軟體機器人用多孔聚合物水凝膠的摩擦接觸非線性行為*

陳康 沈煜年

(南京理工大學理學院力學與科學工程系, 南京 210094)

1 引 言

作為一種具有網(wǎng)狀結構的高分子聚合物材料[1], 軟體機器人用水凝膠在工程領域中存在著大量應用[2,3].軟體機器人設計中的一些智能結構常需要利用水凝膠的摩擦接觸[4]來實現(xiàn)一定的功能.例如: 水凝膠手指結構抓取小球[5]、軟體機器人行走[6]、水凝膠仿生臂關節(jié)的接觸[7]等.然而, 軟體機器人用水凝膠材料質地柔軟[8,9], 富含水分[10], 發(fā)生接觸行為時, 接觸區(qū)的變形較大.同時外部形態(tài)的變化會影響內部水溶液的狀態(tài), 使水凝膠的力學性能發(fā)生顯著改變, 進而反作用于接觸狀態(tài), 導致摩擦接觸行為異常復雜[11,12].接觸響應不僅會影響軟體機器人的操作精度, 而且直接關系到執(zhí)行任務的成敗, 甚至會導致軟體結構的失效[13,14].

軟體機器人用水凝膠材料發(fā)生接觸行為時, 接觸區(qū)域通常會發(fā)生局部大變形, 導致基于線彈性和小變形的經(jīng)典Hertz接觸理論的計算結果可能會產(chǎn)生較大誤差.Frey等[15]使用顯微壓痕方法測量水凝膠楊氏模量, 用顯微鏡測量微球體正向壓入水凝膠的壓痕深度, 并通過經(jīng)典Hertz接觸理論推導楊氏模量.若將變形量控制在小變形范圍內, 忽略表面摩擦, 一定程度上可避免經(jīng)典Hertz接觸理論的局限性.對于水凝膠接觸大變形問題, Long等[16]利用ABAQUS有限元軟件結合neo-Hookean模型, 數(shù)值模擬了水凝膠正向壓痕實驗, 并對經(jīng)典Hertz接觸理論進行了修正, 得到了適用于特定條件下的簡單經(jīng)驗公式.但對于復雜情況下水凝膠的含摩擦斜向接觸問題未加討論.Yang和Shen[17]對普通柔性手指敲擊過程中的摩擦斜向接觸問題提出了新的計算模型, 初步驗證了其可行性.然而,水凝膠軟體機器人含摩擦斜向接觸時, 摩擦對水凝膠內部應力分布和接觸面摩擦狀態(tài)的影響目前仍然缺乏深入的研究.

本文研究軟體機器人水凝膠驅動器抓取硬質目標體過程中的接觸問題, 利用水凝膠超彈性體模型[18,19], 將接觸過程抽象為水凝膠的含摩擦斜向接觸力學問題, 并進行了數(shù)值計算.討論了水凝膠軟材料的局部大變形接觸行為與小變形線彈性體的Hertz接觸行為的不同點, 分析了Hertz接觸理論應用于大變形接觸行為的局限性.此外, 比較了水凝膠正向接觸與斜向接觸時的復雜響應, 研究了摩擦系數(shù)對水凝膠內部應力分布和接觸面摩擦狀態(tài)的影響.

2 水凝膠斜向接觸分析模型

如圖1(a)所示, 外部激勵作用下水凝膠軟體機器人手對目標體的抓取或軟臂對目標體敲擊, 是一個典型的硬質物體與軟材料的含摩擦接觸-碰撞問題.本文旨在探索水凝膠驅動器與目標體接觸過程中局部接觸區(qū)的摩擦接觸行為的特征和機理.一方面, 實際目標體(鋼球、石塊等)的彈性模量通常比水凝膠大許多, 在接觸過程中變形很小, 可忽略其變形效應; 另一方面, 本文關注的重點是接觸過程中水凝膠的變化情況, 其變形效應明顯.因此,本文將目標體和水凝膠的接觸過程抽象為剛性壓頭與水凝膠的斜向接觸模型.

