目標空間映射策略的高維多目標粒子群優(yōu)化算法

陳強，王宇嘉，梁海娜，孫欣

（上海工程技術(shù)大學 電子電氣工程學院，上海 201620）

在現(xiàn)實生活中存在大量多目標優(yōu)化問題，例如生產(chǎn)制造業(yè)、金融投資、航空調(diào)度等。多目標優(yōu)化問題是由多個待優(yōu)化目標函數(shù)組成，當目標個數(shù)多于3個時，該問題又被稱為高維多目標優(yōu)化問題(many-objective optimization problem)[1]。由于各目標之間具有沖突性，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法很難得到一組最優(yōu)解，因此，研究者大多采用啟發(fā)式方法來求解該問題。目前，用于求解高維多目標優(yōu)化問題的啟發(fā)式方法主要分為以下三類[2]：基于支配關(guān)系的進化算法、基于分解的進化算法和基于指標的進化算法。

基于支配關(guān)系的進化算法是通過Pareto支配策略來選擇非支配解。NSGA-II[3]算法通過快速非支配解排序策略來獲得非支配解，但是該方法無法保證種群的多樣性。NSGA-III[4]作為NSGAII的改進版本，為了增強算法處理高維多目標優(yōu)化問題的能力，在篩選同一等級的個體時，采用了基于參考點的方法來代替擁擠距離，然而該算法僅在某些具有特定形狀的Pareto前沿問題上表現(xiàn)較優(yōu)。CNSGA-III[5]算法在NSGA-III的基礎(chǔ)上，通過在非支配解層中添加一個聚類操作來增強算法種群的多樣性，實驗結(jié)果表明，該策略效果較差。Zou等[6]在NSGA-II框架基礎(chǔ)上，提出了一種在關(guān)鍵層中選取非支配解的旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格策略，在一定程度上增強了算法的選擇壓力。Lin等[7]提出了一種基于平衡適應(yīng)度估計策略的高維粒子群算法來解決高維多目標優(yōu)化問題，該策略將目標空間劃分為不同的區(qū)間并給每個區(qū)間中的目標賦予不同的權(quán)重，然而過多的權(quán)重設(shè)置限制了該方法的實際應(yīng)用。

基于分解的進化算法是通過將多目標問題轉(zhuǎn)化為多個單目標問題來處理。MOEA/D[8]和MOEA/D-M2M[9]是兩種常用的基于分解的多目標進化算法。MOEA/DD[10]是通過目標空間分解與自適應(yīng)權(quán)重分配相結(jié)合來解決高維多目標優(yōu)化問題。但上述算法過于依賴權(quán)重的選取。此外為了減少Pareto前沿形狀對分解算法性能的影響，Liu等[11]提出了一種基于模糊分解的多目標進化算法，結(jié)果表明該算法對于該問題具有較好的處理效果。

基于指標的進化算法是將解的評價標準作為選擇支配解的一類算法。IBEA[12]采用Hypervolume指標選取非支配解，該方法在處理高維多目標問題時無法保證分布性。Bader等[13]提出了另一種基于Hypervolume指標的進化算法，在一定程度上平衡了高維多目標優(yōu)化問題的收斂性和分布性，但是Hypervolume指標的計算復雜度隨著目標個數(shù)的增加呈指數(shù)增加[2]，進一步限制了該算法應(yīng)用。此外，基于GD[14]、IGD[15]和R2[16]指標的進化算法在求解高維多目標優(yōu)化問題時都取得了不錯的效果。

基于Pareto支配策略的進化算法相對于另外兩類算法，可以從搜索的深度上逼近Pareto前沿，因此，對解決高維多目標優(yōu)化問題方面仍具有巨大潛力。收斂性和分布性作為多目標優(yōu)化問題中的兩個重要指標，在種群演化過程中是相互沖突的[17]，因此設(shè)計一種能有效平衡收斂性和多樣性的新型支配策略，對于解決高維多目標優(yōu)化問題具有重要意義。本文提出了一種目標空間映射策略的高維多目標粒子群優(yōu)化算法，該策略作為一種新的多樣性保持機制，可從眾多的候選解中篩選出收斂性和分布性都較優(yōu)的個體，同時利用一種增強型反向?qū)W習策略幫助種群跳出局部最優(yōu)。

1 粒子群優(yōu)化算法

1.1 基本粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[18]是通過研究鳥群覓食規(guī)律而發(fā)展出的一種群智能優(yōu)化算法。粒子通過個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置動態(tài)更新自身的位置和速度，速度和位置的更新公式分別為

