正定二次型的習題課設計

尹正

摘?要：高等代數二次型理論中，正定二次型的判定是重點也是難點，不少同學解題時感到無從下手。本文就從基本概念的回顧、正定二次型與正定矩陣的性質、二次型正定及矩陣正定的判定等方面來設計正定二次型的習題課。

關鍵字：高等代數;二次型;正定二次型;習題課

Design?of?an?Exercise?Lesson?of?the?Quadratic?Form

of?Positive?Definite

Yin?Zheng

Yunnan?Normal?University??YunnanKunming??650050

Abstract：Quadratic?form?of?positive?definite?plays?an?important?role?in?the?teaching?content?of?advanced?algebra.?It?is?important?and?difficult?to?determine?whether?a?real?quadratic?form?is?positive?definite?or?not.?This?paper?designs?exercises?of?quadratic?form?of?positive?definite?from?the?aspects?of?concept?review，?properties?of?quadratic?form?of?positive?definite?and?positive?definite?matrix，?determination?of?positive?definite?quadratic?form?and?positive?definite?matrix.

Keywords：advanced?algebra;quadratic?form;quadratic?form?of?positive?definite

1?緒論

在正定二次型的課堂教學中，同學基本上能明白二次型、正定二次型及其與對稱矩陣之間的關系，對正定二次型的各種判定方法也比較容易理解。但是，面對課后具體的各類型判定二次型正定的習題卻感覺解題思路模糊，把握不了解題的關鍵點。因此，我們在正定二次型內容的習題課上，教師不僅要概括和復習主要的知識點，還要對解題的方法進行剖析，幫助學生理清解題思路，特別是通過典型的一題多解例子的講解，使得學生理解不同解法之間的縱橫關系，這樣就可以極大地開拓學生的解題思路，掌握解題的方法，不斷提高學生運用學到的知識去探究和解決問題的能力。

2?概念與結論回顧

習題課開始時，先復習和鞏固二次型的相關概念、定理、化二次型為標準型的兩種基本方法。教師可以借助靈活的教學手段，激發學生的學習興趣，啟發同學們積極思考、理清解題思路，把題目中的已知條件和要解決的問題之間的關系和橋梁搞清楚。下面定理1是最基礎的結論之一，可以從二次型角度和對稱矩陣角度來描述。

3?正定二次型、正定矩陣的判定

為了使學生更好地理解正定二次型、正定矩陣的概念，熟練掌握判定方法，習題課上應結合正定概念的核心內容精選典型例題用多種方法進行講解，經過分組討論等形式，讓學生明白解題的分析過程和解題思路，感受各種解法之間的聯系，并對二次型正定或矩陣正定的證明方法進行歸納和總結，在此基礎上，鼓勵學生進一步探討和加以推廣，培養數學的思維方式，不斷提高解題能力。

經過上面一個典型一題多解例子的講解，不僅使學生加深了對二次型及矩陣正定的相關概念和解題思路的理解，而且，也能歸納總結出判定二次型及矩陣正定的方法與技巧，從而達到開闊眼界、發展思維;尤其是通過分組學習、討論，既有利于學生在主動探究和學習中達到問題的解決，也有利于學生掌握題型、開拓解題思路、熟悉解題方法。

用證法一，即二次型正定的定義和證法三，即用二次型對應的矩陣的各階順序主子式還可以來討論含參數二次型的正定性，例如：

上面的例題是判定二次型或矩陣正定的幾種常用的方法，下面的例題則是考察學生對正定矩陣性質的理解。

分析：由于矩陣????的元素結構沒有給出，像這樣的抽象矩陣無法計算出它的順序主子式，因此，要判斷其正定性，沒法用其順序主子式全大于零來判定。這類問題一般用例1的證法一或證法五，即用定義或用其特征值全大于零這兩種思路來證明。而求抽象矩陣的特征值需要知道矩陣滿足的一定的矩陣關系式，該題目也沒有給出此類條件，因此，這類題目只能用定義來證明。

4?結語

實踐證明，在正定二次型教學的習題課上，教師經過典型例題的詳細分析和多種證明方法的講解，不僅讓學生掌握分析問題和解決問題的方法與技巧，而且，在參與學生分組討論時適當地加以啟發，及時發現和糾正學生分析證明思路的錯誤，引導學生結合所學習的證明方法進行正確的審題，抓住證明的關鍵點有極大的幫助;對證明二次型或矩陣正定有更好的證明思路和證明方法給予充分的肯定和鼓勵，可極大地提高學生學習的興趣和分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

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基金項目：云南師范大學本科教育教學改革研究項目（YNJG?201831）;云南師范大學本科線下一流課程建設項目（2019xxkc28）