基于作戰網絡可靠度的體系貢獻率評估

周 琛, 宋筆鋒, 尚柏林, 王耀祖, 科爾沁

(西北工業大學航空學院, 陜西 西安 710072)

0 引 言

隨著網絡技術和裝備種類的不斷升級,現代戰爭正逐漸轉變為體系與體系之間的對抗。武器裝備的發展,也正由以平臺為中心,向以體系為中心轉變[1-2],在裝備論證和方案評估階段都需要從體系角度來對所研裝備進行評估。為了更加科學、系統地滿足這一需求,體系貢獻率概念便應運而生。

目前,國內對體系貢獻率概念及方法的研究尚處于起步階段[3],包括復雜網絡在內的多種理論方法被相關學者引入該領域,而基于作戰環的體系評估方法便是其中一個重要方向。該方法的核心在于利用既定規則,在充分考慮體系中裝備多樣性、裝備之間復雜關系等條件后[4],對武器裝備體系進行抽象,將其轉化為由節點和邊組成的有向圖模型,從而可從數學圖論和復雜網絡方向來對體系評估問題進行多維度的研究。國內對作戰環概念的正式定義,可追溯到文獻[5],其在文獻[6-9]構建的體系模型以及觀察、適應、決定、行動(observation、orientation、decision、action,OODA)思想基礎上,正式提出了作戰環概念來對武器裝備體系進行建模描述。此后,一些學者開始將具體的裝備性能以權值的方式引入模型之中,并對相應的體系評價方法進行了較大程度的補充[10-13]。文獻[14]初步將作戰環理論引入體系貢獻率領域,開拓了學者思路。文獻[15]在作戰環節點集合中首次以“合”的思想引入了綜合類節點,即兼具偵察、指控、火力、干擾等多種功能于一體的武器裝備,但并未給出與其相連邊的具體含義和權值計算方法,且用來計算作戰環能力值時所使用的簡單串并聯公式,在面對復雜連接時難以勝任。文獻[16]針對同一目標,使用概率串并聯公式,選擇能力值最大的作戰環來表征體系對該目標的影響能力,該方法避免了多作戰環復雜連接情況下的能力值計算問題,但選取最大值的方式可能與實際結果有所出入。文獻[17]采用分解的思想在作戰環建模中引入了綜合類裝備,即將其抽象為多個不同類型的節點,但并未考慮其體系貢獻率的處理方式。文獻[4]對文獻[17]進行了補充,針對綜合型裝備給出了較為通用的建模方法,并將綜合型裝備的總體貢獻率定義為其分節點貢獻率累加之和,但這種方式存在邊或環重復統計的問題。

通過對現有研究進行總結和分析可以發現,目前的作戰環方法仍存在一些有待進一步補充和優化的問題:

(1) 現有對作戰環能力值的計算方式,包括自信息量、概率上的串并聯分解等只適用于節點較少,結構簡單的作戰環網絡,且基于自信息量的計算結果與實際有較大出入;

(2) 對綜合節點在作戰環建模和體系貢獻率評估流程中的處理存在不足或不合理之處;

(3) 各類邊權值的計算大多基于關聯節點的能力指標,但節點指標體系的構建和指標空間到邊權值的映射尚未形成統一且有說服力的模型或方法;

(4) 多數研究均是著眼于作戰環對敵方作戰體系的影響能力,屬于貢獻率中的作戰能力范疇,對作戰環其他能力、效能、結構性能方向的研究還有待拓展。

而本文將針對上述問題給出部分解決方案:利用網絡連通可靠度思想,給出了一套針對武器裝備體系作戰環能力值的計算方法,同時在文獻[4,15,17]對綜合型裝備處理思路的基礎上,綜合給出了改進的網絡建模和貢獻率評估方法。

1 基于作戰環的武器裝備體系網絡模型構建

1.1 節點的建模

文獻[5]將作戰環定義為:為了完成特定的作戰任務,武器裝備體系中的偵察類、決策類、攻擊類等武器裝備實體與敵方目標實體構成的閉合回路。依據該思路,文獻[5]將己方武器裝備體系中的實體抽象為偵察S、決策D、攻擊I3類節點,按照作戰過程中各節點之間的作用關系,以對方的目標節點T為中心,對其進行連接,從而形成單向閉合的作戰環回路,圖1所示是一些典型的作戰環單元。

圖1 作戰環單元Fig.1 Operation loop unit

在交戰過程中,雙方的3類作戰節點均可映射為對方的目標節點T,雙方圍繞這些目標節點在內部形成眾多的作戰環單元,這些作戰環單元再經過局部串聯、并聯等方式組成復雜的作戰環網絡,如圖2所示。

圖2 作戰環網絡Fig.2 Operation loop network

上述建模方式在眾多文獻中已基本達成共識。然而,在現代化戰爭中,仍有大量高度集成的綜合型裝備存在,這些裝備往往具有多種功能,如戰斗機具有目標偵察、火力打擊、指揮控制等功能;預警機具有偵察、指控等功能;還有眾多空、天、地、海的綜合型裝備。因此,為了使作戰環方法更具適用性,就需要將綜合型裝備恰當地引入到建模和求解過程中來。針對這個問題,目前的處理思路有兩種:一是遵循“合”的思想,將綜合型裝備抽象為單獨的第5類節點,這種思路使得該類節點在作戰環中的功能定位較為模糊,可能形成節點間的雙向連接,繼而涌現出復雜的連接關系;二是遵循“分”的思想,將綜合型裝備分成多個單一功能的節點,這些節點均屬于偵察、決策、攻擊3類之一,這種處理思路較為清晰,且由于不改變作戰環的組成要素,可以在現有能力值計算和體系貢獻率研究的基礎上進行拓展。因此,本文將基于“分”的思想來引入綜合類節點。

