主動建構 理法相融 促進生長
——以《分數乘整數》教學為例談計算教學

文|張冬梅（特級教師）

教材在各個學段中，都安排有四個部分的課程內容，分別是“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”。我們通常所說的“計算教學”其實是指“數與代數”中“數的運算”。數與計算是人們生活、學習、科學研究和生產實踐中應用最廣泛的一種數學方法，也是人們認識客觀世界和周圍事物的重要工具之一。計算教學直接關系著學生對數學基礎知識與基本技能的掌握，關系著學生觀察、記憶、思維等能力的發展，也關系著學生的學習習慣、情感、意志等非智力因素的培養。因此，小學階段的計算教學就顯得非常重要。《數學課程標準（2011年版）》對學生的“運算能力”作了具體的說明：主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。

但是，一直以來，計算教學卻得不到師生的青睞，教師不喜歡執教計算教學，在公開課的教學中，也很少看到計算教學的蹤影；學生也不喜歡上有關計算教學的課，對他們來說，計算往往就是做不完的習題。教師不喜歡讓計算課“上臺”，是認為計算教學缺少數學思想、數學內涵不豐富、沒有太多的“花招”、不夠精彩。學生不喜歡計算，是認為計算枯燥、方法刻板、“思維含量”低、沒有挑戰。真的是這樣嗎？那我們不免困惑：看似非常簡單的知識，為什么學生學起來有時也很困難？認為“思維含量”不高的計算，學生看似已經掌握了計算方法，做起來為什么總出錯呢？看來，計算教學還是值得我們研究的。下面以楊敏老師的《經歷數學化過程促進算理理解》（簡稱設計一）和王永梅老師的《提出問題促探究溝通聯系明算理》（簡稱設計二）為案例，談談對小學計算教學的一些思考。

一、在自主探究中主動建構算法

傳統的計算著眼于算法的單一化和最優化，學生是在教師亦步亦趨牽引狀態下無條件地吸收教師講授的知識。而新課程倡導算法多樣化，于是在現今的課堂中每當探索計算方法時，教師不斷地鼓勵學生從不同的角度思考算法，尊重學生的個性差異，提倡思維方法的多樣化。往往一節課下來，方法是“多樣化”了，但學困生連基本的方法都沒掌握好。筆者想，這些，都不是知識建構的理想狀況，也不是計算教學所追求的狀態。

“設計一”中，楊敏老師設計了一個“想、寫、說”的活動。對于×3，有的學生通過算式的意義轉化為加法便知道了答案，有的學生憑感覺認為答案是，總之，課堂上往往會出現算式一出來，很多學生能直接報出答案的情形。這能表明學生已經擁有了分數乘整數的算法嗎？顯然，學生的認知還需提升。楊老師的做法是明智的，她首先肯定了學生的答案，然后請學生自己想辦法說明×3為什么等于。于是，課堂呈現了“算法多樣化”。

再看“設計二”，王老師設計了“嘗試計算，尋求算法”的教學活動，讓學生自己嘗試計算出×3的結果。同樣，學生思維活躍，經驗被不斷地激活，于是也收獲了“算法多樣化”。

這里“算法多樣化”的出現，不是學生個體刻意追求“不同”才有的場面，而是學生群體主動建構算法所表現出來的生動景象。但至此，學生對各自算法的理解是淺層次的，“主動建構算法”的數學活動還沒有完成。兩位教師都沒有在此時立即進行算法的優化，而是在后續的數學活動中，讓學生自主感悟，選擇合適的算法，并以“追問”的方式引導學生思考，這樣的優化過程是自主的、自由的，更是學生自己的。課堂上，我們也看到學生的感悟進程是不同的，有的學生在時就已獲得一般的算法，有的學生卻認為轉化成加法計算也不難，直到時，才終于體會到用分子與整數相乘的方法更優，如果能約分的話，先約分更是簡便。

