非對稱局部壁厚減薄海底管道的屈曲分析

武 行，趙海盛，李 昕

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

海底管道常年處于深海復雜環境中，會承受較高的外部壓力。而管道在較高的外部壓力作用下容易發生局部坍塌，從而導致屈曲傳播甚至整體垮塌，目前國內外針對這一問題已經進行了廣泛的研究[1-11]。Timoshenko[12]導出了均布外壓下圓環彈性屈曲的解析解。基于Donnell和Sanders的薄殼理論和Von Karman的非線性假設，Salahshour和Fallah[13]研究了外壓作用下細長圓柱殼的局部彈性屈曲，并用Ritz方法得到了屈曲載荷和靜力平衡曲線。金夢石等[14]去除了以往公式的中面環向應變等于零的假定，進一步研究了無限長圓管在彎矩與外壓作用下的非線性彈性穩定性問題。賈旭等[15]根據單層保溫管道的結構特點、橫截面上作用力的層間傳遞性和變形協調條件，建立了靜水壓力作用下海底單層保溫管道彈性壓潰屈曲分析計算方法。袁林[16]通過理論及有限元的方法進行了軸向拉力和彎矩組合作用及靜水壓力、軸向拉力和彎曲共同作用下管道的屈曲模式和極限承載力分析。李濤[17]應用試驗及數值方法對彎矩和外壓聯合作用下具有初始橢圓度的管道進行了屈曲穩定性研究，發現彎曲荷載和初始橢圓度長軸之間的夾角是影響管道抗壓性能的關鍵因素。然而，上述的研究工作都是針對完整或具有初始缺陷管道的情況。在管道服役過程中，外部海水及內部原油的腐蝕會使其內部和外部產生腐蝕缺陷，并導致管道壁厚局部變薄[18-20]，影響管道的坍塌能力。因此，準確評估含有腐蝕缺陷的深海管道的坍塌能力至關重要[21-23]。Xue和Hoo Fatt[24]建立了含有局部壁厚減薄的無限長圓柱殼彈性屈曲壓力的解析解，并與有限元分析結果進行了比較，驗證了解析解的有效性。根據Xue和Hoo Fatt[24]的研究工作，Yan等[25]重新推導了腐蝕圓環在外壓作用下的彈性屈曲壓力公式，并結合中曲面不可拉伸條件，提高了公式的精度并進一步發展了適用于兩個腐蝕區域和彈塑性坍塌情況的公式[26]。但上述公式僅適用于對稱壁厚減薄(內表面及外表面的局部壁厚減薄深度相同)的管道，如圖1。事實上，管道內、外表面的腐蝕深度通常是不同的，如腐蝕缺陷僅位于管道內或外表面等，這種情況稱為非對稱局部壁厚減薄。Sakakibara等[27]通過小尺寸管道試驗和非線性有限元模擬，對含有內部腐蝕缺陷的管道進行了坍塌壓力分析。Netto等[28-29]通過含有外部缺陷管道試驗，研究了缺陷尺寸對屈曲壓力的影響，并通過有限元分析確定了管道各種材料和幾何參數的坍塌壓力。Wang等[30-32]應用有限元與試驗結合的方法對高外壓情況下的外部點腐蝕管道進行了廣泛的參數研究，發現除了點腐蝕坑的深度外，點腐蝕區域大小也對管道的壓潰壓力有很大影響。值得注意的是，上述研究中腐蝕管道屈曲壓力是基于數值模擬及試驗得到的，且僅限于內部或外部腐蝕缺陷的情況。目前，還沒有腐蝕缺陷位于管道徑向任意位置時的外壓屈曲壓力分析公式。

因此，基于殼體穩定性理論，推導了含非對稱腐蝕缺陷情況下管道外壓彈性屈曲壓力計算公式，應用相應的有限元模型驗證了公式的準確性，并對壁厚減薄位置、深度、角度進行了參數敏感性分析，以期為非對稱缺陷腐蝕管道承載力的評估提供一種可靠的理論計算方法。