2.1 力學模型

如圖1(b)所示, 本文針對局部接觸行為, 將水凝膠手指驅動器與硬質目標體的局部接觸簡化為球形壓頭斜向接觸半無限大水凝膠的問題.圖1(b)中, 圓柱形水凝膠的厚度為h, 水凝膠寬度為40h,球形壓頭的半徑為R, 應足夠大以滿足半無限大空間的要求.壓頭受一個大小為δ斜向位移載荷的作用, 斜向位移與豎直方向的夾角為φ.模型中球形壓頭為剛體, 水凝膠材料變形前的初始彈性模量為E0.當φ= 0°, 斜向接觸則轉變?yōu)榻?jīng)典Hertz理論中的正向接觸.

由于水凝膠軟結構容易出現(xiàn)強非線性, 其摩擦接觸行為難以采用解析方法進行分析, 因此本文采用數(shù)值離散方法對水凝膠的斜向摩擦接觸過程進行計算.圖1(c)為水凝膠斜向接觸的離散模型,模型的壓頭部分視為剛體, 水凝膠部分進行網(wǎng)格劃分.局部接觸區(qū)適當加密, 以提高接觸力的計算精度.水凝膠底面節(jié)點的位移約束為零, 其他邊界自由.

圖1 水凝膠軟體機器人的接觸 (a) 示意圖; (b) 力學模型; (c) 離散模型Fig.1.Hydrogel soft robot’s contact: (a) Schematic diagram; (b) mechanics model; (c) discrete model.

2.2 水凝膠材料模型

水凝膠是典型的軟物質, 其力學模型的研究十分復雜.本文軟體機器人用水凝膠材料, 采用超彈性體本構模型[18,19].該模型假設: 1)變形過程中分子體積不可壓縮; 2)變形過程中分子數(shù)目不發(fā)生變化.將水凝膠整體視為均勻的超彈性體, 運用連續(xù)介質力學和分子擴散理論描述水凝膠吸水溶脹和變形過程.

1)超彈性體狀態(tài)方程

圖2為水凝膠在外部溶液或外載荷P的作用下結構的變形示意圖.溶液和水凝膠之間有時存在水分子等物質交換, 會發(fā)生溶脹現(xiàn)象.假設在初始狀態(tài)(即t= 0瞬時), 水凝膠的參考構形為水凝膠干網(wǎng)絡占據(jù)的空間區(qū)域.任意一個質點M0的位置矢量和坐標分別記為R和RK(K= 1, 2, 3, 分別代表x,y和z軸).在后續(xù)任意瞬時t, 水凝膠占據(jù)的空間區(qū)域為即時構形, 原來的質點從位置點M0移動至位置點M, 點M的位置矢量和坐標分別用r和ri(R,t) (i= 1, 2, 3, 分別代表x,y和z軸)表示.根據(jù)連續(xù)介質力學理論, 水凝膠變形梯度的各個分量GiK可表示為

圖2 水凝膠變形示意圖Fig.2.Schematic diagram of hydrogel deformation.

水凝膠變形過程中的能量變化用亥姆霍茲自由能(Helmholz free energy)E(G,C)描述, 該能量為變形梯度G和溶劑濃度C的函數(shù).由熱力學原理, 自由能的變化量應等于外部機械載荷和溶劑所做的功之和, 即:

其中,μ為外部溶液的化學勢,Bi(R,t)dV為水凝膠微元的體積力,Ti(R,t)dA為水凝膠微元的表面力, dV和dA分別表示微元體積和面積.

當微元的變形梯度有一個微小變量 δGiK, 溶劑濃度有一個微小變量 δC時, 微元自由能的變化量可以表示為運用虛功原理, 即外力在虛位移上所做的虛功等于內部勢能的變化量, 水凝膠微元的平衡方程可以表示為

其中,U表示微元的內部虛勢能,Wext表示外部虛功.內部虛勢能可進一步表示為

其中,siK為名義應力.由于外力可以分為體積力和表面力, 外部虛功可進一步表示為

其中 δri為虛位移.將(5)式和(6)式代入(4)式得

將(3)式和(7)式代入(2)式得

對于任意的 δGiK和 δC, (8)式均成立, 故

水凝膠的自由能主要來自于聚合物網(wǎng)絡的伸縮以及溶劑分子與聚合物分子的混合兩大部分.基于Flory-Rehner自由能函數(shù)[20], 水凝膠的自由能函數(shù)可表示為

其中,Es(G)為聚合物網(wǎng)絡變形產(chǎn)生的伸縮自由能,Em(C)為溶液混入聚合物網(wǎng)絡的混合自由能.兩者分別寫為如下形式:

其中,N為聚合物分子鏈數(shù),k為玻爾茲曼常數(shù),T為開爾文溫度,λi(i=1,2,3) 為各向溶脹比,v為溶劑分子體積,χ為混合焓的無量綱量.

