利用教學(xué)資源 構(gòu)建生命課堂
——《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)設(shè)計(jì)

文|劉 馳（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級(jí)下冊(cè)第96、97頁(yè)。

【教學(xué)過程】

一、找準(zhǔn)知識(shí)原點(diǎn)，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

師：（出示三角形、四邊形、五邊形、六邊形等）這些圖形大家認(rèn)識(shí)嗎？什么樣的圖形是多邊形？

生：三條或者三條以上線段首尾相接圍成的圖形叫做多邊形。

師：請(qǐng)大家指一指這些多邊形的角在哪？

師：剛才大家所指的角都是多邊形的內(nèi)角。今天我們一起來研究多邊形的內(nèi)角和。（出示課題）

師：（出示三角形）通過之前的學(xué)習(xí)我們知道三角形的內(nèi)角和是？一起回顧三角形內(nèi)角和的研究過程，并請(qǐng)用一個(gè)字來概括研究的方法。（量、拼、折）

【設(shè)計(jì)意圖：美國(guó)認(rèn)知教育心理學(xué)家奧蘇貝爾曾說過：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會(huì)說，影響學(xué)習(xí)最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)。”三角形的內(nèi)角和是研究多邊形的內(nèi)角和的知識(shí)基礎(chǔ)，我們?cè)谘芯恐酰鸵獪?zhǔn)確地抓住這個(gè)知識(shí)的原點(diǎn)，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。另外，還要對(duì)“多邊形的內(nèi)角和”這個(gè)課題進(jìn)行解析，要幫助學(xué)生理解：什么是多邊形？什么是多邊形的內(nèi)角？幫助學(xué)生掃清自主研究的知識(shí)障礙。】

二、從簡(jiǎn)單開始，引導(dǎo)學(xué)生有序探究規(guī)律

師：接下來應(yīng)該研究幾邊形的內(nèi)角和？為什么？

生：四邊形，因?yàn)樵诙噙呅沃校巳切危倪呅蔚倪厰?shù)和角的個(gè)數(shù)最少。

師：是的，我們的數(shù)學(xué)研究一般從簡(jiǎn)單開始。

師：說到四邊形，大家首先想到的是？

生：長(zhǎng)方形和正方形。

師：長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和是多少？為什么？

生：90°×4＝360°，因?yàn)殚L(zhǎng)方形和正方形的四個(gè)內(nèi)角都是直角。

師：長(zhǎng)方形和正方形是特殊的四邊形，根據(jù)長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和是360°，大家想提什么問題？

生：是不是所有四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？

師：要驗(yàn)證我們的猜想是否正確，應(yīng)該怎么辦？

生：任意畫出一個(gè)四邊形，看看它的內(nèi)角和是不是360°。

師：現(xiàn)在就請(qǐng)大家任意畫出一個(gè)四邊形，仔細(xì)觀察，想一想，用什么方法來研究這個(gè)四邊形的內(nèi)角和？然后動(dòng)手試一試。

【設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)不是告訴，而是帶領(lǐng)學(xué)生去感悟。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，不僅要讓學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，還要學(xué)習(xí)研究方法、感悟數(shù)學(xué)思想。四邊形內(nèi)角和的研究首先從特殊的四邊形——長(zhǎng)方形和正方形開始，讓學(xué)生提出猜想，然后通過觀察、思考、分析、評(píng)價(jià)，找出研究的方法，經(jīng)歷從特殊到一般的研究過程。】

師：誰來匯報(bào)你的研究方法和結(jié)果？

生：我用量角器量出我畫的四邊形四個(gè)角分別是90°、80°、150°、40°，這個(gè)四邊形的內(nèi)角和是360°。

生：我畫的四邊形四個(gè)內(nèi)角分別為45°、75°、105°、135°，這個(gè)四邊形的內(nèi)角和也是360°。

生：我畫的四邊形的內(nèi)角和是359.8°。

師：大家知道這是為什么嗎？

生：因?yàn)槲覀儨y(cè)量時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差。

師：是的，在實(shí)際測(cè)量時(shí)比360°多一些或者少一些都可以看作是360°。剛才我們研究的方法用一個(gè)字概括就是？（板書：量）

【設(shè)計(jì)意圖：用量角器測(cè)量是大部分學(xué)生都能想到的研究四邊形內(nèi)角和的方法，教學(xué)時(shí)要幫助學(xué)生了解測(cè)量可能產(chǎn)生誤差，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)目光應(yīng)該看的遠(yuǎn)一些，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。】

