基于滑模狀態觀測器的兩自由度磁懸浮球控制

王偉超 褚曉廣 王文軒 宋蕊

1 曲阜師范大學 工學院,日照,276826

0 引言

磁懸浮技術因其無接觸、摩擦功耗小等優點,被廣泛應用于磁懸浮列車、磁懸浮軸承等領域,但磁懸浮系統本身為開環不穩定系統,系統穩定懸浮必須依賴主動懸浮控制．目前眾多科研工作者開展了磁懸浮控制策略研究,但所需控制算法驗證的磁懸浮試驗平臺往往結構復雜、搭建成本較高,磁懸浮球系統因其結構簡單、控制方案易實現等優點,已成為磁懸浮控制策略驗證的首選平臺[1-3]．目前磁懸球系統模型構建時,大多忽視了磁力線扭曲對懸浮穩定的影響,懸浮控制研究往往多為單自由度控制,即使設計基于干擾觀測器的眾多懸浮控制策略應對干擾[4-6],但由于未明確干擾來源以及影響機制,特別是無法獲知干擾的物理約束,因此無法獲得有效控制算法驗證．為此,本文首次提出兩自由度的磁懸浮球系統模型,并對多自由度運動下干擾影響機制進行分析,同時對非匹配性干擾進行轉化,進而進行懸浮控制策略研究和驗證工作．

近年來,對磁懸浮系統控制策略的研究大多數是對傳統的PID控制策略進行改進[7-10],基于線性系統下的傳統PID不適用于多工況、多干擾且參數未知的系統,控制效果有限．因此,滑?？刂?SMC)、模糊控制(Fuzzy Control,FC)以及自適應控制(Adaptive Control,AC)等非線性控制理論及策略的引入是眾多科研工作者的研究熱點[11-13]．文獻[14-16]針對模型不確定性、外界干擾等所致懸浮系統模型失配問題,采用自適應魯棒控制完成懸浮體的穩定控制．SMC是一種不依賴模型并具有較強抗干擾能力的控制策略,在動態響應速度以及補償系統時變參數等方面具有顯著優勢,因此被廣泛應用于磁懸浮系統．一方面,采用SMC可對磁懸浮系統實施魯棒控制,但滑模邊界層極易產生切換抖振,采用神經網絡、自適應控制等開展切換邊界層優化以及補償控制,同時借助濾波器可有效弱化抖振,獲得較好的懸浮性能[17];另一方面,借助觀測器機制,觀測獲取并動態補償懸浮控制能夠有效消抖,傳統觀測器雖然能提升系統懸浮性能,但動態響應速度慢．因此,本文結合SMC的優點,設計了滑模狀態觀測器,通過切換函數中無窮小值的引入減小系統抖振,同時設計滑模跟蹤控制器趨近律消除觀測誤差引起的系統抖振．

在現有磁懸浮球系統研究基礎上,本文深入分析了磁懸浮球繞組磁力線扭曲特性,進行運行機理和模型受力分析,創新性地提出了

系統在兩維坐標系下的兩自由度運動模型;其次,將兩自由度模型下的干擾歸結為單自由度實現主動控制,實現了非匹配性干擾到匹配性干擾的轉化;然后建立磁懸浮球系統狀態空間方程,基于狀態空間方程進行控制策略優化研究,設計含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制策略(Sliding Mode State Observation and Tracking Cooperative Control,SMSOTC);最后通過設計仿真實驗,驗證所提控制策略的有效性．

1 兩自由度磁懸浮球系統模型

兩自由度磁懸浮球系統如圖1所示,包括懸浮繞組、懸浮球、氣隙傳感器以及MOSFET、電源、DSP(內含A/D轉換器)和PWM驅動一體化的控制回路．

圖1 兩自由度磁懸浮球系統Fig.1 Two degree of freedom magnetic levitation ball system

懸浮球穩定的首要條件是軸向合力為零,懸浮球一般運行在中心區(位置1),但外界干擾力Fsx極易導致懸浮球偏離中心區,進入磁力線扭曲變形區(位置2).磁懸浮繞組磁力線分布如圖2所示,假設磁力線均勻,懸浮電磁力F因磁密變化而減小,由于Fsx使得懸浮球發生Δθ的偏移,為此電磁吸力F必須產生軸向分量Fz和徑向分量Fr,用于平抑懸浮重力mg、豎直干擾力Fδ和水平干擾力Fsx,實現懸浮球受力平衡．

圖2 磁懸浮繞組磁力線分布Fig.2 Distribution of magnetic force line for magnetic suspension winding

懸浮球進入位置2后,由于磁力線變稀疏、有向圓面S發生改變的原因使得所受電磁力F發生改變,引入磁感應強度占比系數γ,其含義為懸浮球最大切圓截面容納的磁感應強度在整體磁感應強度B中的占比．

