利用等頻面分析各向異性晶體的雙折射

張利偉，李 娟

（安慶師范大學數理學院，安徽安慶 246133）

光學是一門既古老又年輕的學科，是物理學中一個重要的分支，是研究光的本性、光的傳播以及光與物質相互作用規律及其應用的科學。光學與信息科學、生命科學、精密機械與制造和微電子技術等領域密切交叉和相互滲透，光學工程以及光學產業的發展很大程度上推動了社會和科技的進步，例如，利用晶體的雙折射效應可以設計出各種晶體光學器件，其中有許多是由多塊光軸取向不同的晶體級聯構成的，如偏振分光鏡、波片、渥拉斯頓棱鏡等，利用弧形波晶片還可以產生矢量光束實現強聚焦特性[1]。晶體的雙折射現象是指當一束光由各向同性介質入射到各向異性晶體表面時，在晶體內產生兩束折射光的現象[2]。晶體的雙折射主要是由于晶體結構的各向異性造成的，與構成晶體的原子晶格結構密切相關。有些晶體的晶格結構屬于單軸各向異性，有些屬于雙軸各向異性。晶體材料結構的特殊性質導致了各向異性的電學、光學等特性，比如彈性系數、熱膨脹、導熱、電導率等。這些各向異性性質在偏振光電器件、偏振熱電器件、偏振光探測器等領域有重要的應用。這里我們主要討論各向異性晶體界面處的雙折射問題。單軸各向異性晶體中的雙折射最早由惠更斯借助波面作圖法進行了解釋，此方法雖簡單易解，但缺乏系統的理論支撐，學生對這部分內容理解得不深不透。對于單軸晶體和單軸晶體的界面來說，相對比較復雜，可以出現雙折射雙反射性質，宋哲等人通過作圖法進行了分析[3]。為了加深學生對雙折射物理圖像的理解，本文從光波的電磁理論出發，通過推導光波在各向異性介質中傳播的色散關系，利用等頻面的方法對各向異性晶體界面處的雙折射進行直觀地分析和模擬，這種具有理論支撐的方法不但能分析單軸各向異性晶體的雙折射，還能分析雙軸各向異性晶體以及光軸與坐標軸有任意夾角的情況，此外，借助等頻面還能直觀地解釋超材料的反常折射、反射性質[4-5]。

1 光在各向異性介質中傳播的色散關系

各向異性介質的介電常數ε為二階張量（非磁性介質），為了簡單起見，采用對角化的形式，在笛卡爾坐標系中

其中，當εx≠εy≠εz時，稱為雙軸各向異性介質；當εx=εy≠εz時，稱為單軸各向異性介質；當εx=εy=εz時，介質則退化為各向同性。介質中傳播的平面波的電場形式為E=E0ei(ωt-k·r)，磁場為H=H0ei(ωt-k·r)，根據麥克斯韋方程組[D]=[ε][E]，?×H=jωD和?×E=-jμH很容易推導出角頻率為ω的平面波在各向異性介質中傳播時滿足的色散關系[6-7]：

對一定角頻率，滿足式（2）的波矢構成的面就是等頻面，kx、ky和kz分別為波矢的x分量、y分量和z分量。

這里主要考慮各向同性介質與單軸各向異性晶體界面雙折射的情況。假設一平面波從空氣斜入射到單軸各向異性介質中，x-y平面為界面，z軸為光軸，垂直交界面，則各向異性晶體中x-z平面內光波滿足的色散關系為

kx和kz滿足的曲線就是等頻線，kx=k0sinθ，k0=ω/c，θ為入射角。從時間平均坡印亭矢量的定義S=可得，

E0′和H0′分別為折射光的電場、磁場振幅，折射波矢的z分量kz的正負符號選取要保證能量遠離界面，能量折射角θs=arctan(Sx/Sz)。另外，根據電磁場邊界條件可得界面處o光和e光的反射系數為

