高中數學教學中的化歸思想

羅偉胡

【摘要】化歸的思想是我們在高中數學中使用的最基本的一種思想和方法之一，熟悉和理解掌握化歸思想對于其它各種數學思想和方法的學習都有很大的幫助，化歸思想在高中數學中無處不在。

【關鍵詞】轉化;化歸思想

《數學思想方法與中學數學》中明確指出，現代數學理論思想研究方法主要指的是對于現代數學知識的一個具體本質理性認識，是對于現代數學發展規律的理性認識，是從具體化的數學思想內容和其它具體數學思想認識結合過程中逐步提煉和不斷上升的一種重要數學思想觀點，它在目前人們普遍認識的數學活動中反復發生應用，帶有一定普遍性和重要指導意義。我國現代高中數學中常見的一些高中數學基礎理論和研究思想及其研究討論方法主要包括有：化歸思想、分類討論思想、函數與方程思想、數形結合思想等。化歸思想是目前我國整個現代化的高中數學中最常見和最為典型的一種思想教學方法之一，其它的思想教學方法大多都蘊藏著這樣一個數學思想，既是各種思想方法的基礎，更是各種思想方法的靈魂。學習和掌握化歸思想有利于其它數學思想方法的掌握。例如，分類思維討論中的的思維分析局部和思考整體之間的結合轉變，數形相互間的結合轉變思維討論中的代數和幾何圖形之間的相互結合轉變。歷史上應用化歸思想的典型例子不勝枚舉，例如，笛卡爾的“萬能方法”、納皮爾的“對數法”都被普遍認為是其的一個典型代表。

化歸思想的本質就是聯系與轉化。所謂“解決數學問題”是指我們通過觀察、分析、類比、聯想等多種思維方法和過程把自己未知的轉化成了我們所熟悉的事物，把陌生的問題變成了我們所熟悉問題，解決數學問題的過程也就是我們一步步地化歸的過程。數學理論中的化歸無處不在，如，未知問題轉化成了已知的問題， 復雜的問題轉化成了簡單的問題，新知識轉化成了舊知識，多元問題轉化成了一元問題。化歸思想的基本概念是：在研究和解決數學問題時，往往是將待分析和解決的問題A，通過某種轉化的手段，轉化成為另外一個相對較易分析和解決的問題B。例如：

（1）代數中求解方程的一般思路是高次化歸為低次，多元化歸為一元，分式方程可以化歸為整式方程，無理方程可以化歸為有理方程。

（2）三角函數中的誘導公式，我們可以把任意一個角的三角函數化為銳角三角函數，把不同角的三角函數化為相同角的三角函數。如，人教版基礎教材必修4第三章“三角恒等變換”，這章的主要內容就是運用三角函數的公式對其進行不同類型三角函數的變換，角的變換，結構形式的變換，培養了學生恒等變形的思想，彰顯了求變化歸的思想。

（3）高中解析幾何的主要內容是把直線、圓、圓錐曲線化歸為代數問題。

（4）高中立體幾何的主要研究內容是把空間的問題化歸為一個平面的問題，也可以把幾何問題化歸為向量問題。人教版數學課程選修2-1第三章的主要內容分別是空間向量和立體幾何的內容，立體幾何主要目標是為了解決空間圖形之間的形狀、大小及其所在位置的關系。教材一開始就講述了空間向量可以表示的點、線、面等位置，然后運用空間向量表示空間直線、平面之間的平行、垂直、夾角等，把空間幾何問題轉化為空間向量問題。

下面，我們通過具體的例子講講高中數學中的化歸思想。

例1.（2016年文數全國新課標2）函數f（x）=cos2x+

6cox（-x）的最大值為（? ? ）

A. 4? ? ? ? ? ? ?B. 5? ? ? ? ? ? ? C. 6? ? ? ? ? ? ? ?D. 7

【解析】函數f（x）=cos2x+6cox（-x）=1-2sin2x+6sinx，令t=sinx（-1≤t≤1），可得函數y=-2t2+6t+1=-2（t-）2+

，函數y=-2t2+6t+1在[-1，1]上單調遞增，即當t=1，x=2kπ+，k∈z時，函數取得最大值5.故選B.

【問題分析】這道題主要是通過對三角函數進行了考查，運用二倍角公式和誘導公式轉化為同名同角三角函數，再轉化為求二次函數的最值。

例2.若角的終邊在直線x+2y=0上，則的值（? ? ）

A. 11 ? ? ? ? ?B. 3? ? ? ? ? ?C.-11? ? ? ? ? ?D. -3

【解析】角a的終邊在直線x+2y=0上，∴tana=，∴，故選B.

【問題分析】本題考查利用直線斜率的定義，把斜率轉化為三角函數，求出tana，化簡代數式，把正弦余弦轉化為正切。

例3.已知直線l：x+y=3與x軸，y軸分別交于點A，B，點P在橢圓上運動，則△PAB面積的最大值為（? ? ）

A. 6 ? ? ?B.? ? ? ? C.? ? ? ?D.

【解析】設點P，則P到直線AB的距離為=，又A（3，0），B（0，3），則AB=3，所以△PAB面積為S=×3×

≤.故選D.

【問題分析】本題主要考查橢圓的參數方程以及利用參數方程求最值問題，利用參數方程設出橢圓上的點的坐標，把二元x、y轉化為一元θ，轉化為三角函數求最值即可。

例4.已知函數f（x）=，則方程f（x）=ax恰有兩個不同的實根時，實數a的取值范圍是（? ? ）

A.? ? ? ? B.? ? ? ? ?C.? ? ? ? ?D.

【解析】作出f（x）與（x）的函數圖像，如圖所示：

設直線y=ax與y=lnx相切，切點坐標為，則，解得

由圖像可知≤a<當時，兩圖像有2個交點，故選B.

【問題分析】這道課題主要考查了方程的解與函數圖像之間的關系，導數的幾何含義，數形相互結合的思想。把一個方程的解變成了兩個函數圖像之間的交點，作出函數圖像，根據圖像和交點的個數判斷a的范圍，最后將其轉化成利用導數在幾何上的含義來尋找參數。

通過以上的例子，我們發現高中數學中化歸思想無處不在，熟悉掌握化歸思想有利于高中數學教學。化歸思想在高中數學教學中有著重要意義：（1）有利于我們正確地理解和運用中學數學中基本的概念和方法;（2）有利于新知識的深入學習和熟練掌握;（3）有利于培養學生的解題技巧;（4）有利于培養學生建立起一個完整的知識框架和認識體系。

參考文獻：

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[2]潘永.數學化歸思想及其探研[D].南京師范大學，2004.

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