圓周上的小Hankel算子

李永寧，梁煥超，丁宣浩

1.重慶工商大學 數學與統計學院，重慶 400067；2.經濟社會應用統計重慶市重點實驗室，重慶 400067

1 預備知識

本節我們主要回顧經典的Hardy空間上Hankel算子的基本性質，例如有界性，有限秩性質等，這與我們下節中所要探討的uH2上的小Hankel算子的一些基本性質密切相關．

引理1[7]若φ∈L2(?D)，則Hφ是有界的當且僅當存在g∈L∞(?D)使得Hφ=Hg．

引理2[6]若φ∈L∞(?D)，則Hφ是有限秩的當且僅當存在一個非零的解析多項式a(z)使得aφ∈H∞(?D)．

2 小Hankel算子的基本性質

本節我們主要討論uH2上小Hankel算子的一些基本性質，例如有界性，有限秩性質等．顯然地，根據小Hankel算子的定義，通過標準的計算，我們可得：

命題2若φ∈H∞(?D)，則bφ=0．

從經典的Hardy空間上的Toeplitz算子乘積與Hankel算子乘積的關系出發，我們得到了uH2上的小Toeplitz算子乘積與小Hankel算子乘積之間的關系式．該關系式在后面研究小Hankel算子的有限秩性質時發揮了重要作用．

命題3設u為非常數值的內函數，且φ，ψ∈L∞(?D)，則

證根據Hardy空間上Toeplitz算子與Hankel算子之間的關系

(1)

則對任意的x∈H2，ux∈uH2，將ux代入(1)式，可得

Pφψux-PφPψux=PφP-ψux

(2)

(3)

注意到

(4)

運用相同的技巧，可得

(5)

(6)

將等式(4)-(6)代入等式(3)中，則等式(3)可變形為

(7)

現在將算子Mu作用在(7)式的兩端，則可得

這意味著

因此，我們就得到了uH2上的小Toeplitz算子與小Hankel算子之間的關系

(8)

證畢．

由MφMψ=Mφψ=MψMφ以及乘法算子在L2上的表示可知Hφψ=HφTψ+SφHψ，從而當φ∈H∞(?D)時，Hφψ=HψTφ=SφHψ．雖然DφDψ=DψDφ和DφDψ=Dφψ在一般情況下并不成立，但通過直接計算，關于小Toeplitz算子和小Hankel算子，我們得到了類似的結果．

命題4若φ∈H∞(?D)，則bφψ=bψtφ=Sφbψ．

證 對任意的x∈H2，ux∈uH2，由于bφψux=P-(φψux)，而且

又因為x∈H2，φ∈H∞(?D)，故φx∈H2，從而P-φx=0，因此bψtφux=P-(ψuφx)，故bψtφ=bφψ．

類似地，因為

Sφbψux=P-(φP-(ψux))=P-(φ(I-P)(ψux))=P-(φψux)-P-(φP(ψux))

而且由φ∈H∞(?D)知φP(ψux)∈H2，故P-(φP(ψux))=0．從而Sφbψux=P-(φψux)=bφψux，因此Sφbψ=bφψ．則有bφψ=bψtφ=Sφbψ．

故命題4得證．

算子的有界性是算子理論中非常基本且重要的問題，所以關于小Hankel算子在什么條件下是有界算子的問題是我們需要最先解決的問題．下述定理給出了小Hankel算子的有界性的完全刻畫：

定理1若φ∈L2(?D)，則bφ是有界的當且僅當存在g∈L∞(?D)使得Hφu=Hg．

證由于

所以bφ是有界的當且僅當Hφu是有界的，則由引理1知，bφ是有界算子充要條件為：存在g∈L∞(?D)使得Hφu=Hg．

對于任意的φ，ψ∈L∞(?D)，關于小Hankel算子，我們主要考慮以下兩個問題：

問題1在什么條件下，bφ是有限秩算子？

對于上述兩個問題，根據Hardy空間上有限秩的Hankel算子的刻畫以及Hankel算子與小Hankel算子之間的關系，我們得到如下結果：

定理2若φ∈L∞(?D)，則bφ是有限秩算子當且僅當存在解析多項式a(z)，使得a(z)φ(z)u(z)∈H∞(?D)．

證對任意的x∈H2，有ux∈uH2，則

bφux=P-φux=Hφux

從而，bφ為有限秩算子當且僅當Hφu為有限秩算子．因此，根據引理2，bφ為有限秩算子當且僅當存在解析多項式a(z)，使得a(z)φ(z)u(z)∈H∞(?D)．

下述例1表明：存在φ∈L∞(?D)，使得小Hankel算子bφ是有限秩算子，但Hankel算子Hφ卻不是有限秩的．

3 展 望