一類帶有變指數增長的Neumann問題

蒙 璐，儲昌木，雷 俊

貴州民族大學 數據科學與信息工程學院，貴陽 550025

考慮如下非線性Neumann問題：

(1)

其中Ω?RN(N≥3)是邊界光滑的有界域，

(2)

(f1) 存在常數a>0和0<σ<1，使得對任意(x，s)∈Ω×R，|f(x，s)|≤a|s|σ；

近年來，對具有Neumann邊界的橢圓型偏微分方程的研究引起了許多學者的注意，也獲得了一些新的成果(見文獻[1-10])．此外，文獻[11]研究了如下帶有變號位勢的Neumann問題：

其中Ω是RN中光滑的有界域，p>1，a(x)是Ω上變號的連續函數，并利用約束最大化方法探討了半線性橢圓型問題正解的存在性．

文獻[12]研究了以下問題：

問題(1)對應的泛函為

其中u∈H1(Ω)，

由文獻[10]知，H1(Ω)可作直和分解

H1(Ω)=R?V

其中

對u∈H1(Ω)，有u=t+v，其中v∈V，

時，有

證若不然，則對?n∈N，存在tn∈R，vn∈V，使得當

時，有

(3)

或

(4)

由ωn在Lp-(Ω)和Lp+(Ω)上均趨于0知

當|tn|≤1時，對?x∈Ω，|tn|p+-p-≤|tn|p(x)-p-≤1．(4)式兩邊同時除以|tn|p-，可得

即

同樣，當n→∞時，有

綜上所述，引理1的結論成立．

引理2假設條件(f1)，(f2)和(2)式成立，則存在λ*，β，ρ>0，使得對任意λ∈(0，λ*)，有：

證當|t|≤1時，對某一固定的η>0，若‖v‖2≤η|t|，則由引理1可知

其中

因此

(5)

(6)

由Sobolev不等式知，當‖u‖V=ρ<1時，存在常數C1>0，使得

故當‖u‖V=ρ<1時，

取

就有

由‖u‖V=ρ和(6)式，有

(7)

由條件(f1)知，存在常數C(ρ)>0，使得

因而，對‖u‖V=ρ，存在λ*>0，當0<λ<λ*時，有

由mes(Ω1)>0，則

注意到p->2，當t→∞時，Jλ(tv0)→-∞．取t1充分大，使得ω=t1v0滿足‖ω‖≥ρ，則Jλ(ω)<0．

引理3假設條件(f1)，(f2)和(2)式成立，則存在Λ*>0，使得0<λ<Λ*時，Jλ滿足(PS)條件．

證設{un}是H1(Ω)中的任一(PS)序列，則存在c>0，使得當n→∞時，有

(8)

由(8)式可得

(9)

(10)

由條件(f1)知

由于‖vn‖=1，則存在C≥0，使得

故當n→∞時，

類似地可以推出，當n→∞時，

由此，

則當n→∞時，可得

取任意的i，j∈N，就有

又因為

定理1假設條件(f1)，(f2)和(2)式成立，則存在λ*>0，使得0<λ<λ*，那么問題(1)有兩個非平凡解．

證由引理2知

由山路引理知，問題(1)存在另一個解u2，滿足Jλ(u2)=cλ>0．由于

Jλ(u1)<0=Jλ(0)

故u1和u2是問題(1)的兩個不同的非平凡解．