采用JADE-SVR方法研究波浪和開孔沉箱相互作用

趙沛泓，孫大鵬，吳 浩

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，大連 116024)

開孔沉箱結構能夠顯著降低波浪能量，改善工程海域的波況并減輕結構自重，在保證結構安全可靠的前提下產生良好的經濟效益，目前，在海域海岸工程中已有廣泛的設計應用。

1 研究背景

自20世紀60年代Jarlan[1]等提出開孔沉箱概念以來，國內外學者對開孔沉箱的消浪特性做了很多物模試驗研究[2-6]。然而以往試驗數據通常采用傳統的多元線性回歸方法，分析給出特征物理量和諸多影響因素的計算關系式。這種方法首先要進行單變量分析，將非線性問題線性化，逐一確定每個單變量對特征物理量影響的函數關系(以冪函數為主)，進而利用最小二乘法給出最終的擬合公式。擬合公式的擬合精度與泛化性能有著天然的內在矛盾，用何種策略平衡這一矛盾，使兩者都能達到令人滿意的結果，是許多學者關注的重點。對于傳統的多元回歸分析方法，通過單變量分析+最小二乘估計的操作過程給出最后的回歸函數表達式，由于最小二乘估計是一固定過程不存在分歧，回歸函數的擬合精度和泛化性能，幾乎全部由單變量分析決定，然而恰恰是這一過程完全由人工完成，存在著很強的隨意性。

傳統多元回歸分析方法存在缺陷的根源是缺乏保證回歸函數擬合精度與泛化性能同時滿足條件的機制或說“策略”。而具有相應“策略”指導的機器學習方法無疑是另外一種可行的選擇。

支持向量機SVM是Vapmik等人在1995年[7]基于統計學習理論提出的一種新型的機器學習方法，它用結構風險最小化策略代替傳統的經驗風險最小化策略，使之較傳統的機器學習方法具有更好的泛化性能。支持向量回歸機SVR是SVM在估計函數、處理回歸問題上的推廣。在港口工程領域，SVR的應用較少，2011年Patil S G[8]等利用遺傳算法優化的SVR研究了浮水管式防波堤的透射系數與相關變量間的關系，結果表明，通過SVR學習得到的模型能夠很好地描述各物理量的非線性關系。

本文利用帶有外部存檔的差分進化算法(JADE)優化的SVR對開孔沉箱波浪反射系數及所受波浪力與各影響因子的關系進行回歸分析，對比傳統多元回歸分析方法，評價兩種回歸模型的擬合精度和泛化性能，探討SVR在港口建筑物設計領域旳應用前景。研究結果表明：SVR方法對開孔沉箱波浪反射系數及波浪力的分析具有適用性，與物模試驗值相比，其結果優于傳統多元回歸方法的分析結果。

2 試驗概況

本文中物理模型試驗在大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室的波浪水槽內進行，如圖1所示，水槽長56 m、寬0.7 m、最大試驗水深0.7 m。造波端安裝有液壓伺服推板式造波機，模型布置在距離造波機35 m處，水槽末端鋪設消能緩坡裝置。

圖1 二維試驗波浪水槽Fig.1 The flume used in the experiment

開孔沉箱模型采用1.0 cm厚的有機玻璃制成，模型設計為無頂板形式，前墻開孔、后墻實體，消浪室寬度bc分別為0.15 m、0.20 m、0.30 m。開孔形式為矩形開孔，開孔率μ采用20%、40%兩種型式，開孔位置從水下0.2 m至頂部，等間距開4排孔，不開孔部分均用石子填充。基床前試驗水深d保持0.4 m不變，基床前后肩寬W均為0.25 m。沉箱模型放置在不同高度的基床上，基床高度hm分別為0 m、0.10 m、0.15 m、0.20 m。圖2為模型外觀示意圖。

圖2 開孔沉箱模型示意圖Fig.2 Perforated caisson used in the experiment

為了計算開孔沉箱前波浪反射系數，在沉箱前不等間距布置5個浪高儀，其位置如圖3所示，對于不同的試驗波要素選取適當的浪高儀組合進行數據分析，采用合田良實的兩點法分離入、反射波，進而計算出反射系數。

為了計算開孔沉箱所受波浪力，如圖4、圖5所示，在沉箱開孔板迎浪面、背浪面、后實體板和底板的上面和下面布置多點壓力傳感器，點壓力布置情況如圖3所示。圖中●表示前墻迎浪面和底板測量浮托力點壓力布置情況；○表示前墻背浪面和底板測量滲流力點壓力布置情況。通過采集各個點壓力儀的同步時間序列，積分得到結構受到的總水平力和總垂直力。