式中：ω表示權(quán)重系數(shù)；vid和xid分別表示第i個粒子在第d維度上的速度和位置大小；c1和c2表示學習因子；r1和r2表示(0，1)之間的隨機數(shù)；pid和pgd分別表示個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置。

1.2 改進粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法在其發(fā)展過程中，為了提高算法的尋優(yōu)性能，主要有以下幾種改進策略。

1)調(diào)整算法的參數(shù)。為了平衡種群勘探與開采的能力，Shi等[19]將ω引入粒子群算法中，ω值越大，勘探未知區(qū)域的能力越強，ω值越小，小范圍內(nèi)的開采能力越強，Clerc等[20]建議ω的取值為0.729，Venter等[21]則采用非線性遞減的策略來更新ω。此外還有部分研究者通過調(diào)整c1、c2的取值來增強算法的搜索能力[22-23]。

2)設(shè)計不同類型的拓撲結(jié)構(gòu)。Kennedy[24]通過分析種群拓撲結(jié)構(gòu)與交互概率的關(guān)系，提出了一種bare bones particle swarm (BBPS)的模型。Yue等[25]提出了一種基于環(huán)形拓撲結(jié)構(gòu)的粒子群算法并將其用于求解多模態(tài)的多目標問題。

3)與其他策略相結(jié)合，形成混合粒子群算法。侯翔等[26]為了提高算法求解問題的能力，對所有粒子的最優(yōu)位置進行降維處理，形成一個參考全局最優(yōu)解，同時使用該解來更新群體當前的最優(yōu)位置。Lin 等[27]將 MOPSO 同分解算法相結(jié)合，采用兩種不同的搜索策略來更新粒子的速度，結(jié)果顯示，算法對復雜問題的解決性能得到了加強。Zain等[28]為了降低算法在約束問題上求解的難度，在標準 MOPSO[29]算法的基礎(chǔ)上提出 了一種基于動態(tài)搜索邊界策略的 MOPSO。

2 目標空間映射策略的高維多目標粒子群算法

2.1 高維多目標優(yōu)化問題

2.2 目標空間映射策略

由于非支配解個數(shù)增加導致算法無法收斂到完整的Pareto前沿，本文采用目標空間映射策略來增強算法對非支配解的選擇壓力。

首先，對每個個體在目標空間中的收斂性進行評價，采用式(4)計算個體的收斂性：式中：m表示目標函數(shù)的個數(shù)；di,o表示個體i到參考點o之間的歐式距離，這里將參考點設(shè)置為原點。Fi的值越小，個體的收斂性越好。

然后，對每個個體在目標空間上的分布性進行評價，采用式(5) 計算個體的分布性：

式中：fsi+1表示第i+1個個體在第s個目標函數(shù)上的目標值；Disi越大，則第i個個體的分布越好。

此時，每個非劣解都可以映射為以收斂性和分布性表征的2維空間，即 PS→(Fi,Disi)。

最后，計算收斂性評價的平均值Fave和分布性評價的平均值Disave，F(xiàn)ave和Disave如式(6)和(7)所示：

其中n表示個體的總數(shù)。

根據(jù)Fi、Disi、Fave、Disave這4個參數(shù)將映射后的2維空間劃分為4個不同的區(qū)域，如圖1所示。

圖 1 映射后的2維空間劃分結(jié)果Fig. 1 2-dimensinal space division result after mapping

在選取非支配解時，首先選取區(qū)域A中的個體，當區(qū)域A中的個體個數(shù)大于外部文檔大小時，選取Valuei值小的個體進入檔案文件；當區(qū)域A中的個體個數(shù)小于外部文檔大小時，再從B和C中選取剩余個體，當B和C中的個體個數(shù)大于剩余外部文檔大小時，仍然選取Valuei值小的個體進入外部文檔。當B和C中的個體個數(shù)不能滿足條件時，最后選取D中的個體。

圖2給出了目標空間映射策略的流程圖。

圖 2 目標映射策略的流程圖Fig. 2 Flowchart of the objective space mapping strategy

2.3 反向?qū)W習策略

優(yōu)化過程中如果算法陷入局部最優(yōu)，則利用反向?qū)W習策略作為跳出機制，其中文獻[30]的反向?qū)W習策略如式(9)所示：

式中：xid*表示第i個個體在第d維決策向量上得到的新位置；xd表示所有個體在第d維上的位置；ad和bd分別表示種群個體在第d維目標向量上的最小和最大邊界值；k表示(0，1)間的隨機數(shù)；表示在第d維上的邊界約束。