1 傳統理論公式

基于平面應變假設，可將無限長圓柱管的截面視為一個圓環模型來進行求解。考慮一個平均半徑為R、壁厚為t的圓環，如圖1所示，橫截面中曲面任意點的位移可表示為(w，v)，w和v分別表示沿管道中曲面徑向和周向的位移。為了使腐蝕管道屈曲壓力易于計算，作出了以下假設：

圖1 具有對稱局部壁厚減薄的管道截面示意 Fig. 1 Geometry of pipe cross-section with symmetric local wall thinning

1) 管道被認為是薄壁結構；

2) 管道的變形可以簡化為二維問題，即管道的變形發生在其橫截面平面內；

3) 管道截面中性線的延長可忽略不計。

基于這3個假設，圓環的徑向位移僅取決于角度θ，即w=w(θ)。由圖1可以看出，圓環由兩個不同厚度的區域組成，即腐蝕區域和完整區域，這兩個區域具有相同的中性軸，這種非均勻管道截面稱為對稱壁厚減薄截面。Fatt[21]在Timoshenko[12]公式的基礎上，提出用壁厚分段的方法來表示這種截面形式，兩個不同區域的壁厚分別為：

(1)

式中：tu為完好區域厚度，tc為局部壁厚減薄區域厚度，tc=tu-h，h為局部壁厚減薄深度，θc為局部壁厚減薄的半周向范圍角。

含對稱腐蝕缺陷情況下管道外壓彈性屈曲壓力控制方程可以表示為[24]：

(2)

(3)

其中，wc和wu分別為腐蝕區和完好區的徑向位移。式(2)和式(3)中的簡化參數k1，k2可表示為：

(4)

(5)

其中，E和μ分別為彈性模量和泊松比，p為外壓，R為平均半徑。

(6)

(7)

求解方程(2)和(3)并將解代入相應的邊界條件，即可得到外壓作用下含有對稱壁厚減薄圓環的屈曲壓力。

2 截面非對稱減薄管道屈曲

2.1 理論公式的提出

如圖2所示，在非對稱局部壁厚減薄情況下，局部壁厚減薄區域和完整區域具有不同的中性軸，所以，平均半徑R可分段描述為：

圖2 具有非對稱局部壁厚減薄的管道截面示意Fig. 2 Geometry of pipe cross-section with an asymmetric local wall thinning

(8)

式中:Rc和Ru分別是局部壁厚減薄區域和完整區域的平均半徑。圖2中，hi和he分別表示內部和外部壁厚減薄深度，總減薄深度h=he+hi。因此，局部壁厚減薄處的平均半徑Rc=Ru+(hi-he)/2。非對稱局部壁厚減薄管道屈曲的控制方程可通過將Rc帶入式(2)和(3)中得到：

(9)

(10)

其中，

(11)

顯然，當hi=he，k1n=k1，式(9)和(10)可退化為具有對稱局部壁厚減薄管道的控制方程(式(2)和(3))。此外，通過在式(11)中分別設hi=0和he=0，可以獲得兩種特殊情況，即具有外部壁厚減薄的管道(圖3(a))和具有內部壁厚減薄的管道(圖3(b))。

圖3 內部和外部局部壁厚減薄的管道截面幾何結構Fig. 3 Geometry of pipe cross-section with internal and external local wall thinning

求解式(9)和(10)可得：

wc=A1sink1nθ+A2cosk1nθ， -θc≤θ≤θc

(12)

wu=B1sink2θ+B2cosk2θ，θc≤θ≤2π-θc

(13)

1) 對稱屈曲模態

對于對稱屈曲模態，邊界條件可以表示為:

(14)

wc|θ=θc|=wu|θ=θc|

(15)

(16)

由邊界條件(14)可得:

A1=0

(17)

B1=B2tank2π

(18)

將式(17)和(18)代入式(12)和(13)得到:

wc=A2cosk1nθ， -θc≤θ≤θc

(19)

(20)

通過將式(19)和(20)代入邊界條件(15)和(16)可以得到如下兩個方程:

(21)

(22)

