的信號描述

本文將下視稀疏線陣3維SAR的回波信號整體上視為一個3階張量(如圖2所示)，利用多重線性映射構建稀疏信號成像模型。在張量空間中，將3維成像場景以等間隔劃分成P ×Q×L的網格，式(5)中的回波信號可以改寫為

圖2 3階回波張量信號模型

3 算法描述

3.1 低秩張量約束

3.1.1 相關運算

為了分析回波信號張量的低秩性，首先給出張量的秩的一些相關定義[10]：

3.1.2 信號低秩性分析

由式(9)可知，信號張量 S 可表示為 B個3階秩1張量加權和的形式。根據定義2可知，張量 S的秩不大于 B。由于3維成像場景中存在許多非目標區域，這保證了信號在方位向-切航向2維成像平面的稀疏性，即在同一距離分辨單元內，僅有極少量的強散射點(金屬結構、二面角、三面角及多面角等)和離散散射點(粗糙表面，如路面、建筑物屋頂和墻面等構成的漫散射)分布于不同的方位向和切航向。因此，3維成像場景中強散射點的分布一定是稀疏的，即強散射點數目遠小于圖像網格點數目，那么B ?PQL，則有rank(S)≤B ?PQL。因此，只要場景中目標是稀疏的，那么回波張量 S一定是低秩的。

3.2 張量補全稀疏數據

張量補全[14]是根據數據的低秩性質來恢復出所有元素，在數學上可以描述為秩最小化求解問題，廣泛應用于解決計算機視覺問題。對于下視稀疏線陣3維SAR，如果其3階回波張量 S是低秩的，且其特征向量是充分“擴散”的，那么可以通過求解張量秩的最小化來恢復張量中丟失元素

與矩陣相比，這類通過秩函數凸松弛至核范數最小化的凸優化方法，對較大規模的高階張量數據而言，其中的奇異值分解計算使得核范數計算復雜度極高。文獻[14]中該優化求解問題通過求解交替方向乘子算法(Alternating Direction Method of Multipliers， ADMM)完成，得到補全后的3-?；夭ㄐ盘枏埩?X。

針對補全后的信號張量，基于傅里葉變換的經典3維成像算法，可以獲得高分辨率的成像性能。此外，基于譜估計的成像算法[6，15]也可以應用在下視稀疏線陣3維SAR上，實現超分辨、低旁瓣的成像性能。圖3給出了下視稀疏線陣3維SAR成像算法原理框圖，具體實現流程如表1所示。

圖3 基于低秩張量補全的下視稀疏線陣3維SAR成像算法原理框圖

表1 基于低秩張量補全的下視稀疏線陣3維SAR成像算法流程

4 實驗結果

4.1 點目標成像

為了驗證本文所提成像算法有效性，模擬了X波段下視稀疏線陣3維SAR點目標回波，仿真采用系統參數如表2所示。在實驗中，先采集全采樣3維回波數據，作為基準對比數據；然后針對每一個方位向-切航向2維數據，通過隨機選擇數據不采樣，降采樣得到的3維稀疏回波數據，用于性能驗證。

成像仿真場景包括5個點目標，圖4給出了采樣率為80%、信噪比為10 dB的4種算法成像結果(3維顯示限幅—15 dB)。圖4(a)中稀疏數據導致傳統3維RD算法成像結果惡化，旁瓣增加，嚴重時甚至會出現虛假目標。而圖4(b)中本文所提成像算法，未采樣的數據經過張量補全準確恢復，很好地抑制了旁瓣影響，從而提高了3維成像性能。本文認為回波張量的每一維度的低秩性對張量補全的貢獻是相等的，因此加權系數設為α1=α2=α3=1/3，初始化正則化參數設為ρ=1.1。

表2 仿真系統參數

圖4(c)中基于MC的3維成像結果旁瓣明顯減少，但是本文所提3維成像算法的旁瓣抑制效果更優，這是因為張量補全更好地保留了高維數據的內部結構，對稀疏回波的恢復更準確。此外，張量補全避免了矩陣化和向量化處理，更好地提高了成像算法的計算效率。相比于基于MC的3維成像算法，本文所提成像算法的計算時間從253.24 s降低為178.34 s。從圖4(d)來看，基于克羅內克壓縮感知(Kronecker Compressed Sensing， KCS)[17]成像算法引入過完備字典提高重構圖像分辨能力，實現超分辨成像性能。但是，KCS算法中的高維數據矢量化處理對數據存儲量和計算量帶來了極大的挑戰。本實驗中3維數據維度為120×200×120，成像場景空間采樣網格為241×401×241，對應的字典尺寸為2880000×23290481。相比于本文所提3維成像算法運行時間為178.34 s， KCS成像算法運行時間需要約1292.36 s。

圖4 下視稀疏線陣3維SAR成像結果(80%采樣率)