圖3 試驗模型布置圖Fig.3 Wave flume and the setup of the model experiment

試驗過程中的波浪條件和模型尺寸變化由表1給出。

表1 試驗條件及試驗參數變化范圍Tab.1 Experimental conditions and the scope of experimental parameters

3 試驗結果及分析

3.1 確定開孔沉箱波浪反射系數及波浪力的影響因素

根據LI[9]的分析，開孔沉箱波浪反射系數Kr與相對基床高度hm/L1/3、相對消浪室寬度bc/L1/3、相對水深d/L1/3、波陡H1/3/L1/3及開孔率μ有關，最終反射系數Kr可表示為

(1)

而開孔沉箱所受波浪力可分為總水平力與總垂直力。總水平力為沉箱迎浪面、背浪面與消浪室后實體板所受波浪力合力；總垂直力為消浪室中動水壓力與沉箱底部所受浮托力的合力。如圖6所示，由于開孔沉箱的結構特性，其所受到的總垂直力與總水平力之間存在一定的相位差，即兩者不在同一時刻到達峰值或谷值。用Pv表示沉箱所受總水平力達到極值時刻對應所受的總垂直力，Pv0表示沉箱在全時間段內所受的總垂直力極值，定義Pv/Pv0為水平力極值時刻對應的總垂直力相對于總垂直力極值的折減系數，可表示為

圖6 不規則波作用下開孔沉箱受力的時間過程線Fig.6 Time series data of total wave forces acting on perforated caisson by irregular waves

(2)

3.2 JADE算法優化的SVR模型

假設有訓練樣本集{(xk,yk)|xk∈Rd,yk∈R,k=1,2…n}，在SVR算法中，目標是尋找一個函數f(x)=wTx+b，使其盡可能平坦且允許樣本值的最大偏差為ε，其中w∈Rn，b∈R，對于容量為l的樣本集，采用ε-不敏感損失函數度量經驗風險，即有

(3)

(4)

式中：常數C體現了f(x)的平坦程度與允許樣本最大偏離程度的折衷。上式是典型的二次規劃問題，可以引入Lagrange函數

(5)

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也等價于拉格朗日對偶問題形式

(7)

根據KKT條件，該極值可通過對拉格朗日函數求導得到

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

通過求解上述最大化問題，可得線性回歸函數為

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當樣本為非線性時，可以先通過非線性映射將原空間中的輸入量x映射到高維Hilbert空間，即x→φ(x)，其中φ(x)∈H，然后在H空間中構造最優超平面

(14)

然而對φ(x)進行顯式表達是困難的，根據Mercer定理，可以找到一個對稱半正定的有效核函數，直接表達出映射函數的內積形式，即

K(xi,x)=<φ(xi)·φ(x)>

(15)

非線性回歸優化問題和線性回歸優化問題形式相同，不同之處僅在于樣本輸入向量變成了向量的映射函數，可以發現映射函數及核函數的引入不影響優化過程，最后，SVR給出的非線性回歸函數為

(16)

本文采用徑向基函數(RBF)作為核函數，即

(17)

SVR的泛化性能與求解過程中幾個參數的取值密切相關，這些參數分別是懲罰系數C、損失函數中的參數ε和核函數參數g，常采用啟發式算法優化這些參數。常見的啟發式算法包括遺傳算法、粒子群算法、差分進化算法、模擬退火算法等。