假設聚合物大分子和溶劑小分子均不可壓縮,水凝膠體積等于聚合物分子與水分子的體積之和:

利用拉格朗日乘子法將(13)式作為約束引入自由能函數(shù), 得到

其中,HiK表示變形梯度逆的轉置,

為拉格朗日乘子.(12)式和(13)式分別代入(14)式和(15)式,得到水凝膠的狀態(tài)方程, 即3個名義主應力s1,s2和s3以及化學勢μ:

2)自由能函數(shù)的更新

當數(shù)值計算應用上述模型時, 為使用方便, 需要將應變能函數(shù)中的自變量C替換為μ; 同時為了消除自由能函數(shù)中的數(shù)值奇異性, 需要將參考構形(水凝膠干網(wǎng)絡)替換為具有一定溶脹的水凝膠.

對Flory-Rehner自由能函數(shù)E(G,C)運用勒讓德變換(Legendre transformation), 可以得到水凝膠自由能函數(shù)的新形式:

寫為積分形式:

將(19)式代入(2)式, (9)式和(10)式中, 可得

(11)—(13)式代入(18)式中, 可得

其中,I=GiKGiK為變形梯度張量的第一不變量,J=det(G)為變形梯度張量的第三不變量.

將(22)式代入(20)式, 有

根據(jù)連續(xù)介質力學理論, 真實應力可以表示為σij=siKGjK/det(G).將其代入(23)式, 可得

當J= 1時, 自由能函數(shù)(22)式存在數(shù)值奇異性,在數(shù)值計算時, 參考構形需要滿足J＞ 1.選取水凝膠處于各向溶脹比為λ1=λ2=λ3=λ0的自由溶脹狀態(tài)作為新的參考構形, 水凝膠與化學勢為μ0的外部水溶液浸潤并處于平衡態(tài).將λ0和μ0代入(23)式, 并令應力為零, 可得

(25)式為新參考構形下水凝膠的溶脹狀態(tài)平衡關系.相對于水凝膠干網(wǎng)絡狀態(tài), 此溶脹狀態(tài)下水凝膠的變形梯度為

當以干網(wǎng)絡為參考構形時水凝膠變形梯度G可進一步表示為

其中,G′為以溶脹狀態(tài)為參考構形時水凝膠的變形梯度.新參考構形下, 水凝膠的自由能函數(shù)為

具體表達式為

其中,,J′=det(G′).(29)式顯示了以溶脹狀態(tài)為參考構形的水凝膠的超彈性體特性.

2.3 有限元程序中材料模型的具體實現(xiàn)

根據(jù)自由能函數(shù)((29)式), 本文利用ABAQUS用戶自定義超彈性體的子程序UHYPER, 實現(xiàn)水凝膠有限元程序中的材料定義.圖3(a)為本文編寫的ABAQUS的用戶子程序UHYPER的核心部分.子程序主體以FORTRAN語言編寫, 其中的參數(shù)Nv,χ和λ0通過有限元主程序中設置的材料參數(shù)傳遞給子程序, 子程序中超彈性體模型的應變能密度U及其對變形梯度的第一、第三不變量的偏導數(shù)等均由水凝膠自由能函數(shù)得到.