將式(21)和(22)兩式相除，可以得到對稱模態特征方程:

k2tank2(π-θc)+k1ntank1nθc=0

(23)

通過聯立方程(7)、(11)和(23)，根據文獻[24]中的計算方法，得到對稱屈曲模態的彈性臨界屈曲壓力:

(24)

2) 反對稱屈曲模態

對于反對稱屈曲模態，邊界條件為:

(25)

wc|θ=θc|=wu|θ=θc|

(26)

(27)

為滿足邊界條件式(25)，則：

A2=0

(28)

(29)

將式(28)和(29)代入式(12)和(13)得到：

wc=A1sink1nθ， -θc≤θ≤θc

(30)

(31)

聯立式(26)、(27)、(30)和(31)，可以得到：

(32)

(33)

通過對式(32)和(33)的簡單計算，可以得到反對稱屈曲情況下的臨界屈曲壓力特征方程：

k1ntank2(π-θc)+k2tank1nθc=0

(34)

通過求解式(7)、(11)和(34)，可以得到反對稱屈曲情況下的歸一化臨界屈曲壓力[24]：

(35)

其中，k2是由式(34)求得的特征值。

2.2 對比研究

采用有限元模型對受外壓作用下含有非對稱局部壁厚減薄管道進行特征屈曲分析。使用的材料性能和幾何參數與文獻[24]相同，如表1所示。有限元模型的局部壁厚減薄沿管道軸向全長均勻分布，采用C3D8R單元。圖4為含有非對稱局部壁厚減薄管道的網格劃分，軸向單元網格尺寸選取0.02R，并且細化了局部壁厚減薄(θc區域)以及相鄰區域(θd區域，大小與θc區域相同)的網格：厚度方向網格劃分為3個單元，周向每2.5°一個單元；其他區域在厚度方向網格劃分為5個單元，圓周方向上每5°一個單元。為了驗證上述網格劃分的正確性，進行了大量的收斂性測試。邊界條件方面，對Y-Z平面上的節點施加對稱邊界條件，對Z=L平面上的節點施加固定約束，在管道外部施加均勻的外部壓力。采用特征屈曲分析方法進行計算，取一階模態特征值與所施加的外部壓力的乘積作為屈曲壓力。

表1 對比研究中的管道參數Tab. 1 Pipe parameters used in the comparative study

圖4 非對稱壁厚減薄管道模型的網格劃分示意Fig. 4 Model geometry and mesh strategies for a pipe with asymmetric wall thinning

圖5 由文中公式得到的臨界屈曲壓力與有限元分析結果的比較Fig. 5 Comparison of critical buckling pressure obtained from present formula and FE analysis

除有限元驗證外，還將理論公式與以往理論進行了對比研究。圖6為通過考慮腐蝕的不對稱性，分別對文中公式和Xue和Hoo Fatt[24]公式的計算結果與有限元結果之間的偏差進行的比較。顯然，從圖6中可以明顯看出，Xue和Hoo Fatt[24]的公式在預測臨界屈曲壓力時存在較大的偏差，特別是在hi/tu=0.1，he/tu=0.4和θc=90°的情況下，其偏差高達16.79%，出現這一現象的主要原因在于對稱壁厚減薄公式并未考慮中曲面的變化而產生的額外偏心荷載對屈曲壓力造成的影響。因此，上述研究證明了對于非對稱壁厚減薄的管道，有必要建立一個單獨的臨界屈曲壓力公式。

2.3 不同參數對屈曲響應的影響

研究了各種缺陷參數對管道臨界屈曲壓力的影響。以對稱屈曲模式為例，考慮了兩種特殊的管道，即內部局部壁厚減薄管道和外部局部壁厚減薄管道。如2.1節所示，分別使he和hi等于零，可直接由原公式推導出內部及外部局部壁厚減薄管道臨界屈曲壓力的計算公式。

圖7 屈曲壓力隨內部和外部局部壁厚減薄角度的變化Fig. 7 The variation of buckling pressure with the angles of internal and external local wall thinning

