基于去噪和分形的加密貨幣投資組合模型優化研究

曹廣喜 張星宇

1 南京信息工程大學 管理工程學院，南京，210044 2 南京信息工程大學 濱江學院，無錫，214105 3 南京信息工程大學 氣象災害預報預警與評估協同創新中心，南京，210044

0 引言

加密貨幣在2008年全球金融危機和互聯網技術快速發展的背景下應運而生，是一種不在央行和任何金融機構約束下的“電子貨幣”，相較于其他貨幣，具有去中心化交易、匿名性、可審計性等特點[1].加密貨幣為大眾提供了一種新的儲值和投資手段，是當下最熱門的投資焦點和市場話題之一.然而，加密貨幣投資的高回報與高風險并存，以受關注度最高的比特幣為例，關于它的價格動態的早期研究表明其“極具投機性”[2].因此，研究加密貨幣投資組合策略對于提高資產風險管理能力具有重要意義.

Markowitz提出的均值-方差(M-V)模型是公認的投資組合理論的開端，然而很多學者認為該模型以方差度量風險存在較大誤差[3].于是，VaR、CVaR等[4-5]風險度量手段被相繼提出，而CVaR因其突破了正態分布假設的局限，且具有次可加性和凸性[6]，被認為是一種比VaR風險計量技術更為合理有效的現代風險管理方法[7-8].雖然這些傳統投資組合理論對于現代金融領域發展具有重要意義，但仍然存在應用上的局限性：其一，以方差或CVaR度量風險只在線性假設前提下使用，而越來越多的實證分析證明金融時間序列具有復雜的非線性相依結構[9]；其二，金融時間序列由于大量帶有時頻雙域的交易噪聲往往呈現不規則和粗糙的結構特征[10]，會影響對數據的進一步分析和處理.近年來有研究發現分形方法有利于克服傳統模型只能研究序列間線性相依結構的缺陷[11].多重分形消除趨勢互相關分析方法(MF-DCCA)是用來分析不同時間標度下兩個非平穩時間序列的長期交叉相關性和多重分形性的一種方法，唐勇等[9]將其與M-V模型結合，基于滬港股市組合提出了多重分形投資組合模型，在收益率、波動率、 夏普比率和社會經濟福利指標下與傳統投資策略進行樣本外比較分析，證明了多重分形投資組合模型相對傳統線性投資組合模型的優越性.Zhu等[12]在多重分形投資組合模型基礎上使用多小波去噪濾除時間序列中的噪聲，是對投資組合理論結合分形方法的一次完善.然而Kopsinis等[13]認為與小波去噪法相比，經驗模態分解法(EMD)能夠自適應地去除噪聲，在客觀性和分辨率方面更具優勢.李合龍等[14]提出了改進的EMD去噪法，通過變點技術判斷信噪的分界點，再用軟閾值法過濾噪聲信號，相較傳統EMD方法，這種改進EMD去噪法能兼具變點技術判斷含噪信號的精確性以及軟閾值去噪的連

續性.盡管國內外對于分形投資組合理論已有一定的研究積累，但是目前這種方法還是僅限于研究較為常規的傳統資產，對于波動性更強、流動性更大的“極具投機性”資產——加密貨幣投資組合的優化效果猶未可知.因此，本研究有助于彌補這一空白.

另外，關于加密貨幣投資組合的研究起步較晚，且局限在傳統投資組合理論框架下.Brauneis等[15]于2019年首次將傳統的均值-方差投資組合框架應用于加密貨幣，并將該框架下的風險和回報與單一市場投資基準相關聯，認為加密貨幣組合化投資可以顯著改善投資結果.隨后，Liu[16]分析了Bitcoin、Ethereum、Ripple等10種加密貨幣組成的投資組合也得出了類似的結論.Platanakis等[17]將方差約束條件應用于Black-Litterman模型來構建加密貨幣投資組合，發現其優于1/N和Markowitz基準，這表明投資者在管理加密貨幣投資組合時應使用更復雜的投資組合技術，以控制輸入參數中的估計誤差.

本文借鑒李合龍等[14]提出的改進EMD去噪方法，與分形投資組合模型相結合，提出了EMD-Mean-MF-DCCA模型，解決了以往投資組合模型中金融時間序列時頻雙域噪聲帶來的干擾問題.另外，將EMD-Mean-MF-DCCA模型應用于加密貨幣投資組合研究，證明分形投資組合模型應用于加密貨幣市場的優越性，是對分形理論應用的一次補充和完善.

