注重“真體驗”，讓學習在關鍵環節的真實經歷中走向深刻
——以《三角形的面積》教學為例

文|管小冬

“真體驗”是指數學教學中，在發現問題、提出問題、解決問題、回顧反思等環節，教師注重引導學生像初始發現者（研究者）那樣，經歷、形成對問題解決原初而真實的體驗。在漢語辭典中，“體驗”一詞有過程與結果兩個維度的含義。即，體驗既是一種行為過程，“親身經歷，實地領會”；又是這一行為過程的結果，“親身實踐所獲得的經驗”。現代課程論特別注重課程內涵的動態意義——“課程即體驗”，認為“課程要提供一種充滿情感、富有思考、感受多重的真實體驗”。因為“真體驗”能幫助學生不斷積累數學學習與問題解決的“真經驗”，并在此過程中發展數學思考，實現數學核心素養的不斷提升，進而獲得“適應未來社會工作、生活與學習的能力”，成長為“社會主義的建設者與接班人”。

情境數學之所以注重學生在數學學習過程中的“真體驗”，是因為小學階段的數學課程內容都是人類文明發展歷程中，歷經幾百甚至是幾千年探索出的智慧結晶。為使學生能在較短的時間內高效地掌握這些數學成果，教材在編排時，往往會選擇性地省略數學知識形成所經歷的初始想法、試誤、反思、調整等思維過程，或是將數學知識以一種簡明的邏輯結構直接呈現給學生，或是引導學生經由一條“捷徑”直奔數學知識的最終形式。對此，北京師范大學郭華教授將之稱為教學中的“第一次倒轉”。同時，他又強調，教師的教學應在“承認‘第一次倒轉’的基礎上，充分考慮學生與知識的心理距離及學習感受，把第一次‘倒過來’的過程再‘倒回去’”，即讓學生在親歷知識發現與建構的過程中形成數學學習與解決問題的“真體驗”。

【案例】蘇教版五年級上冊《三角形的面積》

在《三角形的面積》一課教學中，教材直接給出下圖，要求學生“想辦法算出涂色三角形的面積”。

這樣的設計，一是借助方格圖引導學生進一步理解三角形面積的本質，即三角形的面積就是指其所包含的單位面積的多少；二是引導學生觀察、發現圖中三角形與平行四邊形之間的關系，探究三角形面積的計算方法；三是引導學生進一步感悟數學研究中分類與歸納的思想，即通過對銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形這三類三角形面積計算方法的研究，可以歸納出三角形面積計算的一般方法。

然而，細細審視就會發現，這樣的設計其實是從人類數學認識的“終點”出發，給出了一條學生直接學習“三角形面積計算方法”的“最佳路徑”。在這條“最佳路徑”上，學生走得平穩且幾無波瀾。因為他們基本無需經歷形成初始想法、試誤、反思、調整等曲折過程，就直接觸碰到了人類對“三角形面積計算”研究的最高成果。

但我們知道，學生的數學學習，歸根結底，是在掌握知識與技能的同時，獲得數學核心素養的發展，以利于未來生活中真實而復雜的情境下的問題解決。如此，在學生奔向人類數學研究最高成果的道路上，最不能缺少的，恰恰應該是對數學知識發生發展過程中“關鍵環節”的“真體驗”。因為，這些“真體驗”是真正致力于幫助學生感悟數學的思想方法、積累數學的活動經驗、培育數學的研究精神的。

基于以上思考，我對“三角形的面積”這部分內容的教學進行了重組與實踐，現摘取其中兩個片斷，供大家參考。

片斷一：立足已有經驗，尋找解決問題的突破口。

課始，教師借助課件創設情境：王叔叔家正在裝修，需要用到一些三角形的裝飾板。（如下圖）這種裝飾板的售價是120元/平方米。使用這些裝飾板一共需要多少元？

師：看到這個問題，大家有什么想法？

生：要求一共需要多少元，我們就要先知道這些三角形裝飾板的面積是多少。

師：對。今天這節課我們就來研究三角形的面積。

師：上面這些三角形中，你想先研究哪個？

生：我想先研究第一個三角形，因為它是個直角三角形。我們知道，直角三角形是長方形的一半。

（其他學生紛紛表示贊同）

師：那怎樣才能知道這個直角三角形的面積呢？需要用到哪些數據？請大家拿出作業紙，寫一寫、畫一畫，給出你的方案。

（學生獨立研究，教師巡視指導，重點提醒學生理清三角形與長方形之間的關系。隨后組織開展交流）

生：（展示自己的方案）大家看，這個直角三角形是它對應的長方形面積的一半。我們知道，長方形的面積=長×寬，而在這里，長方形的長和寬分別是這個直角三角形的兩條直角邊。所以，只要知道這個直角三角形的兩條直角邊的長度，就能算出長方形的面積，再除以2，得到的就是這個直角三角形的面積。