本文采用Zhang[10]提出的帶有外部存檔的差分進化算法對C、ε、g三個參數進行尋優，尋優過程可以概括為以下幾步：

(1) 隨機生成20組參數初始值{(Ci,εi，gi)|i=1,2,…,20}，每一組參數初始值可以看做是種群中的一個個體，20則代表種群規模；

(2)將訓練樣本集分為5份，取第1份作為預測數據，其余4份作為訓練數據；

(3)將參數值代入優化問題(12)，求解回歸模型，利用模型對預測數據進行計算，得到均方誤差值；

(4)再依次取訓練樣本集中的第2、3、4、5份作為預測數據，其余作為訓練數據，重復上一過程，得到4個均方誤差值；

(5)計算總共5個均方誤差值的均值，作為一步進化過程的個體適應度值，20組參數得到20個適應度，其均值為種群平均適應度，最小值為種群最優適應度；

(6)利用差分進化算法原理進行變異，交叉，選擇操作，得到下一步進化過程的種群，計算新的種群平均適應度，種群最優適應度；

澳大利亞不同年齡段消費者對于酒種的偏好具有較大差異：14～17歲年齡段消費者更偏愛喝預調烈酒，但隨著年齡增長，喜愛瓶裝葡萄酒的消費者占比逐漸增加，而預調烈酒的占比逐漸減少。對于烈酒，14～17歲年齡段消費者消費烈酒比例占該群體總消費酒精飲料的60%，為各年齡階段群體中最高。但隨著年齡的增加，消費者飲用烈酒的比例總體上呈下降趨勢，18～24歲年齡段消費者消費烈酒的比例占該人群總消費酒精飲料的22%，為各年齡階段群體中最高。25～29歲及30～39歲消費者消費普通烈度啤酒占該人群總消費酒精飲料的27%，為各年齡層最高。具體情況見圖2。

(7)重復上一過程，則種群不斷進化，最終達到最大進化步數。這時具有最優適應度的個體代表的參數值，可以認為是最優參數組合。

參數尋優過程中的(2)～(5)即為通常所說的K-折交叉驗證，本文取K=5。

現有波浪和開孔沉箱相互作用的試驗數據216種工況組合，其可分為兩部分，一部分作為SVR模型的訓練數據，一部分作為模型的測試數據，這里隨機抽取162組數據作為訓練數據，其余54組數據作為測試數據。事實上，前人基于傳統多元回歸分析方法擬合公式，是將全部試驗數據進行擬合，而沒有劃分另外的數據進行驗證，所以JADE-SVR中提到的“訓練數據”和“測試數據”的概念對這些回歸模型沒有意義，但是為了便于比較，仍然給出傳統模型對“訓練數據”和“預測數據”的計算結果，這也相當于在一定程度上高估了傳統多元回歸分析模型的預測性能。

以反射系數試驗中162組“訓練數據”為例，進行JADE-SVR模型參數尋優，圖7給出了尋優過程中最優適應度和平均適應度的收斂情況，圖7橫坐標表示差分進化算法的迭代次數，縱坐標表示適應度值，根據前述參數尋優過程可知，適應度即為SVR模型的均方誤差平均值，其值越小，則SVR模型預測性能越好。由圖可以看出，一方面，種群平均適應度下降平緩，表示進化過程中種群多樣性沒有突然性的降低，減少了算法發生“早熟”的可能性，另一方面，迭代后期，平均適應度收斂于最優適應度，表示種群中優良個體保存良好，避免了算法陷入類似隨機搜索的可能。

圖7 JADE算法適應度曲線Fig.7 Fitness curves of optimizing SVR parameters using JADE algorithms

3.3 JADE-SVR模型與傳統多元回歸模型的對比

根據求得的最優參數，建立JADE-SVR回歸模型，對訓練數據和預測數據進行計算，并與傳統回歸分析模型給出的計算值作比較。為了量化比較結果，引入四個評測指標，分別為偏移率Bias、均方根誤差RMSE、散射指數SI和相關系數R，其定義如下

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關于反射系數，分別采用SVR模型、行天強[11]推薦計算公式及2011年《防波堤設計與施工規范》[12]推薦計算公式，對訓練數據和預測數據進行計算，所得結果與試驗值對比，其中，SVR模型與行天強[11]推薦計算公式是由相同試驗數據擬合得到的，2011年《防波堤設計與施工規范》推薦計算公式是由暗基床開孔沉箱試驗數據擬合得到的。各統計評價指標如表2～3所示。由表可知，無論對訓練數據和預測數據，JADE-SVR性能都顯著超過傳統多元回歸模型。由圖8所示，利用JADE-SVR模型所得計算值更加接近真實值，故而能很好地描述反射系數與各無因次變量間的函數關系；另外，JADE-SVR模型不僅對訓練數據的計算達到很高精度，對預測數據也有良好的計算精度，沒有出現機器學習過程中易發生的“欠擬合”和“過擬合”現象。

表2 三種模型關于波浪反射系數計算性能對比(訓練數據)Tab.2 Comparison on computing the wave reflection using three different models (train data)

表3 三種模型關于波浪反射系數計算性能對比(預測數據)Tab.3 Comparison on computing the wave reflection using three different models (test data)

