基于三維掃描模型的兵馬俑足踝有限元分析

蘭德省，易偉同，祝 磊，蔣永慧，胡云崗，侯妙樂

(1. 秦始皇帝陵博物院，陜西西安 710600； 2. 北京建筑大學土木與交通工程學院，北京 100044；3. 北京建筑大學測繪與城市空間信息學院，北京 100044)

0 引 言

中國作為歷史悠久的文化大國，留下了許多寶貴的文物，具有重要的歷史研究價值[1]。其中陶質文物具有鮮明的中華民族特征，反映了近萬年的文化演變、技術發展和社會變遷，是中華民族先民們所遺留下來的最寶貴的歷史文化遺產之一[2]，兵馬俑則是中國古代陶質文物的杰出代表[3]。兵馬俑的修復與保護一直是文物保護領域的研究熱點。

對于文物的保護和修復過程，常需要多學科、多領域的交叉融合共同完成。其與化學、物理學、地質學、生物學、歷史學、文物保護學、考古學、材料學、美學、力學等方面均有密切的聯系。力學作為基礎應用學科，在文物保護修復中有著十分重要的地位，在文物粘接修復、加固包裝等方面均有諸多的應用[4]。作為大型陶質文物，兵馬俑具有質地偏脆的特性，且體積和重量較大、形狀復雜，因而無論在展陳、運輸還是存儲的過程中，都會受到各種荷載的影響。因此，通過對整俑結構進行力學分析，可了解俑體在外荷載作用下的應力和變形特性，確定整俑結構受力薄弱部位，從而提出有針對性的加固和修復措施，對確保俑體結構的安全穩定具有重要意義。

有限元法是一種計算機數值仿真力學分析方法[5]，具有化繁為簡的特性，是一種適用性強、應用廣泛、結果可靠的結構力學分析方法。在文物保護領域，有限元法較多用于大型古建筑結構，如塔式結構、古代橋梁、古代樓閣、大型石窟等，大多采用木或磚石材料建造而成，力學分析的內容多為地震工況[6-12]。對于陶質文物，其力學方面的研究多集中于材料力學性能方面[4，13]，對文物整體結構的力學特性研究相對很少。因而采用有限元法對兵馬俑進行整體力學分析，對于陶質文物保護方面具有開創性的意義。

對于有限元分析而言，模型精度對分析結果的準確性具有重要影響。兵馬俑形狀不規則、拓撲關系復雜，因而采用傳統建模軟件和方法往往費時且精確度極差。而隨著三維激光掃描、計算機可視化、圖形圖像處理、實物數字化、虛擬現實等技術的迅速發展，文物保護與修復工作也進入了信息化時代[14-15]。基于三維激光掃描、計算機可視化和圖形圖像處理技術的文物碎片逆向建模，則能形成精確的幾何信息，為文物整體結構的力學分析提供可靠的實現基礎。

然而，隨著三維激光掃描技術的快速發展，三維點云采集工具更加精密，從而使得點云數據采集密度越來越高，數據量愈加龐大。海量的數據往往存在數據冗余，因而采用原始數據處理勢必耗費巨大的時間成本，造成計算資源的浪費。因而，對海量點云數據進行簡化處理顯得尤為必要[16-17]。

本研究將利用三維掃描技術獲取兵馬俑殘片的三維點云數據，逆向建立高精度的殘片三維實體模型，并對足踝部分進行有限元力學分析，以研究重力作用下足踝部分的應力和變形特征，進一步探究點云簡化對計算結果的影響，從而在保證計算精度情況下縮短建模時間。

1 材料與方法

1.1 材料、硬件設備與軟件

材料：以一套較為完整的秦俑殘片組為原型進行逆向建模。殘片組包含46塊殘片，整俑高度約1.9 m，總重量約135 kg。其中足踝部分包含8塊殘片，總重量約35 kg。硬件設備：美國法如(FARO)公司的手持式三維激光掃描儀，該儀器可直接將點云掃描數據實時傳輸到逆向建模軟件杰魔(Geomagic Studio)中。軟件：點云逆向建模軟件杰魔(雨滴科技公司，美國)，有限元前處理CAE軟件Hypermesh(阿泰爾公司，美國)，有限元分析軟件ABAQUS(達索公司，法國)。

