基于滑模控制的半掛汽車倒車軌跡跟蹤

張培培，楊自棟，趙相君，姚立健，張 碩

(1.浙江農林大學工程學院，浙江 杭州 311300； 2.長安大學汽車學院，陜西 西安 710064)

0 引言

半掛汽車是牽引車和半掛車之間通過耦合作用組成的動力學系統，具有運輸效率高、成本低等優點，在農耕、地質勘探、運輸等領域得到了廣泛應用。隨著控制技術的發展，國內外眾多學者對自動駕駛半掛車輛系統進行了運動學和動力學建模并提出了相應的控制策略。現有的智能車輛自動駕駛控制系統由縱向運動控制和橫向運動控制共同組成，縱向運動主要控制對象是傳動、驅動和制動系統，橫向運動主要控制對象是轉向系統。半掛汽車自動駕駛的縱、橫向運動控制方法主要有PID控制、模糊控制、滑模控制、模型預測控制(Model Predictive Control，MPC)和非線性模型預測控制(Nonlinear Model Predictive Control，NMPC)等[1-9]。

半掛汽車是存在一定運動約束的一類欠驅動系統，即獨立控制輸入少于自由度的系統，具有非線性[4-5]。許言等[10]對半掛汽車列車進行了彎路行駛軌跡分析。ASTOLFI A等[11]對半掛汽車列車進行了直線和彎路行駛軌跡跟蹤。由于該系統倒車時是非完整約束的不穩定系統，相關學者對半掛汽車列車進行了倒車控制研究[12-13]。

近年來，眾多學者對自動駕駛拖拉機牽引農機具或者掛車系統的路徑跟蹤也進行了廣泛研究。BACKMAN J等[7]基于拖拉機牽引農機具運動學模型設計了NMPC路徑追蹤系統。KAYACAN E等[8-9]基于農用掛車機組縱向和橫向的非線性動力學模型，采用PID控制器使掛車機組有效跟蹤曲線路徑。CARIOU C等[14]研究了拖拉機牽引農機具在田間地頭時轉向和速度自動駕駛控制系統。KARKEE M等[15]對拖拉機單軸牽引農機具系統進行了研究，并設計了基于運動學模型的閉環LQR控制器路徑追蹤。

本文針對自動駕駛半掛汽車倒車時的曲線路徑跟蹤控制進行研究。在系統運動軌跡假設的基礎上建立掛車系統運動學模型。為簡化穩定跟蹤控制器的驗算和求解，應用準確線性化方法對建立的模型線性化，最后采用滑模變結構算法來實現半掛汽車系統的跟蹤控制，使半掛車很快倒入指定路線，并通過仿真手段分析和驗證了控制算法的有效性和實時性。

1 倒車運動學模型建立

半掛汽車倒車時，要求控制器將一輛帶半掛的牽引車倒入指定的軌道，整個過程不能出現別車現象。

為簡化研究問題，作如下假設：車輛只作平行于地面的平面運動；車輛倒車時速度恒定且較低，車輪沒有側滑；牽引車和掛車鉸接點在牽引車的后軸中心。半掛汽車簡化為三輪車模型，其倒車運動軌跡跟蹤模型如圖1所示，掛車后軸中心的實際位置用極坐標(r，φ)表示，用以追蹤半徑為R的期望路徑，極坐標的圓心為期望路徑的圓心O。車輛參數含義如表1所示。

圖1 半掛汽車倒車跟蹤模型Fig.1 Backward path tracking model of tractor-semitrailer system

表1 系統參數

根據圖1模型建立半掛汽車的極坐標下運動學微分方程：

(1)

式中V1——牽引車后軸中心速度

以期望路徑的弧長l=Rφ作為新的時間量標，以(r-R)，θ和(γ-φ)等為控制目標。建立新量l與時間t的關系和半掛汽車的曲線運動學微分方程

(2)

式(1)可以改寫為

(3)

(4)

式(4)可改寫為線性化狀態方程：

(5)

(6)

根據式(6)，求出前輪轉角α：

(7)