圖8 局部壁厚減薄較深情況下(hi/tu=0.7)管道屈曲模態隨θc的變化Fig. 8 The variation of buckling mode with θc in the case for deep local wall thinning (hi/tu=0.7)

圖9 屈曲壓力隨內部和外部局部壁厚減薄深度的變化Fig. 9 The variation of buckling pressure with depth of internal and external local wall thinning

屈曲壓力因局部壁厚減薄的徑向位置不同而發生變化，圖10顯示了對稱屈曲模態情況下內部與外部局部壁厚減薄管道屈曲壓力之間的比較。可見，外部局部壁厚減薄管道的屈曲壓力總是大于內部局部壁厚減薄管道的屈曲壓力，且腐蝕深度較淺時，兩者屈曲壓力之間的差異比較明顯。導致內、外壁厚減薄管道屈曲壓力差異這一現象的主要原因是當局部壁厚減薄區域中曲面半徑Rc與完好區域Ru不同時，外部壓力會對圓環產生額外的偏心彎矩。當Rc>Ru(壁厚減薄偏向管道內側)時，偏心彎矩的方向與外部壓力產生的彎矩方向一致，而當Rc

圖10 內部和外部局部壁厚減薄時管道屈曲壓力比較Fig. 10 Comparison of the buckling pressure in pipes with internal and external local wall thinning

以上對比研究驗證了腐蝕位置對屈曲壓力的顯著影響，進一步證實了2.1節中提出適用于不同腐蝕位置的屈曲壓力公式(式(9)～(11))的必要性。

3 結 語

推導一個計算含非對稱局部壁厚減薄管道臨界屈曲壓力的理論公式，并與有限元結果進行了比較，驗證了該公式的有效性。然后，詳細分析了壁厚減薄的深度、角度和位置對屈曲壓力的影響。研究得出的主要結論如下：

1) 對于含有非對稱局部壁厚減薄的管道，提出一個獨立的屈曲壓力公式是必要和關鍵的。將文中公式與有限元結果進行對比，最大偏差為6.52%，大部分偏差在3%以內，說明所提出公式能夠準確的預測非對稱局部壁厚減薄管道彈性臨界屈曲壓力。盡管Xue和Hoo Fatt[24]已經建立了腐蝕管道的理論方程，但在預測非對稱腐蝕區域管道的屈曲壓力時，會產生較大的偏差。例如，當hi/tu=0.1，he/tu=0.4且θc=90°時，Xue和Hoo Fatt[24]的公式和有限元分析給出的結論之間的偏差高達16.79%。

2) 屈曲壓力對局部壁厚減薄的深度和角度有很強的敏感性。當h/tu較大時(h/tu≥0.5)，屈曲壓力在θc的初始階段急劇下降，然后隨著θc的進一步增加而趨于平緩。然而，當h/tu較小時(h/tu≤0.3)，屈曲壓力的下降趨勢相對平緩。當管道的局部壁厚減薄深度較大(hi/tu=0.7)時，隨局部壁厚減薄半周向范圍角的增加，管道的屈曲模態發生了較大變化。隨著θc的增加，管道截面圓環的變形區域逐漸由腐蝕區域擴展到整個圓環。θc對屈曲壓力隨h/tu的變化趨勢有很大影響。當θc較小(θc<45°)時，屈曲壓力隨h/tu增大，其下降的速度逐漸變快。而當θc=45°時，屈曲壓力與h/tu呈近似線性關系。而當θc較大(θc>45°)時，屈曲壓力的變化趨勢與θc較小時相反。

3) 具有外部腐蝕缺陷管道的屈曲壓力大于具有內部腐蝕缺陷管道的屈曲壓力。由于腐蝕缺陷部分與完好部分中曲面半徑的不同，產生了額外的偏心彎矩。外部腐蝕缺陷情況下該偏心彎矩方向與外壓產生的彎矩方向相反，而內部腐蝕缺陷情況下，該偏心彎矩與外壓產生的彎矩方向相同，這就導致當管道承受相同外部壓力時，具有內部局部壁厚減薄的管道比具有外部局部壁厚減薄的管道更容易發生屈曲。