微分中值定理的研究

白瑞霞

（南京工業大學浦江學院，江蘇南京 211134）

0 引言

中值定理在數學分析起著重要的作用,而導數本質上只反映函數在一點的局部特征，如果我們希望了解一個函數的整體特性，我們就必須在局部與整體之間建立某種聯系，而建立此聯系的橋梁正是作為核心的中值定理,同時也是探究函數在某個區間性質的強有力的工具。微分中值定理不僅在理論上很重要，而且在我們日常生活中的應用也很廣泛。在這篇短文中，我們試圖對中值定理的應用做一個較為系統的闡述和總結，希望能夠拋磚引玉，對中值定理的研究和教學起到一定的參考作用。

1 微分中值定理

1.1微分中值定理的簡述

我們知道，羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統稱為微分中值定理。它們之間有著密切的聯系，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，它們之間的具體關系我們可以用下面的例題來將它們聯系起來。

例1.1.1設f(x)，g(x)，

?

(x)在[a,b]內可導，試證：存在ζ∈（a,b）使得

F

= 則Cauchy中值定理就變成Lagrange定理。從而Cauchy中值定理可視為Lagrange定理在表達形式上的推廣。

1.2 微分中值定理的推廣

前面我們已經討論了中值定理之間的關系，接下來我們來看它們的推廣。從前面的內容我們知道，這三個定理都要求函數在閉區間[a,b]上連續，在開區間（a,b）內可導。那么如果我們把定理中的閉區間推廣到無限區間，再把開區間推廣到無限區間的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應的定理或結論呢？

通過討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區間推廣到無限區間上可以得到幾個相應的定理，本文在此只提到其中的一個，下面給出定理。

1.2.1 泰勒(Taylor)定理

若函數f在[a,b]上存在n階的連續導函數，在（a,b）上存在（n+1）階導函數，則對任意給定的x，x∈[a,b]，至少存在一個點ζ∈（a,b），使得

1.2.2 帶佩亞諾(Peano)型余項的泰勒公式

稱此式為(帶佩亞諾(Peano)余項的)麥克勞林公式。

1.2.3 帶拉格朗日型余項的泰勒公式

2 微分中值定理的應用

2.1 討論存在性

例2.1.2：設f(x)在[0,1]上連續，在（0,1）內可導，且f(1)=0，求證：存在ζ∈（a,b），使

2.2 利用Lagrange中值定理證不等式[3]

例2.4.1利用微分中值定理證明：

2.3 證明恒等式及等式

2.4 求近似值

幾個微分中值定理給出了計算近似值減少誤差的方法，若能構造出合適的輔助函數，利用具體的中值定理就能得出近似值。

當要求的算式不能得出它的準確值時，即只能求出其近似值,這時微分中值定理是解決這種問題的最好方法。

3 微分中值定理的應用總結

上述我們已經詳細的給出了微分中值定理的一部分應用，另外微分中值定理還有求行列式的值、求高階導數在某些點的數值、求初等函數的冪級數展開式、判斷函數的極值等的應用，我們就不在這里一一舉例。