數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。讓學生“主動建構”算法，其真正意義是指向學生思維生長以及全面發展的。筆者以為，上述案例中“建構算法”的環節，兩位教師都作了很好的示范，都給了學生足夠的空間，讓學生擁有表達、思考的自由，讓學生自主經歷這樣的探索過程。一方面，讓學生真實感受到算法的可行性與多樣化，注重培養學生合理的計算策略和靈動的計算思維；另一方面，又能充分利用資源性算法，引導學生經歷抽象概括出一般算法的過程。這樣的過程，往往不順暢，還常常“曲折”，但正因為這樣，最終收獲的不僅僅是“算法”本身，更是學生理性思維的發展與科學精神的培育，從而促進學生的全面發展。

二、在合作學習中深刻明晰算理

有經驗的教師常常感嘆：學生在學完運算律以后，計算2.4÷（0.4+0.6）時，經常出現這樣的錯誤：2.4÷（0.4+0.6）=2.4÷0.4+2.4÷0.6=6+4=10。誠然，從學的角度分析，學生知道了運用整數運算定律可以使計算簡便，受乘法分配律負遷移作用，以為2.4÷（0.4+0.6）與2.4×（0.4+0.6）一樣，可以運用分配律進行簡算。但我們反思教學的過程，教師教學活動的組織是否也值得反思呢？教師是否引導學生從不同的角度進行比較辨析，幫助學生真正理解乘法分配律的內涵意義了呢？顯然，這里錯誤的出現，多多少少存在著“理”“法”脫節的因素，如果學生真正理解了乘法分配律的“理”，這樣的錯誤就完全可以避免。那怎么才能做到“理法相融”呢？筆者以為，合作學習不失為一種有效途徑。

所謂“學習”，是同客體（教材）、同他人（伙伴與教師），也是同自己的相遇與對話。我們通過同他人的合作，同多樣的思想的碰撞，實現同客體的新的相遇與對話，從而產生并雕琢自己的思想。從這個意義上說，學習原本就是合作性的，原本就是基于同他人合作的“沖刺與挑戰的學習”。學習是從已知世界出發，探索未知世界之旅；是超越已有經驗與能力，形成新的經驗與能力的一種挑戰。計算教學同樣強調合作學習，通過合作學習更能幫助學生深刻明晰算理。在幫助學生明晰算理的過程中，“設計一”安排了兩次合作學習，一次是學生獨立探索算法后，要求在四人小組交流并理解；另一次是全班的交流分享。“設計二”安排了一次大合作，即在學生獨立探索算法后，組織集體交流、智慧碰撞。無論是安排幾次合作學習，無論是以什么形式進行，顯然，在探索算法活動中，這樣的合作學習是非常有必要的。

“設計一”首先引導學生關注“這幾種方法都是正確的嗎？誰來評價評價他們的方法？”這樣的合作學習，不僅能引導學生去關注其他算法，理解多樣化的計算策略與路徑，從道理上承認不同方法的可行性，也能在相互質疑、多向比較中發現不同算法所包含的相同的道理，以及各種算法在不同情況下體現出來的“優”與“劣”。

“設計二”的“對比交流，融理于法”環節，教師追問：這些方法之間有聯系嗎？學生的回答非常精彩。顯然，學生在這樣的合作與交流中，抓住了知識的“本真”，理解了的算理：用3×3算出有9個，所以結果是。

必須強調的是，筆者在這里強調合作學習，一是期待課堂上能呈現“強強聯手”“弱弱相幫”“強弱互促”的一種互惠狀態，二是確實認為“算理”應該在合作交流中“辯”明白。“設計二”中的一位學生說，在伙伴“畫圖”的方法中也找到了“3×3”，而且還能在圖中直觀看到“3×3”算得的是9個，所以結果是。正是這樣的合作學習，才能不露痕跡地通過“數形結合”的策略，讓算理直觀呈現，從而幫助學生成功實現算法的抽象。

