橢圓鋼絲旋轉對彈簧切應力及剛度的影響

歐學昊， 周長城， 李雪

(山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255049)

橢圓鋼絲螺旋彈簧與圓鋼絲螺旋彈簧相比，具有切應力分布更加均勻，更輕量化，并且節約安裝空間等優點[1]。橢圓鋼絲螺旋彈簧主要應用在高應力工況下，例如氣門彈簧、離合器彈簧[2]，軌道車輛的一系懸掛彈簧組內簧也部分應用。

在橢圓鋼絲彈簧的實際生產中，由于繞簧的精度和回火的影響，橢圓截面會產生繞截面形心旋轉一定角度的變形[1]，該角度一般小于15°。通過有限元分析發現，彈簧在遭受同樣載荷作用時，其所受最大切應力變大，在與高溫沖擊[3]、礫石沖擊[4]等外界因素共同作用下，更容易出現彈簧斷裂。

近年來，國內外學者對橢圓鋼絲螺旋彈簧進行了研究。例如張英會[5]介紹了各式彈簧的應力和變形的簡化近似計算公式；文獻[6]對圓形鋼絲彈簧與橢圓鋼絲彈簧的應力分布進行比較分析；文獻[7]對非圓形截面鋼絲彈簧計算方法進行了探討；文獻[8]通過多次有限元分析對橢圓鋼絲彈簧剛度、切應力進行分析，得到了最佳的截面參數；文獻[9]通過有限差分法對橢圓鋼絲的泊松方程進行求解，得到了橢圓鋼絲彈簧應力分布的近似解；文獻[10-11]均提出了水平橢圓鋼絲彈簧切應力的計算方法。

文獻[5-11]均未考慮工藝因素導致的橢圓鋼絲截面的旋轉。為了研究截面旋轉角的影響、計算旋轉橢圓鋼絲螺旋彈簧切應力和剛度，本文基于彈性力學，推導旋轉橢圓截面扭轉切應力模型，通過分解的方法導出旋轉橢圓截面彎曲切應力模型，采用疊加法得到彈簧的切應力分布模型；根據截面位移函數求得截面的極慣性矩，得到彈簧的剛度模型；利用WORKBENCH對彈簧截面切應力模型以及剛度模型進行仿真驗證。

1 旋轉橢圓截面軌跡方程

彈簧截面如圖1所示。在xOy坐標系中，2a、2b分別為旋轉橢圓截面的長軸與短軸；α為橢圓長軸與x軸的夾角，即截面旋轉角，0≤α<π；θ為旋轉橢圓截面邊界上任一點A處的角度位置，0≤θ≤2π；F為彈簧所受載荷；D為彈簧的中徑；令彈簧的有效圈數為n，彈簧的節距為t，彈簧的螺旋角為β，β=arctan(t/πD)。

如圖1，橢圓在x1Oy1坐標系中的軌跡方程為

圖1 旋轉橢圓鋼絲螺旋彈簧截面示意

(1)

橢圓在xOy坐標系中的軌跡方程即為旋轉橢圓截面軌跡方程。 由轉軸公式[12]，兩坐標系中的坐標關系為

(2)

將式(2)代入式(1)化簡可得旋轉橢圓截面軌跡方程為

px2+qy2-2(a2-b2)sinαcosα·xy=a2b2，

(3)

為方便下文描述，式中令

2 切應力計算模型

2.1 扭轉切應力計算

扭轉應力函數Φ應滿足微分方程

?2Φ=-2GK，

(4)

式中：G為切變模量；K為單位長度的扭轉角。

根據側面邊界條件，扭轉應力函數Φ在側面即橫截面的邊界上等于零，即Φs=0，所以假設扭轉應力函數Φ為

Φ=m·[px2+qy2-2xy(a2-b2)sinαcosα-a2b2]，

(5)

式中m為任意常數。

扭轉應力函數Φ還應滿足端面邊界條件，即

M=2?Φdxdy，

(6)

(7)

根據橫截面上扭轉切應力和扭轉應力函數的關系，可得旋轉橢圓截面上任一點的扭轉切應力分量，用極坐標表示為

(8)

