基于Simpson公式的灰色模型鋼軌大修周期研究

于 杰，王齊榮

(1.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，成都 610031；2.西南交通大學土木工程學院，成都 610031)

鋼軌是軌道結構的重要組成部分，是列車運行的基礎，其強度和狀態直接關系到鐵路列車運行安全[1]。2000年因斷軌引起的英國哈特菲德爾事故損失近7.3億英鎊[2]，因此對鋼軌的大修周期進行科學預測具有重要意義。影響直線段(R≥2 000 m)鋼軌使用壽命的關鍵因素是鋼軌滾動接觸疲勞傷損，而影響鋼軌接觸疲勞的因素除了材料自身材質外還與外界條件密切相關，如：軌溫變化.運輸密度.養護打磨技術.車輛軸重.雨天行車等因素[2]。目前，我國普通鐵路鋼軌的大修標準主要依據TG/GW 102—2019《普速鐵路線路修理規則》，但我國幅員遼闊不同地區的不同鐵路工務段的維修養護.運營條件差異較大，因此有必要針對不同地區的鋼軌實際運營情況制定相應的大修周期。

國內外學者對于鋼軌的修理周期進行了大量的研究，其主要分為兩大類：第1類從鋼軌病害發展機理分析的角度，采用斷裂力學.疲勞理論.斷裂理論.臨界平面法.Archard磨耗理論.建立車輛-軌道動力學仿真等方法，建立鋼軌型面磨耗及疲勞裂紋預測模型，預測鋼軌磨耗量進而預測鋼軌使用壽命及修理周期[4-7]；第2類從鋼軌傷損數據統計分析角度，Bozyslaw Bogdaniuk等[8]依據鋼軌傷損的統計數據進行多項式擬合，顏秉善.習年生.徐愛民.李軍等[9-12]，依據鋼軌傷損統計數據利用威布爾函數預測鋼軌大修周期；白文飛等[13]將鋼軌劃分為多個鋼軌單元，基于泊松-威布爾過程對鋼軌單元的修理周期進行預測；侯炳麟等[14]通過灰色模型以及模糊貼近法預測任意一段鋼軌的傷損趨勢，為線路修理周期的研究提供參考；田常海[15-16]利用鋼軌傷損加權統計法，結合經濟學原理提出鋼軌最佳經濟下道時機，提出累計通過總重與鋼軌傷損相結合的大修周期模式；張文生.王軍.劉勇等[17-19]對鋼軌傷損及更換數據進行統計分析，進而得到鋼軌大修周期及提出修理建議。

鋼軌傷損及使用壽命是一個古老而又基礎的問題，目前的計算機仿真模型多以輪軌靜態接觸模型為主，難以反映出輪軌在實際運營條件下的狀態，且線路上發生的主要傷損絕大多數與鋼軌的線路狀況.鋼軌養護維修和機車起動及制動等使用條件有關，并非是鋼軌母材所受應力達到鋼軌材料疲勞極限造成的，不能應用材料疲勞極限觀點確定大修周期[15]。本文通過Simpson公式的對灰色模型背景值進行改進并建立預測模型，再利用西南山區某多雨工務段的2條普通線路的鋼軌傷損統計數據驗證模型合理性，并與灰色模型預測結果進行對比分析。

1 研究方法

1.1 灰色模型GM(1，1)

1982年鄧聚龍教授提出灰色系統的概念，經過30多年的發展灰色預測已經成為一個特色鮮明的研究領域，并且成功應用于各個領域[20]。

對原始數據進行累加后，弱化了原數據的隨機性，若原始數據X(0)和一階累加生成序列X(1)滿足準光滑性檢驗[21]

準指數規律檢驗

級比檢驗

則序列X(1)具有指數增長的規律，可進行建模。若原始數據不滿足上述條件，則還需對原始數據進行預處理，弱化序列的隨機性，可以首先施加常用的對數算子或冪函數算子，使其滿足條件，獲得預測值后再用逆運算還原[22]，具體處理方法見下一節預測實例。本文根據文獻[20]對系統的研究，建立GM(1，1)的預測模型，首先建立灰微分方程

(1)

(2)

則公式(2)可以化為

x(0)(k)+a1z(1)(k)=b1

(3)

若u1=[a1，b1]T為參數列，則利用最小二乘法參數列滿足

(4)

矩陣B1可以表示為：B1=[-(Z1)(n-1)×n，e(n-1)×1]，e(n-1)×1表示(n-1)×1的單位矩陣，其中Z1表示為

則GM(1，1)模型的時間序列為

k=1，2，…，n

(5)

還原后x(0)的預測值為

1.2 基于Simpson公式的灰色模型[20]

公式(1)考慮在[k-1，k+1]上積分則有

(6)

利用Simpson數值積分公式可得

4x(1)(k)+x(1)(k+1)]

(7)

則公式(6)可轉化為

4x(1)(k)+x(1)(k+1)]=2b2

(8)