圖3(b)為壓頭與水凝膠斜向接觸事件的ABAQUS數(shù)值計算流程圖.首先, 通過前處理完成幾何模型的建立、材料的設置、約束和外載荷的施加以及網(wǎng)格劃分.其中, 材料的設置包括選擇用戶自定義超彈性體模型并導入自編的水凝膠材料子程序UHYPER, 并在前處理中輸入Nv,χ和λ0的具體數(shù)值.然后, 選擇合適的接觸算法處理壓頭和水凝膠之間的接觸約束.同時, 開啟幾何非線性分析選項以滿足水凝膠大變形計算的要求.此外, 在計算前, 主程序檢查用戶子程序接口是否打開, 并檢驗子程序語法的正確性.最后完成含接觸約束條件的靜力平衡方程的迭代運算.

3 經(jīng)典Hertz接觸理論的適用性分析

Hertz接觸理論是解決彈性體小變形接觸問題的經(jīng)典理論方法, 然而運用經(jīng)典Hertz理論求解水凝膠接觸大變形問題值得懷疑, 本節(jié)擬通過數(shù)值計算, 定量分析水凝膠接觸問題中經(jīng)典Hertz接觸理論的適用性.

3.1 數(shù)值解與經(jīng)典Hertz接觸理論解的比較

剛性球狀壓頭正向接觸水凝膠的數(shù)值實驗中,水凝膠層的橫向半徑為200 mm, 遠大于水凝膠層的厚度h= 10 mm和壓頭半徑R= 3 mm, 水凝膠層可以近似被認為是無限寬.壓頭上施加δ=1 mm的正向位移(φ= 0°), 接觸面無摩擦.因載荷、幾何形狀以及水凝膠層的接觸變形關于y軸中心對稱, 因此采用軸對稱的二維幾何模型來減少計算量.本文采用的水凝膠屬于一類軟體機器人常用的硬質強韌型水凝膠(stiff tough hydrogel)[5,19],不特指某一種化學材料制備的水凝膠.水凝膠處于室溫, 玻爾茲曼常數(shù)與溫度的乘積kT=4×10-21J ,分子體積v=10-28m3, 混合焓的無量綱量χ=0—1.2.為使計算方便, 將等式(5)兩邊同除以kT/v=4×107Pa 進行無量綱化處理.沒有吸收水分子的干水凝膠在小變形條件下的彈性模量為NkT, 一般為104—107N/m2.水凝膠的初始溶脹比選擇為1.5, 屬于典型的硬質強韌型水凝膠(其溶脹比一般在1.2附近).如無特殊說明, 本文數(shù)值算例中水凝膠材料的參數(shù)取Nv=0.001 ,χ= 0.2,λ0=1.5.此類水凝膠屬于具有較高彈性模量, 其初始彈性模量E0約為80 kPa[5].

圖3(a)為剛性球狀壓頭與半無限大空間接觸的局部變形示意圖.經(jīng)典Hertz接觸理論中, 假設接觸導致的變形很小, 接觸體只產(chǎn)生線彈性應變.因此, 壓頭與半無限大空間的實際接觸半徑與圖4(a)中的Hertz接觸半徑幾乎相等, 因此, 經(jīng)典Hertz接觸理論忽略了實際接觸半徑與Hertz接觸半徑之間的誤差.同時, 經(jīng)典Hertz接觸理論也忽略了彈性模量會隨著壓入過程而變化, 將接觸力Fc表示為常彈性模量E和壓痕深度δ的函數(shù):

圖3 有限元方法 (a) ABAQUS用戶子程序UHYPER; (b) ABAQUS數(shù)值計算流程Fig.3.Finite element method: (a) ABAQUS user subroutine UHYPER; (b) ABAQUS numerical computation process.

圖4 剛性球狀壓頭-半無限大空間 (a) 接觸局部變形示意圖; (b) 數(shù)值解與經(jīng)典Hertz理論解的比較Fig.4.Rigid spherical indenter-semi-infinite space: (a) Schematic diagram of local contact deformation; (b) comparison between numerical solution and classical Hertz theoretical solution.

圖4 (b)給出了無量綱量接觸力Fc/(ER2)與無量綱壓下量δ/R的關系, 對比了數(shù)值解與經(jīng)典Hertz理論解.數(shù)值解的收斂性已經(jīng)經(jīng)過驗證, 結果表明, 隨著壓下量的增大, 經(jīng)典Hertz理論的解與數(shù)值解的誤差越來越大, 當δ/R=0.3 時, 二者誤差近似達到了100%, 這證明了經(jīng)典Hertz理論對水凝膠大壓下量接觸問題不再適用.