師：還可以怎樣研究四邊形的內(nèi)角和？

生：（展示）把四個(gè)角撕下來，拼成一個(gè)周角，周角是360°，所以四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：這種方法用一個(gè)字概括就是？（板書：拼）還能用什么方法來研究呢？哪位同學(xué)到前面來展示一下？

生：用一條線段把四邊形分成兩個(gè)三角形，一個(gè)三角形內(nèi)角和是180°，兩個(gè)就是180°×2，所以四邊形內(nèi)角和是360°。（圖1）

圖1

師：這是一條什么樣的線段？

生：連接兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)的線段。

生：還可以在四邊形內(nèi)任意點(diǎn)上一點(diǎn)，然后連接這個(gè)點(diǎn)和四個(gè)頂點(diǎn)，把四邊形分成四個(gè)三角形，一個(gè)三角形內(nèi)角和是180°，四個(gè)三角形的內(nèi)角和就是180°×4＝720°，因?yàn)檫@樣分中間多出了四個(gè)角，這四個(gè)角正好組成一個(gè)周角，周角是360°，所以四邊形的內(nèi)角和是360°。（圖2）

圖2

師：這兩位同學(xué)的分法有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：相同點(diǎn)是都把求四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成了求三角形的內(nèi)角和，把新的問題轉(zhuǎn)化成了我們能夠解決的問題，（板書：轉(zhuǎn)化）然后推算出四邊形的內(nèi)角和是360°；不同點(diǎn)是前一個(gè)同學(xué)把四邊形分成了兩個(gè)三角形，后一個(gè)同學(xué)把四邊形分成了四個(gè)三角形。

師：這兩種分法你更喜歡哪種？

生：第一種，因?yàn)檫@樣分比較簡(jiǎn)單。

師：數(shù)學(xué)是一門崇尚簡(jiǎn)單的學(xué)科，我們一般選擇簡(jiǎn)單的方法來解決問題。剛才這兩位同學(xué)所用的方法如果用一個(gè)字概括就是？（板書：分）老師剛才收集了幾位同學(xué)的作品（展示學(xué)生作品），請(qǐng)大家靜靜地看，靜靜地思考，看了這么多的四邊形，你想說什么？

生：四邊形都可以分成兩個(gè)三角形。它們的形狀和大小雖然不同，但是內(nèi)角和都是360°。

師：請(qǐng)大家把四邊形內(nèi)角和的相關(guān)研究數(shù)據(jù)填到表格中。剛才我們研究四邊形內(nèi)角和用了三種方法：量、拼、分，你喜歡哪種方法？

生：分，因?yàn)檫@種方法比較簡(jiǎn)單，用量和拼的方法比較麻煩。

【設(shè)計(jì)意圖：用“分”的方法來研究四邊形的內(nèi)角和，經(jīng)過了兩次比較的過程，第一次是把四邊形分成兩個(gè)和四個(gè)三角形的比較，第二次是研究四邊形內(nèi)角和的三種方法的比較。這兩次比較存在螺旋上升的關(guān)系，第一次是方法內(nèi)部的比較，學(xué)生選擇把四邊形分成兩個(gè)三角形，因?yàn)檫@樣轉(zhuǎn)化更簡(jiǎn)單；第二次是方法與方法的比較。通過兩次比較幫助學(xué)生找到研究多邊形內(nèi)角和合適的方法，這兩次比較的過程其實(shí)就是兩次對(duì)研究方法基于自我評(píng)價(jià)作出選擇的過程。在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手操作和合作學(xué)習(xí)的能力，滲透轉(zhuǎn)化、分類等數(shù)學(xué)思想。】

師：那接下來研究幾邊形的內(nèi)角和？（五邊形）請(qǐng)大家在作業(yè)紙上分一分、算一算，然后同桌交流。

生：把五邊形分成三個(gè)三角形，它的內(nèi)角和就是三個(gè)180°，也就是540°。（圖3）

圖3

師：你是怎樣把五邊形分成三個(gè)三角形的？

生：（展示）從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，畫出了兩條線段，就把五邊形分成了三個(gè)三角形。

師：為什么從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)只能畫出兩條線段呢？

生：與這個(gè)點(diǎn)不相鄰的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，所以只能畫出兩條線段。