設u2=[a2，b2]T為參數列，利用最小二乘法參數列滿足

(9)

矩陣B2可以表示為：B2=[-(Z2)(n-1)×n，e(n-1)×1]e(n-1)×1表示(n-1)×1維的單位矩陣，則Z2表示為

1.3 模型檢驗[20]

為了檢驗模型的預測精度，采用預測值與實際值的相對誤差檢驗。PRE記作預測值與實際值的相對誤差；APRE為預測值與實際值的相對平均誤差，則

(10)

(11)

2 預測實例

2.1 鋼軌傷損數據統計及相關性分析

我國西南山區某工務段管轄線路地形復雜，鐵路線路等級偏低，橋隧占比高，坡度大，空氣潮濕，陰雨天氣占全年天氣的7成，因此雨天行車的占比大。研究表明：若在車輪碾壓前裂紋中存在部分液體(如雨水)，當車輪經過時，進入裂紋的雨水在裂紋口處形成“進液加壓”，使裂紋表面承受垂直壓力阻止裂紋閉合，進而加速裂紋擴展，影響鋼軌使用壽命，此結論已經得到了有限元仿真結果的證實[23]。因此，針對不同的運營情況對鋼軌大修周期進行預測研究十分有必要。

為防止單一數據具有偶然性，本文選取同一工務段的2條普通鐵路線路作為研究對象。為確保自然地理條件一致，兩條線路均為客貨共線，有砟軌道，有縫鋼軌，允許通過速度為80 km/h，其他參數均保持一致，鋼軌的具體參數信息見表1。

表1 線路鋼軌基本參數

文獻[24]依照鋼軌傷損程度將鋼軌傷損分成輕傷.重傷和折斷三類。其中鋼軌折斷是重傷的進一步發展。因此，鋼軌的失效體現主要為重傷和折斷。大量的觀察結果表明，隨著列車車速.列車軸重.行車密度的提高和高強耐磨鋼軌的應用，鋼軌表面的波狀磨耗和鋼軌側磨耗逐漸減輕，而由接觸疲勞損傷導致的塊狀剝落現象日益加重[11]。因此，本文選取的兩段典型客貨共線且行車密度較大的普通鐵路線路，使其鋼軌使用壽命受限于鋼軌的接觸疲勞壽命。工務實踐表明，直線段(R≥2 000 m)的鋼軌壽命取決于疲勞壽命，小半徑曲線段主要受磨損壽命控制，加之直線段與小半徑曲線段的鋼軌材質和加工方式本就不同，因此，僅對實測數據的直線段鋼軌的重傷與折斷進行統計分析。

以我國西南山區某工務段內2條普通線路2009年～2018年的鋼軌傷損.累計通過總重以及雨天行車數據進行統計，其中天氣數據來源于國家氣象科學數據中心，得到表2數據。

表2 2條線路鋼軌重傷統計

影響鋼軌大修周期的因素較多，選取列車累計通過總重與累計雨天行車2個因素，作為影響鋼軌傷損的主要因素，引入皮爾森(Pearson)相關系數用以度量累計通過總重.累計雨天行車天數與鋼軌重傷數的相關程度。利用MATLAB軟件進行Pearson相關性分析，得到相關系數(表3)。

表3 Pearson相關系數

Pearson相關系數通過以下取值范圍判斷變量之間的相關強度：0.8～1.0極強相關，0.6～0.8強相關，0.4～0.6中等程度相關，0.2～0.4弱相關，0.0～0.2極弱相關或無相關。根據表3可知，計算獲得的相關系數值均在0.8～1.0，可見累計通過總重.雨天行車天數均與鋼軌的重傷數具有極強相關性。由累計通過總重于與鋼軌的重傷數的相關系數可知，使用累計通過總重作為鋼軌大修周期的度量標準是科學的；由雨天行車天數與鋼軌重傷數的相關系數可知，對多雨鐵路工務段的鋼軌制定相應的大修周期具有重要意義。

2.2 預測模型

2.2.1 GM(1，1)灰色模型求解

本文以線路Ⅰ的詳細計算過程為例，線路Ⅱ的計算同理。

首先，對原始數據進行檢驗，即原始數據X(0)和一階累加生成的序列X(1)是否滿足級比.準指數規律.準光滑性的要求，計算獲得的參數數據如表4所示。

表4 原始數據合理性驗證

線路Ⅰ原始數據需滿足σx(k)∈(0.846，1.181)，δk∈[1，1.5]，ρk<0.5，由表4可以看出原始數據并不滿足建模條件，因此需對原始數據添加合適的算子進行弱化處理。原始數值中存在數值1，不適合采用對數算子，且原始數據的差異性較大，因此采用冪函數算子對原始數據預處理，令X(0)′=(X(0))0.1處理后各項參數數值見表5。