1 EMD去噪下多重分形投資組合模型

EMD-Mean-MF-DCCA模型構建的核心是立足于多重分形投資組合模型[9]，并融入李合龍等[14]提出的結合變點分析技術和軟閾值去噪的改進EMD去噪法.主要通過以下步驟實現：

步驟1.用改進的EMD去噪方法對時間序列X(t)進行去噪處理，得到x(t).具體操作如下：

先對原始序列進行EMD分解，提取本征模函數IMFi(t)和趨勢項r(t)：

(1)

其中，i=1,2,…,n，n是IMF分量個數.

最后，對含噪IMF分量進行軟閾值去噪處理，可以獲得去噪后的IMF分量，即IMFi(t)′，i

(2)

IMF1(t)′，IMF2(t)′，…，IMFi0-1(t)′與IMFi0(t)，IMFi0+1(t)，…，IMFn(t)，r(t)加總后得到去噪的重構序列x(t).

步驟2.在MF-DCCA方法的基礎上構造EMD-Mean-MF-DCCA模型.具體操作方式如下：

首先，將新序列x(m)(t)，t=1,2,…,N，N表示時間序列的長度，代入式(3)，構建輪廓序列：

(3)

(4)

然后，將q階波動函數定義為

(5)

如果兩個時間序列是長程相關的，則標度關系滿足Fxy(q,s)～shxy(q).若00，標度指數hxy(q)刻畫了時間序列間大幅波動的標度行為；當q<0，標度指數hxy(q)刻畫了時間序列間小波動的標度行為.

最后，將重構序列及q階波動函數代入M-V模型，構建EMD-Mean-MF-DCCA：

(6)

步驟3.用多目標模糊非線性規劃方法(FMNP)[12]，來獲得滿足收益最大、風險最小雙重目標的最優權重分配方案.FMNP應用于EMD-Mean-MF-DCCA的算法如下：

(7)

其中，f(w),g(w)作為兩個目標函數，分別對應的兩個隸屬函數μf(w),μg(w)如下：

(8)

(9)

假設λ為最大滿意度，即

λ=max{minμf(w),minμg(x)}.

(10)

若在步驟2取n個q階，則每個標度s對應n組(不同q階下的)權重配置方案.在標度為s0，q=k時，滿足λ=max{minμf(w),minμg(w)}，得到標度s0下的最優權重配置方案{wi,k,s0}.

EMD-Mean-MF-DCCA模型應用于優化資產投資策略的大致路徑是：先采用改進的EMD方法濾除金融序列中的噪聲，得到濾噪后的重構序列，再結合滾動窗技術，利用MF-DCCA改進下的新模型從不同的波動幅度中提取有效的預測信息，并通過FMNP將其整合到相同的時間尺度中，由此可以得到不同時間尺度下的最優資產配置方案.

2 實證分析

2.1 數據選取與描述性統計

本文選取比特幣、萊特幣、瑞波幣這三種有較長發展歷史且極具代表性的加密貨幣作為研究對象，數據樣本范圍為2013年8月5日至2020年4月21日，一共有2 452組日收盤價數據.數據來自于https:∥coinmarketcap.com/.

2018國際數字經濟博覽會發布的《區塊鏈3.0共識藍皮書》提出明確的區塊鏈時代劃分，認為區塊鏈產業在2018年進入3.0階段，在這一階段，區塊鏈技術將突破其在金融領域的應用范疇，賦能實體經濟.隨著區塊鏈技術應用范圍不斷擴大，各國政府逐步將這一新型金融市場納入監管范圍.盡管從長遠來看，加強市場監管有利于解決加密貨幣行業的各種市場亂象，但也促使短期內加密貨幣市場由牛轉熊.由圖1—3可知，幣價在區塊鏈2.0時代末期飛漲后，于區塊鏈3.0時代迎來大幅崩潰.其中比特幣在2017年12月16日達到了歷史新高的19 475.8美元，隨后開始急劇下跌，其他加密貨幣也在1個月之內對其價格暴跌做出了回應[19].