3.2 經(jīng)典Hertz接觸理論的失效原因

實際水凝膠具有固液兩相性, 接觸過程中, 水凝膠內部液體流動, 會導致其材料參數(shù)、彈性模量和密度等發(fā)生變化, 力學性能表現(xiàn)出明顯的材料非線性.同時, 局部接觸區(qū)的大變形特征, 需要開啟幾何非線性數(shù)值計算才能得到正確的結果.經(jīng)典Hertz接觸理論失效的具體原因主要有以下兩方面.

1)材料非線性

圖5給出了原長和橫截面分別為L0和A0的水凝膠桿兩端受相同大小的力的作用下, 發(fā)生縱向拉壓時橫截面無量綱正應力σ/E0與拉伸比L/L0之間的關系, 其中E0為水凝膠的初始彈性模量, 正應力σ為本文方法的數(shù)值計算結果.桿變形后的長度為L, 截面面積為A.圖5中虛線為彈性模量為E0的線彈性材料桿的σ/E0與L/L0之間的關系.對比水凝膠桿與線彈性材料桿的數(shù)值解可以發(fā)現(xiàn),L/L0在1附近(即變形量較小)時, 二者幾乎重合.隨著L/L0遠離1(即變形量增大), 二者差距迅速變大, 這說明在大變形條件下, 線彈性本構不再適用于水凝膠材料.

圖5 水凝膠材料的非線性Fig.5.Nonlinearity of hydrogel material.

2)幾何非線性

水凝膠屬于軟物質, 接觸易產(chǎn)生大變形, 導致實際接觸半徑與Hertz接觸半徑差異較大.然而,經(jīng)典Hertz接觸理論在推導公式時是基于小變形假設并采用的彈性力學基本原理, 顯然, 水凝膠接觸問題與經(jīng)典Hertz理論的前提假設不符.一般情況下, 在有限元數(shù)值計算中, 小變形假定帶來節(jié)點的位移變化不會改變平衡方程中的剛度矩陣.若考慮幾何大變形, 需要在每一個增量步修改幾何剛度矩陣并進行迭代求解.

4 水凝膠的斜向接觸機理分析

4.1 離散模型(φ = 45°)

水凝膠的斜向接觸不再呈現(xiàn)中心對稱, 需采用三維模型.這里, 取和φ= 45°, 以保證壓頭的豎直方向的壓下量和第3節(jié)正向接觸時的豎直方向壓下量相同.為盡可能滿足減小計算量的要求, 根據(jù)結構和載荷的面對稱性, 本文取整體模型的一半進行計算(見圖6).

圖6 三維有限元離散模型Fig.6.Three-dimensional finite element discrete model.

水凝膠三維模型的局部接觸問題的數(shù)值模擬對接觸區(qū)的網(wǎng)格質量有很高的要求, 網(wǎng)格質量差很容易造成計算精度差、結果不收斂.為了減小計算量, 在模型的非接觸區(qū)采用放射狀的網(wǎng)格劃分, 遠離接觸區(qū)的部分網(wǎng)格密度很大, 而接近接觸區(qū)的網(wǎng)格密度逐漸減小.為保證計算精度, 在模型接觸區(qū)對局部網(wǎng)格進行加密和均勻化的處理(見圖6).

4.2 局部接觸區(qū)應力分布

圖7給出了兩種接觸情況下, 摩擦系數(shù)分別為μ= 0和μ= 0.3時水凝膠的Von-Mises應力分布情況.

從圖7可以看出:

圖7 摩擦力導致的應力變化現(xiàn)象 (a) 正向接觸; (b) 斜向接觸Fig.7.Stress changes caused by friction: (a) Collinear contact; (b) oblique contact.

1)正向接觸時, 高應力區(qū)域出現(xiàn)在接觸面正下方, 摩擦力對水凝膠內部應力的分布情況影響并不明顯.