在圖1中,給出了懸浮球的受力分析、有向圓面S以及分析磁感應強度用到的輔助圓結構,基于水平和豎直兩維坐標系下,根據牛頓第二定律,兩自由度磁懸浮球系統運動模型為

(1)

式(1)提出了由Fsx主導的懸浮球水平方向的運動方程,得到兩自由度系統模型.由于主動控制策略的研究是在單自由度上進行的,為此,需將水平方向等效干擾力納入到豎直方向．

受初始位置、磁場分布和軸向干擾的影響,假定懸浮球穩定在中心穩定區內理想平衡點的平面鄰域中,與理想平衡點距離為ε,懸浮球平衡態為(I0,δref,ε),設Δi=i-I0為懸浮球平衡位置的電流擾動,Δδ=δ-δref為懸浮球豎直位置的氣隙擾動,將式(1)在平衡位置處進行線性化:

(2)

懸浮球受到外界水平干擾力Fsx偏離中心穩定區,水平位置移動sx后進入位置2穩定,此時懸浮球水平方向加速度為零,結合式(2)得:

(3)

從而構建起水平方向干擾力Fsx對懸浮球軸向運動的影響式為

(4)

懸浮球位于磁力線扭曲區域中時,因懸浮氣隙變化所致變化電感可表示為

(5)

電磁鐵繞組電流由BUCK變流器控制,其內部結構參數,尤其是電感值會隨懸浮球位置改變而變化,為此構建懸浮繞組電流控制運動模型為

(6)

(7)

上述過程實現了匹配性干擾的轉化,同時將兩自由度模型建構為單自由度進行主動控制,為控制策略的研究奠定了基礎．

(8)

2 磁懸浮球系統控制策略

兩自由度磁懸浮球控制策略包括含干擾重構的滑模狀態觀測以及懸浮氣隙跟蹤控制器,磁懸浮球系統控制結構如圖3所示.由于磁懸浮球系統極易受水平位置不確定性擺動及電流波動等多種干擾影響,同時懸浮氣隙及氣隙加速度不易精確測量,為此設計滑模狀態觀測器,準確提取狀態變量.懸浮氣隙滑模跟蹤控制器能夠提高系統動態響應速度,實現懸浮氣隙的跟蹤控制．

圖3 磁懸浮球系統控制結構Fig.3 Control structure of magnetic levitation ball system

2.1 滑?？刂破髟O計

滑模變結構控制通過狀態反饋將系統的運動引導至滑模面上,最終形成漸近穩定的滑動模態．基于已確定的磁懸浮球模型(8),若在滑模面中包含進懸浮球運動的位移、速度、加速度信號,則能夠有效應對系統干擾,提高系統動態性能．

建立滑模面函數:

s=Gx,

(9)

構建狀態變量與調控電壓的聯系,設計滑模趨近律為

(10)

以上設計能夠保證系統在有限時間內到達滑模面.由于狀態估計誤差的存在,系統需要引入數值較大的β1值,增大了系統的抖振．為有效解除觀測誤差對β1數值大小的限制,同時抑制系統抖振,設計:

K=‖A‖+ξ.

(11)

由趨近律結合Lyapunov理論設計控制律為

(12)

2.2 滑模狀態觀測器設計

在控制策略設計中,狀態變量獲取較為困難,傳統控制方式通常為直接求導,但這種方法會引入干擾噪聲且測量精度受約束;其次,由于不確定性干擾的存在,使得控制信號未知．因此,引入狀態觀測器對狀態變量進行估計,同時將干擾信息引入至估計值中．傳統觀測器不能實現對狀態變量的精確估計且動態響應速度較慢,因此,本文將系統所受的干擾統一歸結為匹配性干擾后,結合SMC特有的優勢對傳統的觀測器進行改進,設計滑模狀態觀測器如下:

(13)

將式(8)與式(13)相減得:

(14)

由特征方程知,存在正實數ξ與對稱矩陣P>0,使得:

(15)

對某個正定矩陣Q成立,且M,Q滿足:

‖G‖≤‖MC‖,

(16)

(17)

綜合設計過程,將控制律設計為

(18)

2.3 穩定性分析

選取Lyapunov函數為

(19)

對式(19)求導并將式(10)代入得:

(20)

將GB0=1代入式(20)得:

(21)

將式(11)入式(21)得:

(22)

由于,

(λmax(GTG)λmax(A)+ξλmax(GTG)+

從而有,

(23)

式中,τ為無窮小值,可忽略不計．

又因為‖G‖≤‖MC‖,所以,

2β‖MC‖)≤0.