表5 處理后的數據合理性驗證

處理后的原始數據，級比數值滿足σx(k)∈(0.846，1.181)，且在k>3時，δk.ρk均滿足建模取值要求。

對線路數據建立灰色模型，得到線路Ⅰ.Ⅱ的發展系數和灰色作用量分別為：a1=-0.055 8，-0.044 4，b1=1.031 7，1.125 7；線路Ⅰ.Ⅱ的GM(1，1)的時間序列分別為

k=1，2，3，…，n

2.2.2 Simpson公式的GM(1，1)模型求解

計算獲得線路Ⅰ.Ⅱ的發展系數a2=-0.059，-0.048 8；灰色作用量b2=1.018 6，1.092 8；線路Ⅰ.Ⅱ基于Simpson公式的GM(1，1)的時間序列分別為

2.2.3 預測結果及精度檢驗

將GM(1，1)與基于Simpson公式的GM(1，1)模型的計算數值進行逆運算，得到相應累計通過總重分組的重傷數量，換算為累計重傷率并與實際值進行比較得到表6。

表6 預測值與實際累計重傷率比較

由表6分析可得，線路ⅠSimpson-GM(1，1)相對誤差(RPE)小于GM(1，1)的相對誤差數量占比為73%，計算獲得GM(1，1)的平均相對誤差(ARPE)為19.106%，Simpson-GM(1，1)的平均相對誤差為16.575%；線路ⅡSimpson-GM(1，1)的相對誤差小于GM(1，1)的相對誤差數量占比為75%，且計算獲得GM(1，1)的平均相對誤差為33.462%，Simpson-GM(1，1)的平均相對誤差為20.654%。可見基于Simpson公式的改進灰色模型預測精度有明顯提高。

為了便捷直觀地展示2個模型的預測效果，圖1給出了鋼軌累計重傷率實際值與預測值之間的關系，以及隨著累計通過總重不斷增加的后續預測曲線。

圖1 基于不同模型預測效果

從圖1可以看到，在累計通過總重0～300 Mt時，由于鋼軌累計重傷率的實際值與預測值自身數值較小且均介于0～0.2，因此兩模型預測值與實際值的數值差距在圖中表現不明顯；在350～600 Mt時，預測值與實際值的差距逐漸顯現。基于Simpson公式的改進灰色模型的預測曲線相較于GM(1，1)與實際值更為接近，具有更高的預測精度；且基于Simpson公式的改進灰色模型的預測曲線更陡峭，則相應轉換為以累計通過總重度量的鋼軌大修周期的數值也更保守。

鋼軌疲勞可靠度取97.5%時，對應累計重傷率F(t)=(0.025)×80=2處/km，符合TG/GW 102—2019《普速鐵路線路修理規則》規定：當鋼軌每千米重傷數量達到2～4處時，應及時更換鋼軌的要求數值下限；因上述預測公式的輸入值是以每50 Mt為一組的分段鋼軌重傷數值，為使得到鋼軌預測傷損量為整數2，采用在相應預測區間線性內插的方式獲得對應的鋼軌累計通過總重，結果見表7。

表7 鋼軌重傷率達到2處/km時累計通過總重 Mt

工務實踐中鋼軌大修周期通常以100的整數倍形式表示，為確保鐵路運營的安全，數值應取下限500 Mt。TG/GW 102—2019《普速鐵路線路修理規則》規定：碎石混凝土枕的60 kg/m普通線路鋼軌大修周期為600 Mt。依據兩種預測模型的綜合結果表明：本文鐵路工務段的鋼軌大修周期應調整為500 Mt。

3 結論

在現有鋼軌大修周期的研究基礎上，為防止單一數據的偶然性，對西南山區2條普速鐵路鋼軌傷損數據進行統計分析。首先，引入Pearson相關系數，驗證以累計通過總重度量鋼軌大修周期的科學性，以及雨天行車對鋼軌修理周期的影響。其次，驗證原始數據合理性，對不滿足建模條件的原始數據引入冪函數算子弱化原數據序列的隨機性，再代入基于Simpson公式改進背景值的灰色模型的中計算，將結果逆運算還原進而預測普通鐵路鋼軌大修周期。結論如下。

(1)對比兩線路的Pearson相關系數可知，累計通過總重和雨天行車兩個因素與鋼軌重傷數量存在著極強的相關性，因此以累計通過總重來度量鋼軌大修周期的是科學的，對多雨工務段應結合實際情況調整鋼軌的大修周期。

(2)對比兩線路基于Simpson公式的改進灰色模型與GM(1，1)的預測結果表明，基于Simpson公式的改進灰色模型將兩線路的平均相對誤差(ARPE)由原來的19.106%.33.462%下降至16.575%和20.654%，可見改進后的模型具有較高的預測精度，能夠充分挖掘鋼軌傷損數據的內在規律性。

(3)兩種預測模型的綜合結果表明，多雨地區鐵路工務段的普速鐵路鋼軌大修周期應調整為500 Mt。