2 單軸各向異性晶體界面的折射

為了直觀地分析各向異性介質中的雙折射，首先計算非磁性單軸各向異性晶體中兩種光波的等頻面，這里選擇e 光主軸折射率是o 光主軸折射率的兩倍，kx、ky和kz相對于k0進行了歸一化，如圖1（a）所示。很顯然，等頻面是個雙層面，橢球面代表的是e光的等頻面，球面代表的是o光的等頻面。根據各向異性介質介電常數張量和磁導率張量的取值，其等頻面會有更復雜的形狀[6]。現在考慮空氣與單軸各向異性晶體界面的折射情況(?x=?y)，分界面為x-y面，z＞0為單軸晶體，z＜0為空氣，x-z面是入射面，如圖1（b）所示。θin為入射角，θo和θe分別為o光和e光的能量折射角。根據式（3）計算出空氣中光波傳播滿足的等頻線是圓，如圖1（c）中的點線圓所示，單軸各向異性晶體中o光和e光的2維等頻線，分別對應圓和橢圓，這里取?x=?y=4，?z=1.5。根據電磁理論，電磁波的能量傳播方向與群速度?k(ω)k相同，這意味著群速度與等頻面垂直[8]，即光束在波矢面上任一點的傳播方向為該點切線的法線方向。根據邊界處電磁場的切向分量連續的性質，界面兩側的入射波矢和折射波矢的x分量相等。基于這些基本規則，就可借助等頻面定性、定量地分析各向異性晶體中的o 光和e 光的折射。

圖1 （a）單軸各向異性晶體中o光和e光的3維等頻面示意圖；（b）空氣與單軸各向異性晶體的界面折射；（c）單軸各向異性晶體中o光和e光的等頻線，不同顏色的箭頭線分別代表入射光，o光折射和e光折射

在一定的入射角θ下，入射波矢的x分量kx=k0sinθ，當θ=30°時，kx/k0=0.5，如圖1（c）中的豎直點線所示。根據光波在界面上相位相等的條件，o光和e光的折射光的x分量也應該是0.5k0。這條kx=0.5k0的豎線分別與空氣中光的等頻線，o 光和e 光的等頻線相交于a(a′)，b(b′)和c(c′)點。由于入射波沿z軸正方向，所以只能通過在a、b和c三點處分析其入射和折射情況。連接坐標原點與a點的矢量就代表入射光，其與z軸之間的夾角也就是入射角。在b和c點作垂直于等頻線且指向傳播方向的矢量就是o 光和e 光的折射光，它們與z軸之間的夾角也就是o光和e光的折射角。從圖1（c）可以看出，o光和e光折射角不同，并且會隨著等頻線形狀的變化而改變，也就是隨著各向異性介質主軸介電常數和磁導率的不同而發生變化。

圖2（a）是單軸各向異性晶體界面o光和e光在不同入射角下的能量折射角，從圖中可以看出，無論是o光還是e光，其能量折射角的值均隨著入射角的增大而增大。根據式（2），發現o光的等頻面與?z無關，只由?x和?y決定，而e 光的等頻面與?z有很大的關系。在圖2（a）中，保持?x=?y=4 不變，分別取?z為1.5、2、2.5，發現隨著?z的增加，e 光的折射角逐漸減小。對于這樣的單軸各向異性介質界面，其反射率隨著入射角也會有所不同。圖2（b）是?x=?y=4，?z=1.5條件下，o光和e光的界面反射率，可以看出，o光的反射率隨著入射角的增大而增大，而e 光的界面反射率隨著入射角的增大先減小后增大，在滿足布魯斯特角時會出現零反射。

圖2 （a）單軸晶體界面o光和e光的折射角與z軸介電常數的關系；（b）?z=1.5，?x=?y=4，o光和e光的界面反射率

為了直觀地理解雙折射的物理圖像，對30°入射角的o光和e光的界面折射情況進行了電磁仿真模擬。圖3（a）和（b）分別是使用電磁仿真軟件Comsol進行模擬的e光和o光折射的場分布情況，白色箭頭線和藍色箭頭線分別代表入射和折射光。很顯然折射電磁場和入射場分別處在法線的兩側，說明為正折射，并且e光和o光的折射角分別是35°和14°，與理論分析也非常的吻合。

