數形結合 構建模型
——《歸一問題》教學思考與實踐

文|於方婷

《歸一問題》是浙教版三年級上冊的內容，是在學生學習了“每份數”“份數”“總數”三者之間關系的基礎上進行教學的。這一內容從直觀的天平圖著手，讓學生經歷從直觀圖示中抽象出數量關系的過程，在不同情境中概括出共同的模型，初步感知歸一問題的解決方法。

【教學過程】

一、借助天平直觀，初步感知歸一問題的基本結構

1.求包裹a有多重。

師：我們今天的學習從簡單的天平開始。

師：每個小正方體一樣重，包裹a有多重？

生：包裹a和三個小正方體一樣重。

師：你能補充一個條件，幫助我們求出包裹a具體有多重嗎？

生：如果知道一個小正方體有多重，就能求出包裹a具體有多重了。

師：那如果我補充的條件是這樣的——你也能解答嗎？（如下圖）

生：160÷2×3=240g。

師：你是怎么想的？

生：兩個小正方體是160g，所以一個小正方體是160÷2=80g，包裹a相當于三個小正方體的質量，再乘以3就可以了。

生：也可以從下面的天平圖開始想，包裹a和三個小正方體一樣重，要先知道一個小正方體有多重，再根據上面的天平圖可以求出一個小正方體的質量是160÷2=80g，乘以3求出三個小正方體的質量，就是包裹a的質量。

師：剛才這兩種想法都是要先算什么？

生：都是先求出一個小正方體有多重。

師：哪個算式是先求一個小正方體有多重的？

生：160÷2。

【設計意圖：在簡單的天平圖的引導下，通過“包裹a有多重？”“要求包裹a具體有多重，需要補充什么條件？”這兩個問題，讓學生明確要求包裹a具體有多重，需要知道一個小正方體表示多少，再乘以小正方體的個數就可以了。】

2.求包裹b有多重。

師：下面圖中的每個小正方體也是一樣重的，你知道包裹b有多重嗎？

生：400÷5×4=320g。

師：你是怎么想的？

生：400÷5先求出一個小正方體的質量，再乘以4，求出四個小正方體的質量。

師：他先算什么？

生：一個小正方體有多重。

師：哪個算式是先求一個小正方體有多重的？

生：400÷5。

師：為什么要乘以4？

生：因為包裹b是四個小正方體那么重。

3.比較解題思路。

師：觀察這兩題的解題思路，它們有什么相同的地方？

生：都是先求出一個小正方體的質量，（板書）再求這樣的幾個小正方體的質量。

【設計意圖：在直觀圖示的導引下，結合具體的解題經歷，學生充分體會到，解決這兩道題時，都是先解決“一個小正方體多重”的問題。通過對比歸納，突出“一個小正方體多重”這個“一份數”，初步感知歸一問題的基本結構。】

二、利用圖形直觀，構建歸一問題的模型

1.出示方格圖。

師：要求下面整個圖形表示多少，你能解決嗎？

生：這題沒有辦法做，沒有條件。

師：你覺得需要補充什么條件？

生：一個小正方形表示多少?

生：告訴我們涂色部分是多少也可以。

生：空白部分表示多少？

課件出示完整題目：涂色部分是150。求整個圖形表示多少？

2.學生獨立嘗試。

3.指名匯報。

【設計意圖：直接出示圖片，引導學生補充條件，從直接想知道“一個正方形表示多少”逐步拓展到“涂色部分表示多少”“空白部分表示多少”，表明學生認識到可以從已知“一”擴展到主動來“歸一”，雖然補充的條件不同，但都需要先求出每個正方形是多少，凸顯出“一”的重要性和必要性。】

4.比較三個例題的解題思路。

數學信息2個重160g5個重400g5個表示150問題包裹a（3個多重）包裹b（4個多重）整個圖形（18個表示多少）列式160÷2×3=240g400÷5×4=320g150÷5×18=540images/BZ_17_1525_349_1568_391.pngimages/BZ_17_1792_349_1835_391.pngimages/BZ_17_1545_480_1587_522.pngimages/BZ_17_1815_480_1857_522.pngimages/BZ_17_2064_352_2106_394.pngimages/BZ_17_2071_481_2112_523.png