當然，還必須強調“合作學習”中學習的主體終究是個人。在小組活動中絕不強求一體化，恰恰相反，它追求的是學生的思考與見解的多樣性。學習，并不是從同一性中產生的。學習之所以形成，恰恰是在差異之中。如“設計一”中，楊老師雖然先安排了小組內的“說一說”，但并不要求組內方法的一致與統一。相反的，引導學生尊重不同的思考，理解伙伴不同的計算策略，才可能實現接下來多角度的比較與分析，為算理的明晰創造有效路徑，也讓理法相融成為現實。

三、在溝通聯系中完善認知結構

學生數學思維發展的實質就是在更高層次上對原有的認知結構進行重構，從而使原有的認知結構成為更大認知結構的一部分。從這個角度分析，學生數學認識的發展具有無限的可能性。正如皮亞杰所說：“學生的數學學習可以依據結構的建構來思考，而且這種建構是開放的……當學生的認知結構由一個水平發展到另一個水平，其功能在不斷發生變化。”這個過程不斷重復，學生的認知結構不斷重建，不斷形成更高層次的認知結構。

依據建構主義學習理論的觀點，學生認知結構的重組或擴展是一次學生主動建構的數學活動過程。那么，筆者以為，在這一堂課上，“溝通聯系”可以是認知結構更新的一個策略。“設計二”中，王老師在學生理解算理、抽象出一般算法后，啟發學生思考：“你認為分數乘整數與整數乘法、小數乘法計算道理一樣嗎？”從而促進學生將所學的知識與原有認知結構迅速產生聯系，并積極比較、溝通。這個“溝通聯系”的過程必定“磕磕碰碰”，課堂上學生的表現也正是如此。可以看到，學生今天所學的“分數乘整數”與原有的認知結構產生矛盾沖突，也正是這樣的矛盾沖突激發了學生強烈的求知欲，促使學生進行認知結構的同化和順應。果然，通過這樣的“碰撞”，有學生提出：雖然整數乘法算有幾個1，小數乘法算有幾個0.1，分數乘法是算有幾個，但這正是它們計算道理一樣的地方，都是在計算有多少個計數單位。王老師又適時地引導學生舉例說明其中的道理：

這時，教室里一片“哦——”的聲音，體現了學生恍然大悟后的興奮、激動與快樂，認知結構也在這一聲“哦”之間成功得以完善。

基于學生原有的認知結構，以新的學習載體激發學生的認知沖突，引導學生溝通聯系，實現認知結構的重構，形成更高層次的認知結構，幫助學生實現其認知結構由潛在水平向其實際水平的轉化，即維果茨基提出的“最近發展區”的概念。這些，在計算教學中同樣值得強調與關注，從而真正助力學生成長。

當然，計算也是一種技能的培養，“基本技能的形成，需要一定量的訓練，但要適度，不能依賴機械的重復操作，要注重訓練的實效性。教師應把握技能形成的階段性，根據內容要求和學生的實際，分層次地落實。”科學適當的練習是很有必要的，小學計算教學要重視練習設計的有效性，強調練習的多樣化與層次性。關于這一點，兩位教師都做得不錯。但對于兩份教學設計，筆者小有疑惑的是：學生在算法探索的過程中，或者在后續的相關練習中，沒有出現錯誤的現象嗎？筆者以為，沒有固然很好，但如果有錯誤也不是壞事，更要拿出來辨析，比如通過“估算”來獲得相關判斷，不也是發展學生計算素養的很好途徑嗎？要知道，估算能力是運算能力中不可缺失的一部分，估算教學應該滲透于教學的每個角落，尤其是計算教學中。

綜上所述，小學計算教學的內容同樣內涵深刻，包含著豐富的數學思想，學生在計算技能形成的同時，發展思維，成就智慧。總之，小學計算教學不僅要著眼于“會算”，更要著眼于“發展”。