2)斜向接觸時, 表面摩擦力使水凝膠的內部應力重新分布.無摩擦情況下, 水凝膠內部的高應力區(qū)始終處于接觸面正下方; 摩擦系數(shù)的增大, 使得高應力區(qū)出現(xiàn)在表面和內部兩個不同的位置, 即“雙高應力區(qū)”現(xiàn)象.

4.3 接觸時摩擦系數(shù)對接觸力響應的影響

圖8(a)給出了剛性球狀壓頭接觸區(qū)與x-o-y截面交線上受到的接觸力情況.由于結構和荷載的對稱性, 對接觸弧上的接觸力進行分析, 進一步可推出壓頭整個接觸面上的受力情況.作用于接觸弧上任意一點K的接觸力由該點接觸面法線方向的接觸壓力fn和切線方向的摩擦力ft組成.fn和ft沿坐標軸方向上的投影分別為x軸分量fnx,ftx和y軸分量fny,fty.接觸面上各點的接觸力向點C合成得到Fc和力偶矩M,Fc在x和軸y軸的投影分別為Fcx和Fcy.各接觸點上的ft向點C合成的結果為Ft和Mt; 各接觸點上的fn向點C合成的結果為Fn和Mn.根據(jù)力的合成原理, 顯然有Fc=Ft+Fn和M=Mt+Mn.

各軸的投影分量如圖8(a)所示, 各力投影分量滿足以下關系:

圖8 接觸面各點受力分析及接觸合力Fc的大小 (a) 接觸面各點受力分析圖; (b) 不同摩擦系數(shù)下接觸力Fc的各軸分量Fig.8.Force analysis of each point of the contact surface and the magnitude of the contact force Fc: (a) Force analysis diagram of each point of the contact surface; (b) axis components of the contact force Fc under different friction coefficients.

圖8 (b)給出了不同摩擦系數(shù)下接觸力Fc沿豎直方向的分量Fcy和水平方向的分量Fcx.由于對稱性,z軸方向分量為零.從圖8可以看出, 當壓頭正向接觸水凝膠時, 接觸力的豎直分量始終保持在0.26 N左右, 摩擦系數(shù)對其數(shù)值變化幾乎沒有影響; 當壓頭斜向接觸水凝膠時, 由于水凝膠發(fā)生了切向變形, 導致其接觸力的豎向分量約為0.28 N, 比正向接觸時要大, 同時摩擦系數(shù)對其的影響也很小.另外, 在剛性球狀壓頭水平位移不變的情況下, 斜向接觸與正向接觸相比, 其接觸力的水平分量隨摩擦系數(shù)增大而增大.

分別針對正向接觸和斜向接觸, 圖9給出了不同摩擦系數(shù)下的各點法向接觸壓力的合力和各點切向摩擦力的合力.由于對稱性,z軸方向的分量為零.分析圖9可以得到以下結論.

圖9 不同摩擦系數(shù)下的各點的合力 (a) 法向接觸壓力的合力; (b) 切向摩擦力的合力Fig.9.Resultant force of each point under different coefficients of friction: (a) Resultant force of normal contact pressure; (b) resultant force of tangential friction force.

1)正向接觸時, 隨著摩擦系數(shù)的增大, 各點法向接觸壓力的合力的豎直(y軸)分量Fny呈現(xiàn)先逐漸下降后保持不變的特點, 轉折點出現(xiàn)在摩擦系數(shù)μ= 0.25附近, 但下降幅度很小; 由模型對稱性可知, 各點法向接觸壓力的合力的水平(x軸)分量Fnx約為0.

2)正向接觸時, 各點切向摩擦力的合力的水平(x軸)分量Ftx和豎直(y軸)分量Fty均呈現(xiàn)先逐漸增大后保持不變的特點, 轉折點同樣出現(xiàn)在摩擦系數(shù)μ= 0.25附近.由此可見, 較小的摩擦系數(shù)(μ＜ 0.25)會顯著影響摩擦力在接觸過程中的作用效果, 而較大的摩擦系數(shù)(μ＞ 0.25)對接觸力的變化影響很小.