1.2 點云模型的逆向重建

點云模型的逆向重建原理是將點連成線，進而生成面，最終形成實體。采用杰魔軟件進行點云逆向重建，主要過程分為3個階段：點云封裝、網格修復和精確曲面。

選取足踝部分8塊殘片相應的點云，在點云降噪處理后進行封裝，封裝時最大三角形數設置為點個數的1.5倍。將封裝后的三角網格模型通過網格醫生功能進行錯誤修復，再利用填充孔功能將網格缺損處補齊。最后將修復后的三角網格模型通過精確曲面流程轉化為NURBS曲面，從而實現點云模型的實體化。精確曲面流程包括構造曲面片、構造格柵和擬合曲面。對于構造曲面片的步驟，需要保證曲面的邊界線路徑不相交，同時盡可能減少曲面片角度過小的情況。模型各步驟的處理效果如圖1所示。

圖1 點云模型逆向重建過程

1.3 有限元模型的建立

1.3.1Hypermesh網格劃分 Hypermesh是一個功能強大的有限元前處理軟件，支持多種有限元計算平臺的數據格式交換，在網格劃分方面支持豐富的單元類型和靈活的劃分方法。通過杰魔軟件將NURBS模型導出IGS格式，再導入到Hypermesh中，可進行有限元網格劃分。模型導入后的效果如圖2a所示，可以看出Hypermesh將不同殘片通過顏色進行區別。殘片按照先左后右的順序從1～8進行編碼，其中1～3為右腿底部，4～6為左腿底部，7為右腿，8為左腿。

選取合理的網格類型是保證有限元計算結果收斂的必要條件。秦俑殘片具有復雜的幾何特征和拓撲關系，采用六面體單元時易出現因曲面過于復雜而造成的網格退化情況，從而影響計算精度[5]。因此，采用四面體實體類型(C3D4)作為網格劃分單元。根據該陶俑足踝部分殘片尺寸和形狀，設置網格種子尺寸為4，最終劃分的網格總數為82 254。網格劃分后的效果如圖2b所示。

圖2 有限元建模

1.3.2網格導入與材料屬性 在Hypermesh中將劃分好網格的模型導出為INP格式，再以部件形式導入到ABAQUS中，并進行裝配。裝配后的足踝模型如圖2c所示。可以看出，模型以四面體網格形式直接導入，因而無需再利用ABAQUS網格劃分模塊進行操作。

將導入的所有殘片賦予陶體材料屬性。對于有限元模型的單位體系，長度單位采用mm，力單位采用N，質量單位采用kg。因此對應的密度單位為kg/mm3，應力、強度單位為MPa(N/mm2)。參考現有對秦朝陶俑的力學性能研究[4]，陶體材料屬性參數如表1所示。

表1 材料參數取值

1.3.3接觸和約束 為簡化計算，將相鄰殘片之間的接觸網格面設置綁定約束，如圖2d所示。除此之外，將整體模型的底部網格面的六個自由度全部約束，相當于模型固定在地面上，如圖2e所示。

1.3.4荷載本研究模擬 整俑在重力作用下足踝部分的受力特性，因而將荷載分為兩部分進行施加，如圖2f所示。對于足踝部分，直接添加全局重力，設置重力加速度為9.8m/s2。對于上部結構，則通過施加表面外力的方式代替重力，施加面位于腿部殘片上表面。

對應受力為上部結構重力的一半，即500 N。因此左腿施加的表面力為：

500/9 896=0.050 5(N/mm2)

對于右腿，其荷載施加表面形狀近似于長軸為135 mm，短軸為80 mm的橢圓，因而表面積為：

π/4×140×90=9 896(mm2)