式中r1為旋轉橢圓截面極徑，且

式(8)是基于直桿推導的扭轉切應力分量，如果應用到彈簧的螺旋線上，在曲率非常大時，會有較大的誤差，所以需要扭轉切應力分量乘以修正系數k對結果進行修正。修正系數k[7]為

所以受扭轉的旋轉橢圓截面任一點A的切應力示意如圖2所示。

圖2 受扭轉的旋轉橢圓截面切應力示意

2.2 彎曲切應力計算

截面還受剪力F作用產生彎曲切應力，如圖3所示。將剪力F沿長軸方向和短軸方向分解，即等效于兩個分力分別作用于水平橢圓截面，如圖4所示。

圖3 剪力作用下的旋轉橢圓截面

圖4 等效受力的水平橢圓截面

首先考慮豎直剪力分量作用下的水平橢圓的彎曲切應力。令此狀態下彎曲應力函數為Φw，Φw應滿足微分方程：

(10)

彎曲應力函數Φw還應滿足在橫截面邊界上為零的邊界條件，即Φws=0，所以結合邊界條件以及微分方程式(10)，假設彎曲應力函數Φw為

(11)

式中s為一常數。

將式(11)代入微分方程式(10)，可得

(12)

所以彎曲應力函數Φw為

(13)

如圖4所示，令水平橢圓截面邊界上任一點A的極徑為r2，所在的角度位置為η，根據A點的角度位置關系，η=θ-α。

根據彎曲切應力分量與彎曲應力函數Φw關系，可以用極坐標表示豎直剪力分量作用下的水平橢圓任一點的彎曲切應力分量τ2zx1、τ2zy1為

(14)

同理，在水平剪力分量作用下水平橢圓任一點的彎曲切應力分量τ2zx2、τ2zy2為

(15)

水平橢圓截面任一點A在剪力F′的作用下的切應力分量等于兩個剪力分量作用下切應力分量之和，即

(16)

將圖4整體逆時針旋轉α角，得到原旋轉橢圓截面，任一點A的切應力分量的方向如圖5所示，切應力分量大小不變，即

圖5 剪力作用下的旋轉橢圓截面切應力示意

(17)

2.3 復合切應力計算

如圖6所示，將所求旋轉橢圓截面上任一點A的扭轉切應力分量與彎曲切應力分量疊加，得到旋轉橢圓截面上任一點A的復合切應力分量

圖6 切應力分量之間角度關系

(18)

則旋轉橢圓截面任一點A的復合切應力τ為

(19)

2.4 WORKBENCH實例仿真驗證

橢圓鋼絲螺旋彈簧中徑D=320 mm，螺距t=60 mm，有效圈數為n=6，截面長軸2a=40 mm，短軸2b=30 mm，材料切變模量G=76.923 GPa，彈簧受軸向載荷F=3 000 N。

為了驗證切應力計算的準確性，根據彈簧參數建立α = 0°、15°、45°和165°的橢圓鋼絲彈簧模型，分別導入WORKBENCH中，以α=0°的橢圓鋼絲螺旋彈簧有限元模型為例，如圖7所示。

人文主義精神是一種普遍的人類自我關懷，表現為對人的尊嚴、價值、命運的維護、追求和關切[4]。受市場經濟等因素影響，我國醫療衛生事業中部分醫務人員道德素質下降，醫患關系日益緊張，對醫學生自身發展和病人健康造成沖擊，醫學的人性光芒日趨黯淡，醫學的人文主義精神衰落，同樣也對整個社會的倫理道德產生嚴重沖擊。為此，加強醫學生人文主義教育成為高等醫學院校思想政治教育的主要任務，具體內容及實施路徑見圖1。

為了使彈簧受力均勻，在彈簧上端與下端各加一彈簧座。設置材料參數：切變模量為76.923 GPa；為方便劃分更佳網格，對彈簧部分進行了適當切割；對彈簧有效圈部分使用Multizone網格劃分方法，劃分5 mm單元格；對上端彈簧座施加軸向位移約束，下端彈簧座施加固定約束，在上端彈簧座的中心位置施加豎直向下的載荷，F=3000 N。對模型的有效圈部分切應力進行仿真，得到不同α角的橢圓截面的切應力云圖，如圖8所示。