圖8 反射系數計算值與試驗值比較Fig.8 Comparison of Kr between measured and calculated results

表4 三種模型關于水平力峰值時刻垂直波浪力折減系數計算性能對比(訓練數據)Tab.4 Comparison of computing the wave reflection using three different models (train data)

表5 三種模型關于水平力峰值時刻垂直波浪力折減系數計算性能對比(預測數據)Tab.5 Comparison of computing the wave reflection using three different models (test data)

圖9 水平力峰值時刻垂直力折減系數Pv/Pv0計算值與試驗值比較Fig.9 Comparison of Pv/Pv0between measured and calculated results

關于垂直波浪力折減系數Pv/Pv0，分別采用SVR模型、馮延奇[13]推薦計算公式及2011年《防波堤設計與施工規范》推薦計算公式，對訓練數據和預測數據進行計算，所得結果與試驗值對比，其中，SVR模型與馮延奇[13]推薦計算公式是由相同試驗數據擬合得到的，2011年《防波堤設計與施工規范》推薦計算公式是由暗基床開孔沉箱試驗數據擬合得到的。表4～5給出關于水平力峰值時刻對應垂直力折減系數計算評價結果，表6～7給出水平力谷值時刻對應垂直力折減系數計算評價結果。與反射系數計算結果類似，SVR模型給出的計算結果仍好于傳統回歸分析方法計算結果，而《防波堤設計與施工規范》推薦公式計算結果精度偏低，原因在于其沒有考慮基床高度的影響，只適用于暗基床形式開孔沉箱的計算。

表6 三種模型關于水平力谷值時刻垂直波浪力折減系數計算性能對比(訓練數據)Tab.6 Comparison of computing Pv/Pv0 using three different models (train data)

表7 三種模型關于水平力谷值時刻垂直波浪力折減系數計算性能對比(預測數據)Tab.7 Comparison of computing Pv/Pv0 using three different models (test data)

值得注意的是，在以往的工作中，無論是行天強[11]對反射系數Kr或是馮延奇[13]對垂直波浪力折減系數Pv/Pv0給出的多元回歸分析模型，都是將全部216組試驗數據進行擬合，而沒有像本文一樣，只取其中一部分作為擬合數據，另一部分單獨劃出作為預測數據，對擬合后的公式進行預測精度的驗證。因此可以認為在本文中這些多元回歸分析模型的預測精度在一定程度上被高估了。

圖10 水平力谷值時刻垂直力折減系數Pv/Pv0計算值與試驗值比較Fig.10 Comparison of Pv/Pv0between measured and calculated results

綜合來看，JADE-SVR模型相比傳統回歸分析模型，回歸預測性能更佳。其一體現在計算結果更加接近真實值，能更加精確地模擬復雜非線性物理問題，其二在于JADE-SVR作為一種機器學習方法，將回歸分析的全過程交予計算機，省去大量人工工作量。

一般的機器學習方法有可能過高的估計回歸模型的復雜程度，從而發生“過擬合”現象。SVR理論上用結構風險最小化策略代替傳統的經驗風險最小化策略，使之較傳統機器學習方法具有更好的泛化性能，在編程實現上利用交叉驗證進行參數尋優，進一步降低了出現“過擬合”的可能。本文選用試驗數據樣本數量在200～300區間內，從數據分析的結果來看，SVR模型給出的預測精度并沒有顯著低于擬合精度，故而沒有出現“過擬合”的現象，這說明JADE-SVR對本文涉及的開孔沉箱波浪反射系數、垂直力折減系數的回歸分析是適用的。

4 結論

傳統回歸分析方法，在擬合回歸公式之前還要進行單變量分析，從而一一確定各變量的影響階數，這一過程是人工完成的，有一定的隨意性，為了保證擬合公式的泛化性能，通常將各變量的影響階數確定的較低，偏于保守。利用本文建立的JADE-SVR模型對開孔沉箱反射系數、垂直力折減系數進行擬合，對比傳統多元回歸分析法可以發現，JADE-SVR模型對擬合精度和泛化性能都有所改進，可以利用其對波浪-開孔沉箱相互作用問題進行深入研究。

隨著科技的不斷進步和大數據的興起，各行業的分析研究工作都傾向于依靠更加龐大豐富的試驗數據樣本。在港口工程領域，數值模擬方法的不斷完善也為物理模型試驗提供了有益補充，使得數據分析的樣本容量大大增加，這樣機器學習方法具有的高效率、高精確度的優勢將越來越明顯。