對于左腿而言，其荷載施加表面形狀近似于長軸為140 mm，短軸為90 mm的橢圓，因而表面積為：

π/4×135×80=8 482(mm2)

對應受力同樣為500 N。因此左腿施加的表面力為：

500/8 482=0.058 9(N/mm2)

2 結果與討論

2.1 有限元分析結果

有限元分析結果中的應力應變圖可直觀反映秦俑殘片的應力和變形規律。對于足踝部分而言，各殘片的Mises應力如表2所示，整體應力云圖如圖3a所示。可以看出，模型最大應力位于左腿足踝處，為0.723 MPa，顯著大于其他部位，說明左腿足踝處出現應力集中。對于右腿足踝處，其最大應力相對較小，為0.353 MPa。根據現有研究，秦俑陶片強度在3.6～18.5 MPa之間[4]，因此足踝部分的各處應力遠小于材料強度，結構在重力作用下處于安全狀態。

表2 殘片Mises應力

圖3 整體應力和變形結果

對于結構變形，整體形狀如圖3b所示(為清楚顯示變形狀態，將變形放大1 000倍進行展示)。可以看出最大變形同樣出現在左腿，其對應的絕對值為0.080 mm。相比于右腿以豎向為主的變形特點，左腿變形還出現明顯的側向變形。

2.2 點云簡化參數優化分析

2.2.1點云簡化方法 杰魔提供了統一采樣、格柵采樣和曲率采樣三種點云簡化的處理方法，本研究采用統一采樣的方式。通過調整統一采樣的絕對間距，可以控制點云去除的數量。間距越大，點云去除數越多，保留的點數相應越少。待點云完成簡化后，進行封裝過程，設定封裝的三角形數為簡化后點數的1.5倍。封裝完成后，運行網格醫生和填充孔功能，保證封裝無幾何錯誤。以8號殘片(左腿腿部)為例，該殘片的原始點數目為27 893，對其進行從10%到80%的簡化，則剩余點數和封裝三角形數如表3所示。

表3 8號殘片簡化對照表

2.2.2偏差分析 偏差分析可用于評估模型的準確性。在杰魔中，通常運用到以下4個指標進行偏差分析的評估：

1) 最大距離。即從分析體到參考體任意一點的最大偏差距離，分為正負兩個方向[16]。

2) 平均距離。即從分析體到參考體上任意一點的平均偏差距離[16]。

3) 標準偏差S，表示偏差的離散程度[16]，可以反映數據的可靠性。即：

4)RMS，表示均方根，同樣能夠反映數據的可靠性：

式中，di為一組分析值與參考值的偏差[16]。

總之，小學語文教學中“兒童視野”的運用，不僅僅“師生關系”的調節劑，更是學生學習、教師進步的奠基石。用兒童視野看世界，能夠收獲不同的感受、能夠看到不同的風景。每個孩子的想法不同，更需要教師耐心傾聽，會對自己的教學，乃至日后的工作有非常大的幫助。

對于點云簡化情況，相當于簡化前后點個數不同。因此相比于最大距離和平均距離，采用標準偏差和RMS指標更能反映點數變化情況下模型的可靠性。本研究選取標準偏差指標作為偏差分析的評估參考。

對全部殘片從10%～80%的比例進行簡化，并統計每次簡化后簡化模型和參考模型之間的標準偏差值，該值可在軟件中直接查看。各殘片的標準偏差值與簡化比例之間的關系如圖4所示。

圖4 不同點云簡化比例下的標準偏差值

由圖4可以看出，一般情況下，點云簡化后的標準偏差隨著簡化比例的增加而增大。對于大部分殘片，其曲線斜率在70%時發生顯著變化，說明此時隨著點數的進一步縮減，模型誤差也在迅速增大。因而對于所有殘片，其簡化比例都應該控制在70%以內。對于殘片8，簡化比例在40%與50%的時候標準偏差接近，而在60%情況下偏差顯著增大，因而該殘片最優簡化比例為50%；對于殘片2，簡化比例為60%的時候相比于50%的情況反而出現下降，因此該殘片的最優簡化比例為60%；對于其他殘片，其最優簡化比例在60%或70%，此時點云簡化對偏差的增加影響較小。所有殘片的最優簡化比例如表4所示。其中，殘片6由于在采用70%或60%的簡化比例時后期出現曲面片錯誤，因而經調整后，其最優簡化比例為40%。

