在圓錐體積練習(xí)中發(fā)展空間觀念

文|徐雪霞

《圓錐的體積》是六年級(jí)下冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。學(xué)習(xí)了圓錐體積的計(jì)算方法后，如何借助平面圖形到立體圖形的關(guān)聯(lián)幫助學(xué)生鞏固計(jì)算方法，進(jìn)而發(fā)展空間觀念、提升思維水平？

一、想象圖形，計(jì)算體積

1.想象：圖1中三角形ABC三條邊的長(zhǎng)度分別是3cm、4cm和5cm，把三角形分別繞著它的兩條直角邊AB、BC旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到什么圖形？

圖1

通過(guò)交流，發(fā)現(xiàn)繞著三角形直角邊旋轉(zhuǎn)一周可以得到圓錐。

2.猜測(cè)：這兩個(gè)圖形的體積相等嗎？

3.獨(dú)立探究：將探究成果記錄在《研究單1》中。

4.全班交流。

（1）呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后得到的圓錐（圖2和圖3），分別計(jì)算出每個(gè)圖形的體積。

圖2

圖3

得到的兩個(gè)圓錐底面半徑分別是4cm和3cm，高分別是3cm和4cm。分別求出體積為：V1=π×42×3=16π，V2=π×32×4=12π。

（2）思考：通過(guò)計(jì)算，得到了什么結(jié)論？計(jì)算體積的過(guò)程中要注意什么？

引導(dǎo)學(xué)生概括：兩條直角邊不一樣長(zhǎng)，繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周后得到的圓錐體積不一樣大；在計(jì)算的過(guò)程中，要分清楚圓錐底面的半徑和高分別對(duì)應(yīng)了哪條直角邊。

二、基于公式，明辨大小

1.思考：如圖4，分別繞著直角三角形DEF的直角邊EF和DE旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)圓錐，哪個(gè)圓錐的體積更大一些？為什么？

圖4

引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)層次進(jìn)行交流：

第一，假設(shè)EF長(zhǎng)為a，DE長(zhǎng)為b，那么，繞EF旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐體積為：π×b2×a，繞DE旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐體積為：π×a2×b。

對(duì)比計(jì)算過(guò)程，發(fā)現(xiàn)盡管交換了底面半徑和高的數(shù)據(jù)，但因?yàn)榈酌姘霃降臄?shù)據(jù)要平方，因此體積不一樣。

三、深入想象，拓展提升

1.想象：圖1所示三角形如果繞著斜邊AC旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到什么圖形？如何計(jì)算它的體積？

2.探究：同桌合作，將研究成果記錄在《研究單2》中。

3.交流。

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：繞AC邊旋轉(zhuǎn)一周后得到的是兩個(gè)圓錐的組合圖形（如圖5）。

兩個(gè)圓錐底面相同，底面半徑就是直角三角形ABC底邊AC上的高；兩個(gè)圓錐高之和就是AC的長(zhǎng)度。所以可以這樣來(lái)計(jì)算：底面半徑r=3×4÷5=2.4（cm），底面積S=2.42π=5.76π（cm2），V=×5.76π×5=9.6π（cm2）。

通過(guò)以上的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷從平面到立體的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程，通過(guò)想象生成素材，進(jìn)一步理解圓錐底面半徑和高的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中發(fā)展空間觀念，提升思維水平。