基于目標高斯分布的定位系統節點最優部署方法

周榮艷, 陳建峰, 李曉強, 譚偉杰

(1. 西北工業大學航海學院, 陜西 西安 710072; 2. 南陽理工學院, 河南 南陽 473004;3. 貴州大學公共大數據國家重點實驗室, 貴州 貴陽 550025)

0 引 言

分布式定位系統的定位精度不僅依賴于傳感器節點的定位算法、節點個數、采樣頻率等因素,節點的部署位置也是影響系統定位性能的重要因素之一[1-4]。節點部署算法能夠在不改變定位算法和不增加節點個數的情況下,有效提高系統的定位精度,得到國內外學者的廣泛研究,并逐步成為分布式定位系統研究中的一個重要分支[5-6]。

在目標探測與定位領域,克拉美羅界(Cramer-Rao bound, CRB)提供了任何無偏估計量方差所能達到的一個理論下界,并且CRB的表達式是關于目標與節點相對幾何位置的非線性函數,因此常把CRB作為優化節點與目標相對位置的評價函數[7-10]。近年來,關于CRB的研究主要集中在兩個方面:一是根據相關理論的推導得到針對某些特殊目標位置或接收特殊陣列時距離與角度估計的CRB[11-13];二是根據某一設計指標要求,按照相應的優化原則,將求解CRB的問題轉化為最優化問題,采用智能優化算法進行迭代,尋優從而逼近CRB[14-15]。這些方法都是分析如何減小定位估計誤差的CRB,雖然可以較好地提高目標在某一特定位置的定位精度,但并沒有考慮目標服從高斯分布時定位誤差的CRB。

文獻[16]基于到達時間(time of arrival, TOA)定位算法,以最小化平均CRB為優化準則,得出基于節點觀測性能的最優布局與聲源出現概率分布直接相關的結論。文獻[17]研究了目標服從高斯先驗分布的條件下狀態估計的協方差矩陣和信息矩陣,為傳感器的選擇和最優布局提供了衡量標準,并得出純方位估計中視距的方向向量垂直于協方差矩陣最大特征向量的結論。此結論應用于文獻[18]中,并對目標高斯先驗分布下異構傳感器網絡中的節點進行優化配置,但需要將初始協方差矩陣進行若干次迭代更新,計算量大且較為復雜。

近年來有些學者通過分析坐標旋轉在目標定位和探測方面的應用,為相關研究提供了新的思路。文獻[19]證明了二維笛卡爾坐標系統中幾何坐標平移與旋轉對純方位估計算法的偽線性估計(pseudolinear estimation, PLE)與最大似然估計(maximum likelihood estimation, MLE)沒有影響,而總體最小二乘(total least squares, TLS)估計通過坐標旋轉發生變化,并依此為基礎提出了一種減小TLS估計偏差的算法,但并未考慮在三維空間中的相關問題。文獻[20]通過對方位角和俯仰角的測量方程進行線性化,將未知節點估計轉化為PLE模型求解,并證明了此三維偽線性估計算法通過笛卡爾坐標系旋轉可以顯著改變算法性能,從而有效地減小系統偏差。但此算法分別基于xy坐標軸與z坐標軸,并未對三維空間中的坐標系整體進行研究。

本文在其他學者研究的基礎上采用到達角(angle of arrival, AOA)定位算法,首先基于目標高斯分布的FIM信息矩陣,研究滿足CRB的條件;之后推導基于三維坐標旋轉的最大后驗概率估計(maximum a posteriori estimation, MAP)定位算法,將目標先驗概率分布的非對角協方差矩陣轉化為對角陣;得到滿足CRB的最小跡時節點的最優部署位置。

1 問題描述

在三維空間中,假設一個目標聲源的位置s=[x,y,z]T,N個具有三維測向能力的節點位置坐標pk=[px k,py k,pz k]T,k=1,2,…,N。如圖1所示,任一節點對目標的觀測都有方位角φk和俯仰角θk兩個估計量,表示為

圖1 三維AOA定位算法中方位角和俯仰角示意圖Fig.1 Illustration of azimuth angle and elevation angle in three dimensional AOA positioning algorithm