師：按照從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的順序來分，有什么好處？

生：可以做到不重復(fù)、不遺漏。

小結(jié)：從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，畫出兩條線段，就把五邊形分成了三個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°×3。

【設(shè)計(jì)意圖：研究把五邊形和四邊形分成三角形的目標(biāo)略有不同，研究四邊形分成三角形是為了通過比較提煉出“分”的方法；引導(dǎo)學(xué)生把五邊形分成三個(gè)三角形的過程，是為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)研究要有序思考，這樣才能做到“不重復(fù)、不遺漏”。】

師：下面我們來研究六邊形的內(nèi)角和，請(qǐng)大家在作業(yè)紙上分一分、算一算。

生：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，畫出三條線段，就把六邊形分成了四個(gè)三角形，它的內(nèi)角和就是180°×4。（圖4）

圖4

師：這三條線段是連接？

生：不相鄰的頂點(diǎn)。

師：請(qǐng)大家觀察大屏幕上表格里的數(shù)據(jù)，你能直接說出七邊形、八邊形的內(nèi)角和分別等于幾個(gè)三角形的內(nèi)角和嗎？（根據(jù)學(xué)生的回答填寫表格）在作業(yè)紙上分一分、算一算，驗(yàn)證表格中的數(shù)據(jù)。

【設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要有節(jié)奏感，要做到有詳有略、有快有慢。四邊形和五邊形的內(nèi)角和是研究的重點(diǎn)，教學(xué)時(shí)可以詳細(xì)一些、慢一些；其他多邊形內(nèi)角和的研究有了以上基礎(chǔ)就可以簡(jiǎn)略一些、快一些，同時(shí)可以不失時(shí)機(jī)地培養(yǎng)學(xué)生想象、推理等思維能力。】

師：請(qǐng)仔細(xì)觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

圖形名稱邊數(shù)分成三角形的個(gè)數(shù)內(nèi)角和三角形31180°四邊形42180°×2五邊形53180°×3六邊形64180°×4七邊形75180°×5八邊形86180°×6……………………

生：多邊形每增加一條邊，就增加一個(gè)三角形。

生：三角形的個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2。

生：有幾個(gè)三角形，內(nèi)角和就是幾個(gè)180°。

師：九邊形的內(nèi)角和是幾個(gè)180°？十邊形？二十邊形？一百邊形呢？你能用一個(gè)式子來表示多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法嗎？

生：多邊形內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-2）。（板書）

師：如果用字母n表示多邊形的邊數(shù)，多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式用字母表示是？

生：多邊形的內(nèi)角和=180°×（n-2）。

師：這里的n可以表示任意數(shù)嗎？

生：不能，這里的n表示等于或者大于3的自然數(shù)，因?yàn)槎噙呅问怯扇龡l或三條以上線段首尾相接圍成的圖形。

【設(shè)計(jì)意圖：把發(fā)現(xiàn)的權(quán)利還給學(xué)生。由于有了前面的研究基礎(chǔ)，學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)、思考交流并發(fā)現(xiàn)規(guī)律就變得水到渠成。】

三、反思回顧，把規(guī)律向更寬廣處延伸

師：同學(xué)們，回顧研究過程，我們是怎樣探索和發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和規(guī)律的？

生：把多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和，也就是把新問題轉(zhuǎn)化成我們能夠解決的問題推算出來，并且按照一定的順序思考。

師：結(jié)合本課學(xué)習(xí)過程，說一說你是怎樣理解有序思考的？

生：從簡(jiǎn)單的問題想起，先研究邊數(shù)少的多邊形的內(nèi)角和，再研究邊數(shù)多的；在把多邊形分成三角形時(shí)，按照一定的順序來分，可以做到不重復(fù)、不遺漏。

師：理解得很深刻。你能很快計(jì)算出二十二邊形的內(nèi)角和是多少嗎？看來，應(yīng)用這個(gè)規(guī)律無論多邊形有多少條邊，我們都可以很快地計(jì)算出它的內(nèi)角和。

師：既然有內(nèi)角，就有外角，請(qǐng)看大屏幕，把三角形的三條邊分別延長(zhǎng)，就得到了三角形的三個(gè)外角，那么三角形的外角和是多少？四邊形的外角和是多少？其他多邊形的外角和是多少？請(qǐng)同學(xué)們自己研究。

【設(shè)計(jì)意圖：在課的結(jié)尾處，由多邊形的內(nèi)角和引出多邊形的外角和，不僅讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，還激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。】