(24)

綜合式(20)、(21)、(22)、(23)、(24)得:

因此,本文所設計的含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制策略在李雅普諾夫穩定條件下漸近穩定,即磁懸浮球系統的跟蹤誤差在有限時間內可收斂至原點附近的可調節鄰域內．

3 仿真結果分析

基于MATLAB/Simulink搭建磁懸浮球系統仿真平臺,進行系統性能分析和控制策略驗證．磁懸浮球系統結構參數如表1所示．仿真研究分為變氣隙點跟蹤和抗干擾能力兩部分,進行含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制策略和傳統PID控制策略在跟蹤性能、跟蹤誤差和抗干擾能力的對比實驗研究,全面評價所提控制策略對磁懸浮球控制系統的優化．在所有仿真研究中,傳統PID控制器及含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制策略式(9)、(10)、(13)、(14)所含參數設計如表2所示．

表1 磁懸浮球系統結構參數

表2 控制器參數

3.1 變氣隙點跟蹤仿真實驗

以8 s為一個周期,參考氣隙δref(單位:m)設定為

圖4為不同控制器下氣隙跟蹤性能對比,在氣隙參考值的變化跨度為0.008(0.006～0.014)時,傳統PID基本無法實現氣隙的準確跟蹤．含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制策略相比傳統PID控制策略,動態響應速度提高,跟蹤性能好且跟蹤誤差小,在傳統PID無法實現的大跨度變氣隙控制中展現出明顯優勢．為更好突出所提控制策略在實現跨度大的變氣隙控制中的優勢,在此做進一步仿真說明．

圖4 不同控制器下氣隙跟蹤性能對比Fig.4 Comparison of air gap tracking performance under different controllers

以8 s為一個周期,PID控制策略的參考氣隙設定為

圖5和圖6分別為氣隙參考值跨度為0.003(0.011～0.014)時PID控制策略下的氣隙跟蹤性能和氣隙跟蹤誤差,圖7和圖8分別為氣隙參考值跨度為0.008(0.006～0.014)時含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制策略下的氣隙跟蹤性能和氣隙跟蹤誤差,在跨度相差近2.67倍的情況下,兩種控制策略可實現氣隙準確跟蹤,但PID控制下的小跨度跟蹤在響應速度、氣隙變化瞬間跟蹤誤差(0.97 mm)遠大于大跨度下含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制策略(0.37 mm),氣隙變化瞬間跟蹤誤差相差約3倍．

圖5 PID氣隙跟蹤性能(δref∈[0.011,0.014])Fig.5 Air gap tracking performance of PID (δref∈[0.011,0.014])

圖6 PID氣隙跟蹤誤差(δref∈[0.011,0.014])Fig.6 Air gap tracking error of PID (δref∈[0.011,0.014])

圖7 SMSOTC氣隙跟蹤性能(δref∈[0.006,0.014])Fig.7 Air gap tracking performance of SMSOTC (δref∈[0.006,0.014])

圖8 SMSOTC氣隙跟蹤誤差(δref∈[0.006,0.014])Fig.8 Air gap tracking error of SMSOTC (δref∈[0.006,0.014])

3.2 抗干擾能力對比仿真實驗

系統參考氣隙δref=0.012 m,并在5 s時引入脈沖式干擾如圖9所示．

圖9 脈沖式系統干擾Fig.9 Impulse system disturbance

圖10—12分別為引入干擾后PID控制和含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制下的氣隙跟蹤性能、氣隙跟蹤誤差和懸浮電流仿真對比．可以看出,引入干擾后,傳統PID控制和含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制的調節時間、跟蹤誤差分別為1.085 s和0.085 s、0.456 mm和0.112 mm,就兩種控制策略的抗干擾能力而言,滑模觀測器能夠有效識別加入的干擾,含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制策略能夠有效平抑外加干擾帶來的懸浮振蕩,以更快的響應速度跟蹤參考氣隙,而傳統PID控制策略無法實現識別并抑制干擾．

圖10 抗干擾性能對比-懸浮氣隙Fig.10 Anti-disturbance performance comparison in air gap

圖11 抗干擾性能對比-跟蹤誤差Fig.11 Anti-disturbance performance comparison in air gap tracking error

圖12 抗干擾性能對比-懸浮電流Fig.12 Anti-disturbance performance comparison in suspension current

4 結論

針對目前磁懸浮領域研究實驗平臺所用到的磁懸浮球系統存在的單自由度干擾機制無法明確的問題,本文構建了一種含軸向和水平兩自由度的磁懸浮球運動模型,并提出了一種新的非線性控制器設計方法．該模型能有效地描述系統在兩維坐標系下的運動方程,將干擾力對系統的作用機制做詳細闡述,同時能將非匹配性干擾轉化為匹配性干擾加以控制.新的非線性控制策略為含干擾重構的滑模狀態觀測和跟蹤協同控制策略,該控制策略的特點是:采用觀測器提取相應狀態變量,滑模變結構控制能夠提高系統動態響應速度,增強系統魯棒性,與現有文獻相比,本文提出的控制策略對非線性的磁懸浮球系統具有優化作用．最后,通過MATLAB/Simulink仿真,驗證了所提控制器的有效性,并給出了仿真分析結果,未來研究將在實驗中進一步驗證所提控制策略的有效性．