師：仔細觀察我們解決的這三道題目。你有什么發現嗎？

生：都要先求出其中的一份是多少。

師：求出其中一份之后呢？

生：有這樣的幾份就乘以幾，再乘以所求的份數。

小結：通過除法，我們求出一份是多少，再乘以份數，就能求出總數。

5.構建歸一問題的模型Ⅰ。

師：那你能用一個算式來表示其中這種關系嗎？

生：□÷△×○。

師：誰能看明白？

生：□÷△就相當于例1中的“160÷2”，求的是一個小正方體的重量，○指的是三個。

生：□÷△指的是總數除以份數，求的是其中的一份，○指新要求的份數。

小結：像這樣先求其中一份是多少的，我們稱為歸一問題，可以用“□÷△×○”的運算結構來解決。

【設計意圖：表格歸納，溝通天平圖和幾何直觀圖之間的聯系，突出“歸一”的思想，構建解決正歸一問題的模型，并用圖形算式□÷△×○表征模型。】

6.構建歸一問題的模型Ⅱ。

師：回到格子圖，如果要表示210，要畫幾個格子？

生：210÷（150÷5）=7（個）。

師：你是怎么想的？

生1：150÷5先求出一個小正方形表示30，再用210除以30，求出需要畫7個格子。

師：第一步也是先求什么？

生2：先求一個小正方形表示多少。

生3：也可以說先求出其中一份是多少。

師：為什么現在要210除以這樣一份的量？

生4：因為要畫幾個格子，就是要求210里面有幾個30，所以要用210÷30。

師：那它是歸一問題嗎？

生5：我覺得它不是歸一問題，前面的歸一問題是先求出其中一份的量，再乘以份數，求總數，而這一題并不是。

生6：我覺得它是歸一問題。歸一的意思是要先求其中的一份，它也是先求出其中一份的量，所以它也是歸一問題，只是它和前面的不一樣，前面的是已知份數，求總數；現在是已知總數，求份數。

師：我同意生6的意見。這個題目也是先求出其中的一份是多少，所以它也是歸一問題。它可以用□÷△×○這樣的結構來表示嗎？

生：不能。

師：那可以怎樣修改？

生7：☆÷（□÷△）。

小結：歸一問題可以用□÷△×○或者☆÷（□÷△）兩種圖形算式來解決，它們都是先求出其中的一份，第Ⅰ種結構是已知份數求總數，第Ⅱ種結構是已知總數求份數。

【設計意圖：在學生初步建立正歸一的直觀模型基礎上，通過幾何直觀提出反歸一的問題，在正反歸一問題的比較中，進一步突出歸一的基本特征，并且構建反歸一問題的模型，用圖形算式☆÷（□÷△）來表示。】

三、結合生活情境，溝通圖形、具體數量之間的關系

1.尋找生活中的歸一問題。

師：我們已經解決了圖形中的歸一問題，其實在我們的生活中也有許多歸一問題。

要求：獨立列式計算。完成后思考：這是歸一問題嗎？請說說你的理由。

（1）下圖的杯子內已注入600毫升水，還要注入多少毫升水才能到達頂格？

（2）做蛋糕時放面粉和雞蛋是有講究的。一般來說，4個雞蛋搭配100克面粉口感最好，按照這樣的配方，500克面粉應搭配多少個雞蛋？

2.學生完成后，分小組交流。

師：同學們基本已經完成，現在請四人小組內部討論一下，每人選一題說一說你所列算式的意思，并且說一說它是歸一問題嗎？為什么？

3.集體交流第（1）題。

生：600÷5×3=360（毫升），600÷5先求出一小格是120毫升，再求出三格是360毫升。這里先求出其中一格是120毫升，所以這是歸一問題。

4.集體交流第（2）題。

方法一：500÷（100÷4）=20（個）。

方法二：500÷100×4=20（個）。

小結：方法一是用歸一的思路解決的，先求出其中的1個雞蛋需要搭配25克面粉；方法二是把100克看成一份，500里有幾個100就需要幾個4，也是好辦法。

【設計意圖：解決同一問題有不同的方法，可以用反歸一或倍比方法求解。在對比反歸一和倍比方法時，學生能深化“一份數”的認識，這是對歸一內涵的拓展。】

四、課堂小結

師：今天我們學習了什么？

生：我們今天學習了歸一問題，可以用□÷△×○或者☆÷（□÷△）兩種圖形算式來解決。

師：那你能自己編一編題目嗎？可以是用□÷△×○這樣的結構解決，也可以是用☆÷（□÷△）這樣的結構解決的。

生：我有320元，2個皮球需要160元，我可以買幾個這樣的皮球？

生：李師傅2小時能加工60個零件，8小時能加工多少個零件？

【設計意圖：放手讓學生自主編寫歸一問題，在對基本的數學模型進行各種情境變式的過程中，進一步把握基本結構，感受數學的特點和價值。】