在切應力仿真結果中，基于α = 0°、15°、45°、和165°的橢圓鋼絲彈簧截面應力云圖，獲取截面邊界的切應力數據，可以得到計算曲線與仿真數據，如圖9所示。

由圖9可知，α=0°、15°、45°和165°的橢圓截面的應力分布計算曲線與仿真數值變化規律幾乎一致；根據得到的各α角的橢圓截面切應力的計算值與仿真值，其切應力最大相對偏差分別為1.78%、1.66%、1.79%、1.63%。

將α=0°、15°、45°和165°的橢圓截面的切應力分布數據通過4次Fourier擬合，與計算值進行對比，見表1，各α角的橢圓截面最大切應力τmax的相對偏差均小于1%，最大切應力所在角度θ的相對偏差均小于1%，因此，旋轉橢圓鋼絲螺旋彈簧切應力計算模型是正確的。

表1 最大切應力及其角度位置分析

由表1可知，由于工藝精度等原因，若截面旋轉角達到15°，實際橢圓鋼絲彈簧的最大切應力會較水平橢圓鋼絲彈簧增大8.96%，并且最大切應力位置也會有所變化，所以提高工藝水平是非常重要的。

3 剛度計算模型

3.1 剛度計算

將式(8)用直角坐標表示為

(20)

令截面扭轉位移函數為φ，橫截面上的扭轉切應力分量與扭轉位移函數φ關系為

(21)

聯立式(20)與式(21)，兩方程分別對x，y積分，可得

(22)

扭轉位移函數φ若要滿足式(22)，則一定滿足:

所以扭轉位移函數φ為

(23)

極慣性矩Ip的計算方法[13]為

(24)

將式(23)代入式(24)，化簡得到截面旋轉角α的橢圓極慣性矩為

(25)

所以旋轉橢圓鋼絲螺旋彈簧的剛度R為

(26)

由式(26)可知，表達式中沒有α，說明旋轉橢圓鋼絲彈簧的剛度R與截面旋轉角α無關。

3.2 WORKBENCH仿真驗證

基于式(26)，根據旋轉橢圓鋼絲彈簧參數，可以得到彈簧的計算剛度值為67.608N/mm；對α=0°、15°、45°、165°的旋轉橢圓鋼絲螺旋彈簧模型整體變形進行仿真求解，得到各截面旋轉角α的橢圓鋼絲彈簧的最大變形量λmax，用載荷F除以各最大變形量λmax，可以得到各截面旋轉角α的橢圓鋼絲螺旋彈簧剛度，見表2。

由表2可知，旋轉橢圓鋼絲彈簧的計算剛度值與仿真值的相對偏差均小于1%，證明了剛度計算的正確性，旋轉橢圓鋼絲螺旋彈簧的剛度R與截面旋轉角α無關，所以實際生產中的橢圓鋼絲螺旋彈簧的截面旋轉角僅影響切應力大小及分布，對彈簧的剛度無影響。

表2 剛度結果分析

4 結論

1)基于彈性力學推導的旋轉橢圓鋼絲螺旋彈簧切應力計算與仿真計算結果趨勢一致，最大相對偏差為1.79%，能夠較好地反映橢圓鋼絲截面在旋轉一定角度時的應力分布，較準確得到最大切應力及其位置，提高實際橢圓鋼絲螺旋彈簧的切應力計算精度，為實際橢圓鋼絲螺旋彈簧設計提供理論參考。

2)若截面旋轉變化角達到15°，該橢圓截面的最大切應力較水平橢圓截面增大8.96%，并且最大切應力位置也有所變化，所以改善工藝水平對提高彈簧的壽命及可靠性非常重要。

3)推導了旋轉橢圓鋼絲螺旋彈簧的剛度模型，通過仿真驗證了剛度模型的正確性，截面旋轉角α不影響彈簧剛度，僅影響切應力大小及分布。