圖5給出了兩種采樣率的點目標(0 m， 0 m， 5 m)的3維成像結果，分別沿方位向、切航向、高度向的1維截面圖，信噪比為10 dB。針對80%采樣率的稀疏回波，3維RD成像結果峰值旁瓣比很高?；贛C的成像算法對旁瓣有一定的抑制作用，但本文所提成像算法有更優的旁瓣抑制效果，聚焦成像性能更好。此外，分析和比較方位向、切航向、高度向的峰值旁瓣比和積分旁瓣比(見表3)，本文所提成像算法對高維稀疏數據的聚焦性能更好。當采樣率降低為60%時，本文所提成像算法對旁瓣的抑制性能依然明顯。但基于MC的成像算法在采樣率降低到60%時，成像性能變差，旁瓣惡化明顯。從表3也可以發現本文所提成像算法對高維稀疏數據的聚焦性能在兩種采樣率下均很穩定，而基于MC的3維成像算法成像性能劇烈惡化?；贙CS成像算法在80%和60%采樣率條件下均表現出超分辨的性能，但時效性較差。

4.2 不同成像條件下的性能比較

為進一步驗證成像算法性能，一方面，對全采樣回波數據進行隨機降采樣，基于10%～90%采樣率的稀疏回波張量；另一方面，在不同信噪比條件下，SNR=-10 ～10 dB。圖6給出了3維成像結果的性能。通過50次蒙特卡羅仿真的，利用標準均方誤差(Normalized Square Error， NSE)定量地評價張量補全后的成像質量，即NSE=‖ITC-I0‖F/‖I0‖F，其中， ITC， I0分別表示基于稀疏回波張量和基于全采樣回波張量的3維重構圖像。從圖6可以看出，隨著采樣率的增加，重構誤差逐漸減小。當信噪比增加，對重構誤差的影響也相應地減小。當SNR=10 dB時，盡管在采樣率非常低時，重構誤差NSE的值也可以保持很小。當SNR=—10 dB時，雖然重構誤差增加，但采樣率為50%時的重構誤差NSE也保持在0.4以下。

4.3 基于實測數據的有效性驗證

在實驗室環境下設計了下視稀疏線陣3維SAR原理性實驗系統獲得3維SAR的實測數據，如圖7所示。系統由矢量網絡分析儀(Vector Network Analyzer， VNA)、導軌架、收發天線對和控制系統構成，目標為以包裹鋁箔的5 cm邊長的方泡沫塊，位于懸掛于天花板頂的泡沫板上。天線對工作于T/R模式，VNA工作于X波段，發射并接收步進頻信號，具體系統參數見表4。導軌通過控制機發送移動指令，移動至下一個采樣點位置，其中橫向掃描完成后縱向移動至下一行，直至完成縱向所有點掃描，這樣就形成了非均勻采樣的網格數據。與實際下視稀疏線陣3維SAR相對應，橫向為切航向，縱向為方位向。

圖5 不同采樣率的3維SAR成像結果一維截面圖

表3 基于80%采樣率稀疏數據的點目標的3維成像性能

圖6 不同成像條件下的成像性能比較

圖7 原理性實驗系統儀器及場景

表4 下視線陣3維SAR系統參數

圖8 基于實測稀疏數據的3維成像結果比較

通過上述3維SAR系統，按60%采樣率進行稀疏采樣獲得稀疏回波數據，比較3維RD算法、基于MC的成像算法、基于KCS的成像算法與本文提出的成像算法的3維成像結果，如圖8所示。顯而易見，稀疏采樣引起了3維RD成像結果中高的旁瓣和柵瓣，降低了圖像質量，如圖8(a)。特別的是，由于切航向的采樣率比方位向更低，旁瓣和柵瓣的影響在切航向上顯得尤為突出。通過MC后的成像結果如圖8(b)，雖然對旁瓣有一定的抑制作用，但成像性能明顯不如基于KCS的成像算法和本文提出的成像算法。從圖8(c)和圖8(d)可以看出，雖然這兩種成像算法都可以獲得滿意的成像性能，但從算法效率來看，基于KCS的成像算法和本文提出的成像算法消耗的計算時間分別為2413.18 s， 126.41 s，這是因為KCS重構過程中高維數據的矢量化處理帶了巨大的存儲和計算負擔。

5 結束語

本文針對下視稀疏線陣3維SAR系統，對稀疏回波信號進行張量空間建模。結合回波張量低秩性，提出了一種基于低秩張量補全的下視稀疏線陣SAR 3維成像算法。本算法先利用稀疏回波信號的低秩性，重構丟失的信號數據，再3維聚焦成像，高效率地獲得高分辨率、低旁瓣圖像。針對3維場景中點目標進行了仿真和實測數據實驗，并在多種成像條件下，與不同成像算法的成像性能進行了比較和分析。實驗結果驗證了算法的有效性，表明針對高維稀疏信號在方位向、切航向、高度向都取得了良好的聚焦性能，可以更有效地抑制旁瓣影響、提高計算效率。本文的理論推導是通過1階泰勒展開近似來描述數據信息，因此僅適用于3維場景中的點目標展開研究。在下一步工作中，將針對具有分布式特性的面目標開展3維成像的深入研究。