(1)

(2)

在噪聲環境中,角度測量值為真實的角度測量值和測量誤差的疊加[21],即

(3)

(4)

Φ=M0+JTΣ-1J=

M0+Φ1+Φ2

(5)

(6)

CRB為任何無偏估計量方差的確定下界,CRB為費希爾信息矩陣的逆矩陣。由文獻[22]可知,三維空間中AOA定位算法估計誤差的FIM可寫為

(7)

(8)

2 基于三維坐標旋轉的MAP方法

2.1 MAP方法

p(s)=

(9)

由式(3)可得,角度測量值的似然函數為

(10)

(11)

(12)

最大后驗成本函數JMAP(s) 可表示為

(13)

則殘差為

Γ(s)=[e(s);r(s)]

(14)

其中e(t)和r(t)為

r(s)=s0-s

(15)

(16)

J1i=

(17)

式中:

(18)

設3×3矩陣J2i表示r(s)的雅克比矩陣,可得

(19)

將式(17)與式(19)結合,即可得式(13)雅克比矩陣

Ji=-[J1i;J2i]

(20)

采用高斯-牛頓算法對MAP進行計算,則可得迭代關系式[25]

(21)

2.2 基于三維坐標旋轉的MAP方法

由式(8)可知,當目標位置誤差的協方差矩陣P0=diag([a,b,c])時,則M0=diag([a-1,b-1,c-1]),由式(5)可知只需滿足等號右邊后兩項Φ1與Φ2最小時，得到tr(CRB)的最小值。當P0為對稱矩陣時,文獻[17]通過將初始協方差矩陣P0進行若干次迭代更新，將其轉化為對角陣，尋找純方位定位算法中節點的最優部署方向,但計算量大且較為復雜。

由于目標的先驗協方差矩陣P0在物理上相當于一個橢球,其內任一點都是目標可能出現的位置。因為三維坐標旋轉并不影響橢球體的大小,且協方差矩陣P0對于任何相似變換UPUT具有不變性(其中U為酉矩陣)。可采用三維坐標旋轉的方法將P0對角化,通過合適的繞x軸、y軸、z軸旋轉角度α、β、γ組成的三維旋轉矩陣R,將初始協方差矩陣P0對角化,即可得到tr(CRB)的最小值。

在本節中首先定義三維空間中的旋轉矩陣,再對三維旋轉后的MAP方法進行推導。定義三維空間中的坐標旋轉矩陣如下所示。

(22)

其中α、β、γ分別為繞x軸、y軸、z軸逆時針的旋轉角,如圖2所示。

圖2 繞x軸、y軸、z軸逆時針的旋轉角 Fig 2 Rotation angle counterclockwise about the x -,y -,z - axis

R=RxRyRz

(23)

當三維空間中進行坐標旋轉時,可得旋轉后定位系統中各參量為

(24)

(25)

因此,旋轉后的俯仰角和方位角表示為

(26)

為了計算旋轉后的協方差矩陣可采用一階泰勒級數近似來計算旋轉后的角度噪聲。將式(3)代入到式(26)中,可得

(27)

由誤差傳播定律可知,在三維旋轉后,第k個節點的噪聲協方差矩陣可以寫為

(28)

旋轉后包含噪聲分量的角度估計為

(29)

旋轉后的tr和qr計算得到無噪聲的真實目標位置可寫為

(30)

因此,旋轉后的MAP 可表示為

(31)

采用式(24)中旋轉后目標先驗分布中的協方差矩陣,結合上式中的Kr,則MAP的協方差矩陣為

(32)

則式(31)可寫為

(33)

殘差為

Γ(sr)=[e(sr);r(sr)]

(34)

式中:

(35)

(36)

采用高斯牛頓法計算MAP,迭代關系式如下所示

(37)

2.3 最優節點部署方法

本節主要研究已知目標先驗分布的情況下純方位定位系統中節點的最優部署。首先,由第2.2節的結論可知,在目標聲源服從高斯分布的假設下,三維坐標旋轉能夠解決目標先驗協方差矩陣為非對角陣的問題,可通過三維坐標旋轉的方法將目標先驗分布中的非對角協方差矩陣轉化為對角陣,所以在后續研究中,只考慮P0為對角陣時的CRB。由式(5)～式(8)可知CRB的跡為

tr(CRB)=tr(Φ-1)≥

(38)