圖1 比特幣價格走勢Fig.1 Bitcoin prices during Aug.5th,2013 to Apr.21st,2020

圖2 萊特幣價格走勢Fig.2 Litecoin prices during Aug.5th,2013 to Apr.21st,2020

圖3 瑞波幣價格走勢Fig.3 Ripple prices during Aug.5th,2013 to Apr.21st,2020

取對數收益率可以有效消除幣價的指數趨勢，因此加密貨幣的日收益率定義為：Ri(t)=ln(Pi(t))-ln(Pi(t-1))，其中Pi(t)表示加密貨幣i在t交易日的收盤價.表1顯示，三個序列的偏度大于0，表現為右偏特征，峰度均大于3，表現為顯著的尖峰厚尾特征，J-B統計量顯著，表明收益率序列不服從標準的正態分布.ADF單位根檢驗結果表明各個序列在1%水平下皆拒絕原假設，經過差分后的各個序列已經平穩.三個Hurst指數均小于0.5，顯示加密貨幣時間序列具有反持久性，說明選取的資產序列均服從有偏隨機游走過程.

表1 收益率的描述性統計

2.2 投資組合樣本外檢驗分析

投資組合模型效果比較一般通過樣本外檢驗實現[21].所以本文將基于滾動窗口技術進行樣本外檢驗，分析EMD-Mean-MF-DCCA是否優于其他比較模型.按照2.1提到的時代節點將區塊鏈2.0時代2013年8月5日至2017年12月31日劃分為估計樣本區間，長度為1 610個交易日；區塊鏈3.0時代2018年1月1日到2020年4月21日劃分為預測樣本區間，長度為842個交易日.本研究遵循追求最小風險的原則，將始終依次選取1 610個觀察值作為滾動窗口，采用m=3階的最小二乘法對窗口區間的局部趨勢進行擬合，在給定期望收益條件下風險最小的組合點構成的投資組合有效前沿上，選擇有效前沿上的最小方差組合作為觀察值外下一個交易日的最佳資產配置方案，然后不斷迭代直至得出整個預測樣本區間一共842個交易日的最優資產組合配置方案.根據估計窗口長度，標度s的取值為50、100、150、200、250、300、350、400,q階取-2、-1、1、2、3、4.

對照基準包括單一市場投資策略、等權重策略、Markowitz策略、Mean-CVaR策略(置信水平選取90%、95%)[8]等傳統投資組合策略.策略評價指標選取收益率、標準差和夏普比率，其中夏普比率為[E(Rp)-Rf]/σp.E(Rp)-Rf指超過整個樣本期的無風險收益率的平均投資組合收益，Rf是無風險利率，本文假設其為0，σp是在樣本期間預測的投資組合標準差.

由表2可知，單一投資比特幣的策略在收益、風險、夏普比率方面均要優于其他對照組.可以看出比特幣作為最早發行的加密貨幣，在區塊鏈3.0時代下，不論從收益率角度來看，還是從風險的角度看，相比于其他加密貨幣都具有絕對的優勢.實際上，比特幣自發行之日起，就一直占據絕對的市場支配地位，體現在：其一，比特幣的市場占比自始至終領先于其他加密貨幣，即使是價格在2017年12月大幅崩潰，其市場占有率最低也達到了32.81%，在整體加密貨幣中排名第一，隨后在2019年占比最高升至69.90%；其二，比特幣的流動性遠大于其他加密貨幣.有調查表明，比特幣的流動性似乎是以太坊的5倍，是EOS、Litecoin、XRP和BCH等其他所有加密貨幣的 10 倍以上.由此可見，比特幣單一市場作為最優基準有理可依.