表4 各殘片最優簡化比例

對于各殘片，在根據最優比例進行點云簡化后，可以通過偏差分析云圖觀察簡化后的效果。以8號殘片為例，該殘片最優簡化比例為50%，簡化后偏差分析云圖如圖5所示。從圖中的數值信息可以看出，除標準偏差值與圖4對應為0.161 3 mm以外，其最大偏差為±(1.256 4～1.071 5)mm，平均偏差為±(0.096 6～0.107 4)mm，RMS值為0.161 8mm，誤差精度符合要求。從偏差云圖形狀可以看出，簡化后的殘片大部分顏色較為一致，且該顏色位于色譜中部，說明模型封裝效果較好。對于其他殘片，其數值信息和云圖均滿足精度要求。

圖5 8號殘片偏差分析云圖

2.2.3點云簡化前后模型處理時間比較 將原始點云殘片和簡化后的點云殘片分別進行精確曲面過程，采用軟件提供的自動曲面化功能，比較點云簡化前后的處理時間。結果如表5所示，時間單位為s。可以看出，模型整體處理時間減少了51%。對于單一殘片，除1號殘片時間減少不明顯外，其余殘片的處理時間均縮減在35%以上。因此，點云簡化對模型處理時間的縮短具有顯著的意義。

表5 點云簡化縮減時間

2.2.4點云簡化前后 有限元結果比較對于簡化后的NURBS模型，在導入到Hypermesh進行網格劃分時，同樣設置網格種子尺寸為4，得到的四面體網格數為81 146。將簡化前后各殘片的模型體積進行比較，如表6所示。可以看出，模型簡化后總體積相比于原始模型減少了0.37%，說明簡化過程對模型的自身質量影響很小。

表6 點云簡化前后模型體積比較

簡化后模型的整體應力和變形如圖6所示。與圖3相比，應力方面，模型簡化前后應力云圖形狀接近，且簡化后的最大Mises應力同樣位于左腿足踝處，為0.826 MPa，相比于原始結果誤差為14%。變形方面，兩者同樣形狀接近。可以看出，模型簡化過程對計算結果影響較小，簡化模型仍可較準確反映結構受力特征和規律。

圖6 簡化模型計算結果

3 結 論

本研究通過三維激光掃描對兵馬俑殘片進行了逆向建模，利用杰魔軟件將點云模型實體化，再用Hypermesh將模型劃分為四面體網格，從而在ABAQUS中進行有限元分析。進一步探究了點云簡化對有限元分析結果的影響。得到的主要結論如下：

1) 原始未簡化模型中，最大應力位于左腿足踝處，該最大應力遠小于材料自身強度，說明結構在重力作用下處于安全穩定的狀態。相比于左腿，右腿足踝處的最大應力較小，且右腿變形特征主要為豎向變形。而左腿的變形除豎向變形外還存在側向變形。說明該俑的左腿為相對受力薄弱部位。

2) 對于本研究模型，根據偏差分析的結果，大部分殘片最佳點云簡化比例為60%～70%(即簡化后保留30%～40%的點個數)。簡化后模型實體化處理時間縮短了約50%，且模型的最大偏差處于精度要求范圍內，簡化后模型的總體積變化小于0.5%。說明該模型簡化可在保證模型精度的前提下，有效縮短實體化處理的時間。

3) 采用點云簡化模型進行有限元分析的結果，與采用原始點云模型相比，最大Mises應力誤差小于15%，且應力云圖和變形圖形狀基本一致。可以說明簡化模型仍能較準確反映結構受力特征和規律。適當進行點云簡化，可以有效節省建模時間，同時得到較為準確的結果。