由式(9)可得，x*id的取值范圍為bd,k(ad+bd)-ad]，當k=1時，x*id取得最大值為bd。因此，當最優(yōu)解的決策向量位于bd的右側(cè)時，上述方法不能跳出局部最優(yōu)。

本文對上述方法進行了改進，為提高算法跳出局部最優(yōu)的能力，同時不忽略當前收斂信息，當x*id=xdmin時，xid執(zhí)行式(10)給出的反向?qū)W習策略。

從式(10)可以看出，x*id的取值范圍擴大到了[xdmin,xdmax]，該粒子跳出局部最優(yōu)區(qū)域。

為了判斷算法是否陷入局部最優(yōu)，本文采用文獻[31]給出的判斷準則作為反向?qū)W習的激發(fā)條件，如式(11)所示：

式中：min(fit)和max(fit)分別表示在第t代時，第i個目標維度上的最小和最大值。min和max(fit-10)分別表示在第t-10代時，第i個目標維度上的最小和最大值。對于一個m維測試函數(shù)，通過式(11)對其所有的目標維度的變化率進行計算，當所有的變化率都小于0.005時，算法陷入局部 最優(yōu)。

2.4 MOPSO-OSM流程

MOPSO-OSM算法具體流程如下：

1)算法初始化；

2)判斷是否滿足停止條件，若條件滿足，算法停止迭代，否則轉(zhuǎn)到3)；

3)判斷種群是否陷入局部最優(yōu)，執(zhí)行反向?qū)W習策略；否則，直接轉(zhuǎn)到4)；

4)利用式(1)和(2)更新個體的速度和位置；

5)計算個體的適應(yīng)度值；

6)對個體當前適應(yīng)度值和前代適應(yīng)度值進行比較來更新個體最優(yōu);

7)選擇非支配解；

8)利用目標空間映射策略更新外部檔案文件；

9)從外部檔案中隨機選擇一個個體來更新種群 最優(yōu)，并轉(zhuǎn)到2)；

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 測試函數(shù)

為了評價算法性能的優(yōu)劣，文中采取了6組W FG測試函數(shù)。參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表 1 測試函數(shù)參數(shù)設(shè)置Table 1 Test functions parameter setting

3.2 性能指標

文中利用世代距離(GD)、間距(SP)和逆世代距離(IGD)3個指標來評估算法的性能。GD被用來評價種群的收斂性，GD值越小，收斂性越好，其計算公式為 √式中：n表示非支配解的個數(shù)；di表示非支配解與Pareto最優(yōu)解之間的歐式距離。

SP指標通常被用來評價種群的分布性，其計算如式(13)所示，分布性好壞與其計算值成反比。

IGD指標被用來同時評價種群分布性和收斂性，IGD越小，算法展現(xiàn)出的性能越好，其計算公式為

式中：P和P*分別表示Pareto最優(yōu)解集和非支配解 ；|P*|表示非支配個數(shù)。

3.3 對比算法及其設(shè)置

本文所得結(jié)果與目前較為流行的進化算法進行對比，比較算法包括：NSGA-III[3]、RVEA[32]、MOEA/DD[10]、PESA-II[33]和NMPSO[7]。所有使用的算法其種群大小都設(shè)置為100，外部文檔的大小為100，算法進化的次數(shù)為700次，算法具體參數(shù)設(shè)置如表2所示，所有算法均運行30次，計算收斂性和多樣性指標，取其平均值。

表 2 對比算法參數(shù)設(shè)置Table 2 Comparison algorithms parameter setting

對于MOPSO-OSM算法，其權(quán)重ω是隨著迭代次數(shù)線性減少的。

3.4 結(jié)果與分析

表3和表4分別為所有算法在5目標和10目標測試函數(shù)時得到的GD、SP和IGD的平均值。

3.4.1 收斂性分析

從表3中可以看出，對于5目標測試函數(shù)，NMPSO算法在WFG1和WFG2測試函數(shù)中得到了最好的GD值。NSGA-III算法在WFG4和WFG6問題中取得了最佳的GD值。MOPSOOSM算法在WFG3和WFG5取得了最優(yōu)的GD值。對于10目標的測試函數(shù)，從表4中可以看出，在WFG1和 WFG2測試函數(shù)上，MOEA/DD取得了最佳GD值。NSGA-III在WFG6問題上取得最優(yōu)GD值，在WFG4和WFG5測試問題上，RVEA取得的GD值排名第一。對于WFG3測試函數(shù)，MOPSO-OSM取得了最優(yōu)的GD值。從以上可以看出，本文所提出的算法在大部分測試函數(shù)中并沒有取得最優(yōu)值。原因在于，大多數(shù)算法在求解時，僅僅追求收斂性，忽視了分布性，而本文在目標空間分配策略中，同時考慮目標向量的收斂性和分布性，所以在測試函數(shù)中，并不能完全保證GD的最優(yōu)性，這也驗證了“沒有免費午餐”的原理。