式(5)～(6)表明，設計合理的負反饋控制函數u會使系統快速穩定，當時間增加，期望運動弧長l增大時，(r-R)→0，θ→定值，(γ-φ)→90°，即車輛倒車時會追蹤目標曲線。式(7)表明，非線性系統的輸入α由r、θ和γ-φ決定。

2 基于滑模變結構控制算法設計

本文系統的參考軌跡為定曲率弧線，控制的目標是使半掛車沿著參考軌跡運動，前面將非線性半掛汽車系統進行準確線性化為設計反饋線性控制提供了基礎。滑模變結構控制具有響應快速、抗干擾性能好和物理實現簡單等優點，因此該控制方法被用以實現半掛汽車的自動倒車跟蹤控制[17]。

2.1 滑模面參數設計

根據式(5)，線性化系統模型可改寫為

(8)

滑模面設計為

(9)

C=[(c1，c2， …，cn)]

式中C——切換函數矩陣

n——狀態變量的維數，即n=3

為保證滑模變結構控制系統具有良好的動態特性，應合理選擇切換函數矩陣C，C的選取方法主要有極點配置法、二次型最優等，本文采用Ackermann公式簡單有效地進行極點配置[18]。

根據Ackermann公式：

C=[(0， 0， …， 1)][(B，AB， …，An-1B)]-1f(A)

(10)

f(A)=(A-Iλ1)(A-Iλ2)…(A-Iλn)

式中λi——極點

因為系統為3階系統，該系統模型具有3個都位于左半開復平面的極點，其中2個共軛主導極點λ1、λ2由系統的固有頻率ωn和阻尼ζ決定，根據參考文獻[19]，確定ωn=2.26 Hz，ζ=0.70，則主導極點：

為使第3個實數極點λ3對系統的影響小，應使其遠離兩個主極點，取λ3=-10，根據式(10)可以求出C=[40.3 32.0 12.8]。

2.2 基于指數趨近律和準滑動模態的滑模控制器設計

為保證半掛車快速趨近期望路徑同時削弱抖振，采用指數趨近律的方法和準滑動模態控制。為提高系統對外界擾動的魯棒性，準滑動模態控制采用繼電特性進行連續化，則新型指數趨近律的表達式為

(11)

式中ε——等速趨近速率，ε>0

k——指數趨近項系數，k>0

δ——正常數

ε和k決定了趨近切換面時的速度。

(12)

根據Lyapunov穩定性理論，系統是穩定的。結合式(8)和(11)得到半掛車系統的變結構滑模控制函數：

(13)

3 路徑跟蹤仿真試驗分析

基于以上分析，在Matlab/Simulink環境下搭建仿真模型并進行半掛汽車沿曲線自動倒車路徑跟蹤仿真驗證。假設倒車時運動速度穩定在1 m/s，其模型參數：L1=2 m，L2=2.8 m。設置初始時刻為t0=0，末端時刻t1=30 s，求解算法采用定步長龍格-庫塔數值解法，設定模型仿真步長為0.01 s。

初始條件：r=21 m，R=20 m，θ=π/18，γ=π/2，φ=π/10。仿真試驗結果如圖2所示。

圖2 倒車軌跡跟蹤仿真結果Fig.2 Backward path tracking simulation results

從圖2中看出，線性化系統的狀態變量ξ經過較短時間收斂到0，掛車的重心P點的實際半徑與期望半徑差r-R=ξ1收斂到0，前輪轉角α快速收斂到-8.6°，掛車與牽引車中心線的夾角θ、 (γ-φ)分別收斂到7.9°與90°。這表明掛車的回轉中心O2收斂于期望路徑的圓心O，由此可見設計的控制器可對半掛汽車倒車時進行跟蹤。

4 結束語

(1)對半掛汽車系統運動規律進行了分析，以此建立了極坐標下該系統倒車時曲線運動路徑跟蹤模型，為達到簡化運動的目的，應用準確線性化方法對建立的系統模型線性化。

(2)采用滑模變結構控制設計了半掛汽車的倒車跟蹤控制算法。利用Matlab/Simulink對系統仿真試驗驗證了該控制算法具有良好的道路跟蹤精度和動態性。