表2 對照基準樣本外檢驗結果

由表3可知：Mean-DCCA策略在收益率上有4組優于或等同于比特幣單一市場投資策略；有7組風險小于或等同于比特幣單一市場投資基準；4組的夏普比率優于或等同于比特幣基準.由此可以看出，單分形投資組合模型通過刻畫和描述加密貨幣市場在不同時間標度下的波動[12]，從看似無序的市場結構中描述其運行規律，提高了投資組合的盈利能力和抗風險能力.整體來看，在時間標度s=350時，收益率和夏普比率這兩個指標要優于其他標度組,s=200時，標準差要小于其他標度組.而疊加改進的EMD去噪方法得到EMD-Mean-DCCA策略后，發現任意標度下相對Mean-DCCA策略，在提高收益率和降低風險方面均取得了顯著的成果.可以證明改進的EMD去噪方法能夠有效地過濾時間序列的噪聲，起到優化分形投資組合的作用.另外，在去噪條件下，標度s=300時，投資組合的收益率和夏普比率最大,s=200時，風險最小.至于EMD-Mean-MF-DCCA策略，從表3中可以看出，該策略在任意標度下從收益、風險和夏普比率三個方面均優于單一投資比特幣的策略，且明顯優于同標度的Mean-DCCA策略.而相較于EMD-Mean-DCCA策略的優勢主要體現在降低風險的效果上.其中，時間標度s=200策略下的收益率和夏普比率要優于其他任何基準，同時該策略的標準差小于其他基準.可見與其他模型相比， EMD-Mean-MF-DCCA模型可以有效消除時間序列中的噪聲，并整合來自不同波動的預測信息，以達到改善投資組合的績效的目的，從而可以為不同交易周期的投資者們提供盈利能力和抗風險能力更佳的投資策略.綜合比較上述基準，發現使用分形和去噪方法構建的投資組合模型能夠取得良好的投資組合效果，優于單一市場、M-V等傳統投資組合策略.其中EMD-Mean-DCCA是EMD-Mean-MF-DCCA的特殊形式，即僅考慮波動幅度q=2的情況.整體來看，EMD-Mean-MF-DCCA策略下的最優時間標度為s=200，EMD-Mean-DCCA策略下的最優時間標度為s=300，而加密貨幣市場進行短期投資或者長期投資則難以取得最佳的投資效果，投資者進行短期投資可以及時根據市場行情來調整投資組合權重，縱然有機會減少極端事件對投資組合的影響，但是對于極具投機性的加密貨幣來說，難免效率低下.另外，自2017年數字貨幣暴漲以后，加密貨幣市場興起了“屯幣”行為，隨之而來的就是數字貨幣一再的大幅崩潰，導致很多投資者被2017年巔峰時期投資的數字貨幣套牢，結合實證結果，認為長期持有加密貨幣需謹慎.

表3 分形投資組合策略樣本外檢驗結果

2.3 穩健性檢驗

穩健性檢驗部分將調整估計樣本區間取值范圍，討論加密貨幣價格處于上升趨勢時使用EMD-Mean-MF-DCCA模型是否仍然具有優勢.由圖1—3可以看出比特幣價格約在2019年1月底開始有所回升(第2 000組數據)，到同年9月底又開始下降，其他加密貨幣也隨之產生波動.故該部分以總樣本前2 000組數據作為估計樣本區間，后452組數據作為預測樣本區間.

由表4—5可知，改進模型的優化效果在收益率和夏普比率這兩個指標上的表現與前文描述差異不大，但是在標準差這一指標上表現不佳.其次，依次改進的三種模型均是s=300的標度組表現最為優異，這也驗證了分形方法下的加密貨幣組合進行短期投資或者長期投資均不能取得最優的投資效果.另外，EMD去噪方法下分形投資組合模型的收益率和夏普比率要優于未去噪的加密貨幣投資組合模型，可見疊加去噪方法對分形投資組合起到了優化作用.通過穩健性檢驗可以發現，無論加密貨幣價格面對上升趨勢還是下降趨勢，EMD-Mean-MF-DCCA模型相較于其他基準均具有優勢.

表4 對照基準樣本外檢驗結果

3 結語

本文結合EMD去噪法和分形方法在均值-方差模型的基礎上進行模型的優化研究，提出了新模型EMD-Mean-MF-DCCA，并以比特幣、瑞波幣、萊特幣為研究對象進行加密貨幣投資組合策略比較分析.通過樣本外檢驗和穩健性檢驗，主要結論如下：

1)研究發現單獨利用單分形方法以改進M-V模型，即能取得顯著的優化效果，且多分形投資策略要優于單分形投資策略，驗證了用分形方法改進M-V模型中風險度量手段的優越性.

2)新模型EMD-Mean-MF-DCCA通過改進風險度量手段和剝離時間序列自身的含噪信號，解決了傳統均值-方差模型實際應用的兩個缺陷.經過實證檢驗，發現去噪多重分形投資組合策略優于單一市場、等權重、M-V和Mean-CVaR等傳統投資組合策略，也要優于單分形投資組合策略和去噪單分形投資組合策略.其優越性具體表現為，無論數字貨幣價格正處于上升趨勢還是下降趨勢，新模型相較于其他基準均在盈利能力和夏普比率方面具有優勢；另外，當數字貨幣大幅下行震蕩時，新模型下的組合投資方案還具有較好的抵抗風險能力.

雖然本文驗證了EMD-Mean-MF-DCCA策略相對于其他傳統投資組合策略在提高收益、分散風險上的優勢，但是最優時間標度會受波動幅度信息、估計樣本區間的影響.無論去噪分形投資組合模型改進程度如何、無論當前的加密貨幣價格趨勢如何，對加密貨幣投資組合而言，短期投資或者長期投資均難以取得最佳的投資效果，而如何在投資前確定最佳的交易周期仍有待進一步研究.

表5 分形投資組合策略樣本外檢驗結果