3.4.2 分布性分析

對于5目標測試函數(shù)，從表3中可以看出，MOPSO-OSM算法在所有測試函數(shù)中都取得了最好的SP值。對于10目標的測試函數(shù)，從表4可以看出，MOPSO-OSM算法同樣在所有的測試函數(shù)中，得到了最好的SP值。以上可以看出，MOPSO-OSM算法在保持種群分布性上面具有很大的優(yōu)勢。

表 3 5目標測試函數(shù)結(jié)果Table 3 Results of five objectives

表 4 10目標測試函數(shù)結(jié)果Table 4 Results of ten objectives

3.4.3 整體性分析

從表3中可以看出，對于5目標測試函數(shù)，NSGA-III在WFG1、WFG5和WFG6中取得了最優(yōu)的IGD值。MOEA/DD在WFG2中取得最好的IGD值。MOPSO-OSM算法在WFG3和WFG4中取得的IGD值排名第一。對于10目標測試函數(shù)，從表4可以看出，MOEA/DD在WFG1和WFG2中取得了IGD的最優(yōu)值。NMPSO在WFG4和WFG5中的IGD值最優(yōu)。MOPSO-OSM算法在WFG3和WFG6中的IGD取得了最佳值。從以上可以看出，本文所提算法在處理WFG1和WFG2問題時表現(xiàn)出較低的能力，主要原因在于目標映射策略要綜合考慮個體的分布性和收斂性，導致了算法在該問題上的收斂性不足，無法得到一組完整的Pareto前沿，所以該算法在處理WFG1和WFG2問題時還有待提高。對于其余測試函數(shù)，雖然在部分問題上算法無法得到最優(yōu)值，但是所得結(jié)果仍處于較好的排名。對于不同目標個數(shù)的同一個測試函數(shù)，本文算法與其余算法相比較，隨著目標個數(shù)的增加，對比算法的性能都在急劇下降，而本文所提算法展現(xiàn)出了更好的適應(yīng)性能。通過以上可以看出，本文采用的目標空間映射策略，將收斂性和多樣性結(jié)合，用這兩者對目標向量進行分類選擇，最后得到的非支配解具有較好的性能。

圖3分別給出了在5目標WFG3測試函數(shù)下得到的Pareto前沿。對于WFG3測試函數(shù)，所有算法都得不到一個完整的Pareto前沿。但是MOPSO-OSM算法的Pareto前沿相比于另外5種對比算法，其收斂性和分布性都是明顯優(yōu)于其他算法，表現(xiàn)出較好的性能。圖4給出了MOPSOOSM算法在5目標WFG3和WFG4測試問題中得到的GD值曲線。

圖 3 6種算法在5目標WFG3測試函數(shù)所得Pareto前沿Fig. 3 Six algorithms obtain Pareto Front in 5 objective WFG3 test function

圖 4 MOPSO-OSM在5目標WFG3和WFG4上的GD曲線Fig. 4 GD curves of MOPSO-OSM for WFG3 and WFG4 with five objectives

圖4中橫坐標為記錄的次數(shù)，每7次迭代記錄一次。從中可以看出，在迭代過程中，GD值都是逐漸減小，算法逐漸收斂。目標映射策略作為一種有效的篩選候選解的方法，對于算法在問題中的收斂性能的表現(xiàn)起到?jīng)Q定性的作用，因此，在高維多目標優(yōu)化問題中，目標映射策略是可行且有效的。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于目標空間映射策略的高維多目標粒子群算法來求解高維多目標問題。該方法利用性能指標對目標空間進行劃分，從而達到增強算法選擇壓力的目的。通過6組標準測試函數(shù)的仿真驗證，實驗結(jié)果表明，在處理高維多目標問題時，目標空間映射策略能夠有效地提高種群的收斂性和分布性。將該算法應(yīng)用在工程實例問題將是下一步的研究重點。

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