3)斜向接觸時, 各點法向接觸壓力的合力Fnx與正向接觸的值相差很小, 約0.02 N.但由于剛性球增大了水平(x軸)位移, 使得各點切向摩擦力的合力的水平(x軸)分量Ftx在摩擦系數(shù)較大時明顯增大.當μ= 0.5時, 較正向接觸增大了約5倍.此外, 各點切向摩擦力的合力隨著μ的增大而變向.

為了進一步揭示表面的接觸狀態(tài), 提取處于對稱面x-o-y一側(z軸負方向)的壓頭接觸面上的接觸力數(shù)據(jù).圖10給出了接觸力在不同方向上投影的比值與摩擦系數(shù)之間的關系.此外已經(jīng)證明,Fty/Fnx和Ftx/Fny等于μ則表示x-o-y平面與剛球面交線(弧AB)上各點均處于靜摩擦轉變?yōu)閯幽Σ恋臉O限狀態(tài)(證明詳見附錄A部分).觀察圖10可以發(fā)現(xiàn): 正向接觸時, 摩擦系數(shù)較小(μ＜0.05 ),接觸力投影的比值曲線與參考線(比值等于μ)重合, 表明接觸弧AB所有點處于靜摩擦到動摩擦的極限狀態(tài).進一步地, 由模型對稱性可知, 接觸面所有點處于靜摩擦到動摩擦的極限狀態(tài); 隨著摩擦系數(shù)的增大, 接觸力投影的比值曲線與參考線分離并趨于穩(wěn)定, 但始終處于參考線下方, 這表明接觸面的部分區(qū)域處于穩(wěn)定靜摩擦狀態(tài).斜向接觸時,通過與參考線相比, 發(fā)現(xiàn)Fty/Fnx始終小于μ, 表明接觸弧AB上的部分區(qū)域處于穩(wěn)定靜摩擦狀態(tài).

圖10 不同摩擦系數(shù)下接觸力分量的比值Fty/Fnx和Ftx/Fny (a) 正向接觸情況; (b) 斜向接觸情況Fig.10.Ratios of contact force components Fty/Fnx and Ftx/Fny under different friction coefficients: (a) Positive contact situation;(b) oblique contact situation.

5 結 論

本文研究了水凝膠的斜向接觸大變形行為及其摩擦效應, 數(shù)值計算了水凝膠的正向接觸和水凝膠的斜向接觸兩個算例, 研究得到以下主要結論:

1)水凝膠的材料非線性以及接觸大變形帶來的幾何非線性, 使經(jīng)典的Hertz接觸理論不再適用于水凝膠接觸問題, 并且變形尺度越大, 經(jīng)典Hertz接觸理論的計算誤差越大.

2)斜向接觸時, 摩擦系數(shù)的增大會導致水凝膠的高應力區(qū)由接觸面下方轉移到表面上, 同時使得水凝膠內部出現(xiàn)兩個主要高應力區(qū).

3)接觸面的摩擦系數(shù)會改變接觸面的接觸狀態(tài).正向接觸中, 小摩擦系數(shù)下(μ＜ 0.05)的水凝膠接觸面所有點處于靜摩擦到動摩擦的極限狀態(tài);而斜向接觸中, 任意摩擦系數(shù)下均不會出現(xiàn)所有點均處于靜摩擦到動摩擦的極限狀態(tài).

南京理工大學機器人學與智能機器實驗室(RIML)對本文提供了巨大幫助, 在此深表感謝.

附錄A 關于極限狀態(tài)的證明

命題:當接觸面滿足Ftx=μFny和Fty=μFnx時, 接觸面上任意一點均處于靜摩擦轉變動摩擦的極限狀態(tài).

證明:利用反證明法, 假設接觸面上存在一點P處于非極限摩擦狀態(tài), 即其切向摩擦力與法向接觸壓力fnP的比值為使得Ftx=μFny和Fty=μFnx同時成立.

根據(jù)庫侖摩擦定律, 摩擦力與接觸壓力的比值應小于等于μ, 故點P處的接觸力應滿足條件

因此, 點P處的接觸力的各軸投影分量也滿足

即

(A5)式推論與假設條件矛盾, 故當接觸面滿足Ftx=μFny和Fty=μFnx時, 接觸面上任意一點均處于靜摩擦轉變動摩擦的極限狀態(tài).