當以下等式同時成立時,式(38)的等號成立。

(39)

由于通過三維旋轉后P0為對角陣,則使CRB對角化的條件為[21]

(40)

滿足式(40)的方位角的集合為

C={{θ1,θ2,…,θN}|θk∈{0,±π/2},k=1,2,…,N}

{{0,0,…,0},{±π/2,±π/2,…,±π/2}}

(41)

俯仰角的集合為

Z={{φ1,φ2,…,φN}|φk∈{0,±π/2},k=1,2,…,N}

{±π/2,±π/2,…,±π/2}

(42)

3 實驗仿真

本節首先采用梯度下降算法,驗證本文基于目標高斯分布的定位系統中節點最優部署方法。假設已知目標的先驗概率分布,系統中有3個節點進行定位,并將節點位置隨意放置,文獻[21]中未經三維旋轉的最優部署位置和本文方法得到的最優部署進行對比,證明本文方法的優越性。

3.1 最優節點部署方法實驗驗證

采用牛頓梯度下降算法對定位誤差CRB的跡進行最小化迭代尋優[26],本實驗仿真中對牛頓梯度下降算法執行10 000次。

實驗 1目標聲源和傳感器之間的最小距離用r0表示,r01=r02=r03=100 m,s0=[0,0,0]T,協方差矩陣

σφ1=σφ2=0.5°,σφ3=1°。節點初始迭代坐標位置為p1=[100,-200,0],p2=[300,200,200],p3=[-200,100,-200]。圖3(a)為節點從初始迭代位置移動到最優部署位置的迭代軌跡。目標在最終位置時的角度為θ1=-91.07°,θ2=89.07°,θ3=-178.07°,φ1=-0.06°,φ2=-0.013°,φ3=-88.76°。

圖3 節點迭代軌跡圖Fig.3 Iterative trajectory of the sensors

實驗 2在其他條件都不改變的條件下,設先驗分布中的協方差矩陣為非對稱矩陣

通過三維坐標旋轉的方法將其轉化為對稱陣,旋轉角度為α=14.5°,β=342.1°,γ=15.4°,可得到對角矩陣

圖3(b)為節點從最初迭代位置到最優位置的迭代軌跡,最終角度為θ1=-92.12°,θ2=88.27°,θ3=-176.72°,φ1=-0.02°,φ2=-0.047°,φ3=-87.82°。

由此可知在協方差矩陣為對角陣和非對角陣的情況下,通過最小化CRB的跡得到節點最優部署,與理論推導結論一致。

3.2 節點部署對比實驗

本節將3種不同部署方法所得CRB的跡進行對比,驗證該算法的優越性如表1所示。

表1 3種節點部署tr(CRB)的對比

部署方法1:假設節點部署位置即為第3.1節中節點的初始迭代位置,其余條件相同。

部署方法2:文獻[21]中3個節點的最優部署位置,即θ1=0°,θ2=90°,θ3=90°,φ1=90°,φ2=0°,φ3=0°。

部署方法3:第3.1節中節點部署位置。

由表1可知,隨意位置部署時的tr(CRB)值較大,而文獻[21]的結果由于受高斯分布中協方差矩陣的影響,也不再適用于此情況,通過三維旋轉后得到的節點部署可獲得tr(CRB)的最小值。

4 結 論

為了解決定位系統中目標位置服從高斯先驗分布假設下的最優節點部署問題,本文探討了基于三維坐標旋轉的MAP方法,提出了一種基于目標高斯分布的求解克拉美羅下界的方法,并依此給出了最優的節點部署配置,最后通過梯度下降方法驗證了理論推導的正確性。由于本文中最優部署方法是基于AOA定位算法,這也將在后續研究中為AOA節點定位算法的最優布局和節點選擇等問題提供了理論指導和評價標準,以便在實際工程應用中獲得最佳目標定位與探測性能。