師：對于他的解決方案，大家是怎么想的？

（學生均表示同意）

師：如果是其他的直角三角形，這個方案也有用嗎？

生：有用。

師：我想問問，在這個方案中，為什么大家會想到直角三角形對應的長方形？

生：因為長方形的面積計算方法我們已經學過了。

生：三年級時我們就知道了長方形的對角線可以把它分成兩個一樣的三角形。

師：大家能運用自己的已有知識和經驗去思考，真棒！下面，我們就用這個方法，先量一量，再計算出這個直角三角形的面積。

上述片斷中，教師在創設情境引出問題后，追問學生“上面這些三角形中，你想先研究哪個？”意在引導學生聯系已有的知識與經驗作出選擇。而學生之所以會選擇先研究直角三角形，是因為在他們的認知與經驗系統中，對“直角三角形與對應長方形”圖式的影像要遠比“三角形與對應平行四邊形”圖式的更強烈，也更易被喚醒與提取。當然，學生的初始想法是感性的，甚至是模糊的。而落實于紙面的方案設計及隨后的交流，正是意在引導他們通過深入的觀察與對比，從感性經驗走向理性思考，從直觀認識走向理性分析。在這一過程的“真體驗”中，學生會認識到：當遇到一個新問題時，可以先思考有哪些已有的知識或經驗與這一問題的解決有聯系或相似，從中可能會找到解決問題的突破口。

片斷二：基于已有方案，持續推進問題解決。

師：剩下的兩個三角形，都不是直角三角形，它們的面積又該怎樣計算呢？剛才直角三角形面積的解決方案會對我們有幫助嗎？這樣，每人選擇其中一個圖形，在作業紙上試一試。

（學生先獨立嘗試，隨后在四人小組中交流自己的方案或遇到的困難）

師：我們先來交流第二個圖形——銳角三角形面積的解決方案。

生：一開始，我在想這個銳角三角形是不是也可以轉化成長方形。但好像不行，因為它的三個角都是銳角。后來我就突然想到，它對應的應該是平行四邊形，而平行四邊形的面積我們也是會算的。大家看（圖1），平行四邊形的面積=底×高，而在圖中，平行四邊形和三角形的底和高是一致的，所以，我們可以用三角形的底乘高，算出平行四邊形的面積，再除以2，就是這個銳角三角形的面積了。

圖1

生：我開始時也遇到了與他同樣的困難，但在四人小組交流時受到了啟發。大家看（圖2），銳角三角形雖然不能直接轉化成長方形，但可以沿一條高分成兩個直角三角形，這樣就可以用前面的方法算了。畫好圖后我又發現，不用分別算兩個直角三角形的面積，因為銳角三角形的面積就是這個長方形面積的一半。

圖2

師：仔細觀察這兩種方案，有聯系嗎？

生：從方案1到方案2，正好就是前面我們研究平行四邊形面積計算時把平行四邊形轉化成長方形的那兩幅圖。

生：都是先用三角形的底乘高，算出對應的平行四邊形或長方形的面積，再除以2，得到三角形的面積。

師：能把現在的研究與前面的學習及時聯系，真棒。小結一下，與直角三角形一樣，銳角三角形面積的計算方法也是底乘高除以2，不過這里的底乘高，既可以看作是它對應的長方形，也可以是它對應的平行四邊形。

教學中，如果不像教材例題圖那樣給出明確的提示，學生是鮮少會想到用兩個完全一樣的三角形去拼成平行四邊形的。這是因為，在此前有關圖形面積的研究中，學生并未涉及這樣的方法。上述片斷中，教師對學生研究的不加指導與“放任”，正是意在讓他們真實經歷由初始想法走向問題解決過程中可能遇到的試誤、反思、調整等關鍵環節。因為，對于真實的問題解決而言，研究不會一直一帆風順。比獲得最終方案或結論更重要的是，在遭遇困難時，學會堅持長時間思考，學會尋找可能的化解方法并積極嘗試，學會與同伴交流，尋求啟發與幫助。

“課程論之父”泰勒認為“教育的基本手段是提供學習經驗”。杜威曾說：“一盎司經驗勝過一噸理論。”立足于“真情境”基礎上的“真體驗”，正是意在突出：學生的學習，應立足基礎知識與基本技能，又要超越基礎知識與基本技能，注重在“關鍵環節”的“真體驗”中積累“真經驗”，形成“真情感”，進而感悟數學的思想與方法，體悟數學研究中的意志、品質與精神，實現對知識的深刻理解，對技能的深度掌握。