圖3 （a）和（b）分別是模擬的e光和o光折射的場分布情況，其中?z=1.5，?x=?y=4，入射角為30°

3 超材料界面的折射性質

在前面的討論中，無論是e光或o光，晶體的主軸介電常數和磁導率都是正值，所以其3維的等頻面是橢球面，2維的等頻面是橢圓。隨著光學的發展，一些具有奇異特性的超材料在實驗上制備出來。超材料[9]是指一些具有天然材料所不具備的超常物理性質的人工復合結構，多是一些亞波長金屬或介質微結構，通過局域共振機制或米氏散射機制實現了任意的有效介電常數和有效磁導率，從而導致新奇的光調控能力，如負折射、超分辨成像、隱身、場局域和增強自發輻射等[7,10]。由于奇異的電磁性質和應用，超材料成為國際上光學、凝聚態物理、信息科學等學科的前沿研究領域，不但可以調控光的全吸收、全透射和反射相位等，而且可以調控空間場的分布。對于超材料來說，介電常數和磁導率的張量參數可以具有不同的符號（正或負）和數值，在應用上具有很大的靈活性。這里考慮超材料的磁導率也是各向異性的，取?z=1.5，?x=?y=4，μx=μy=1，μz=-1，很顯然這是一個單軸各向異性材料，根據式（2）和（3），可以計算e光和o光的3維和2維等頻面。圖4（a）是這一單軸各向異性超材料中o光和e光的2維等頻線，o光的色散關系為一雙曲線，透射波的波矢＞0總是成立的，e光的色散關系為一橢圓，其中紅色點線代表空氣中光波的等頻線。根據能流公式（4）中So的表達式，需要選擇雙曲線的上半支(kz＞0)以保證能量沿z方向傳播。根據前面介紹的判斷能量折射的方法，就可畫出e光和o光的折射情況。

在圖4（a）中不同顏色的箭頭線分別代表入射光、o光折射和e光折射，在一定入射角下，e光具有正的能量折射角，而o光總是具有負的能量折射角。圖4（b）是空氣和單軸各向異性超材料界面處o光和e光不同入射角下的能量折射角，無論是o 光還是e 光，其能量折射角的值均隨著入射角的增大而增大。為了直觀地印證這一點，對30°入射角的情況進行了電磁仿真模擬。

圖4 （a）單軸各向異性超材料中o光和e光的2維等頻線，點線代表空氣中光波的2維等頻面，不同顏色的箭頭線分別代表入射光、o光折射和e光折射，垂直點線代表的是30°入射角；（b）單軸各向異性超材料界面o光和e光在不同入射角下的能量折射角，其中，?z=1.5，?x=?y=4，μz=-1

圖5（a）和（b）分別是模擬e光和o光折射的場分布情況，可見折射角分別是35°和-14°。根據超材料主軸介電常數和磁導率的取值情況，超材料界面會出現o光或e光的全反射、全透射和負折射，此外雙軸各向異性介質界面的復雜折射情況也可以借助等頻面進行直觀地理解和分析。

圖5 （a）和（b）分別是e光和o光折射的場分布，其中?z=1.5，?x=?y=4，μz=-1，入射角為30°

4 結論

綜上所述，本文主要利用等頻面分析了單軸各向異性介質界面處的光學反射與折射性質，計算了e光和o光在單軸各向異性晶體中的折射情況。在理論分析的基礎上，利用電磁仿真軟件對各向異性介質中光的雙折射場分布進行了模擬。利用等頻面方法還分析、計算了雙曲色散超材料中的負折射，使學生對光學前沿課題有所了解。這種采用等頻面分析與軟件模擬相結合的方法，加深了學生對雙折射物理圖像的深刻理解，激發了學生的學習興趣，提高了課程教學效果。