文獻[4]基于分層思想,給出了一種較為合理的建模方式:對于某一武器裝備體系,可將其所有作戰相關的綜合型裝備或僅具有單一功能的裝備共同組成裝備集合并定義為裝備層;將該層中的裝備按照其功能映射為3種裝備功能模塊(偵察、決策、攻擊)中的一個或多個,這些功能模塊所組成的集合可定義為裝備功能層。上述建模過程如圖3所示。

圖3 裝備分層描述Fig.3 Hierarchical description of the equipment

在上述分層描述模型中,作戰環將被構建于裝備功能層,其節點為眾多裝備模塊,邊則表示這些裝備模塊之間信息、能量、物質等的交換關系。此時武器裝備體系作戰有向網絡模型可以數學表達為

G=(V,E)

(1)

式中：V為作戰網絡節點集;E為作戰網絡有向邊集。作戰有向網絡節點集仍包含偵察、決策、影響、對方目標4類實體,即

V=S∪D∪I∪T

(2)

式中:各類節點集合可分別表示為

(3)

(4)

1.2 邊的建模

在上述的武器裝備體系中,各個裝備模塊之間的作用關系被抽象成網絡中的邊,這種作用關系具有典型的上下級關系(同類節點之間由于依賴關系也具有層次性),現有對作戰環能力的計算多基于邊的權值來進行。裝備間的關聯關系與裝備類型和其能力指標密切相關。

(5)

對于不同類型的邊,其映射函數不同。經過映射函數求得的歸一化權值可以理解為兩節點之間的連通概率或可達概率,也能理解為邊的能力值。

2 作戰環網絡能力求解與貢獻率評估

2.1 問題轉化

作戰環網絡的能力值表示我方武器裝備體系對對方目標的影響能力[14],屬于體系殺傷能力范疇,一般由邊值綜合計算得到。考慮到單目標情形下的作戰環網絡,由于目標節點的唯一性和節點層次性,使得網絡中存在的作戰環回路均需通過目標節點,因此回路的存在和連通性是衡量作戰環對目標節點影響能力的關鍵指標。若將邊的權值理解為維持兩節點正常連通的概率,則作戰環網絡能力值,便可以轉化為求解網絡中存在通過目標節點連通回路的概率。對于這個問題的求解可以從網絡可靠度問題的解決方案中找到思路。

網絡可靠度主要研究網絡系統在節點或邊隨機失效條件下,系統正常工作的概率,對于本文所討論的作戰環網絡能力值問題,其本質是求解網絡回路的連通性,通過對網絡的適當變形,可以將問題轉化為二端可靠度問題[18-22]。

目前求解二端可靠度的方法主要有解析法、定界法和近似法3種類型[23-24]。對于規模較小的網絡一般采用解析法來求其精確解,這類方法主要有完全枚舉法、基于最小路集、最小割集方法等。而對于大規模網絡,則多采用不同形式的蒙特卡羅方法(Monte Carlo method, MCM)通過大量抽樣來近似求解。

綜上,對網絡可靠度的計算可從精確解和近似解兩個角度出發,從而適應不同規模網絡可靠度的計算要求。對于精確解,本文將采用基于最小路集的經典解析方法,并在其基礎上運用De Morgan定理和不交型積之和定理進行不交化處理,從而簡化運算易于計算機實現。同時，針對大規模網絡所采用的近似法將基于MCM展開,并與通過矩陣分析推導出的適用于作戰環回路網絡的連通性判斷方法相結合,對作戰環網絡能力值進行求解。

2.2 基于不交化的最小路法求解

最小路法是求解網絡可靠度的經典算法,其思想來源于圖論中的“迷宮尋路”理論,該算法本身是用來求解網絡中兩端點之間連通概率的,要將其應用于求解通過某節點的回路連通概率,需要首先對作戰環網絡進行等價變換。

對于一個給定的作戰環網絡,可將需要求解的目標節點分解為源點Tθ和匯點Tδ兩個虛擬目標節點,分別繼承該目標節點的流出和流入邊,從而將通過目標節點的回路展開,變換過程如圖4所示。

圖4 網絡拆解示意圖Fig.4 Dismantling schematic diagram of network

經過上述變換,便可將問題轉化為求解源點Tθ至匯點Tδ的二端可靠度問題,從而引入最小路法進行求解。

最小路法的核心便是最小路,文獻[25]中將最小路定義為:網絡中的某些邊狀態都為正常時,網絡兩端點之間連通,則由這些邊組成的集合稱為路,若該集合的任意子集不為路,則稱該路為最小路,網絡中所有最小路組成的集合稱為最小路集。

尋找網絡中所有最小路的常用方法有鄰接矩陣法、布爾行列式法、節點搜索法等[26]。其中最常用的是節點搜索法[27],該方法從網絡源點出發,通過節點遍歷的方式搜索出源點與匯點之間所有的最小路。

按照上述方法尋找出作戰環網絡的最小路集{Ai}m后,源點Tθ和匯點Tδ之間的可靠度RTθTδ可表示為

RTθTδ=P{Tθ與Tδ相連通}=

(6)

在這里Ai表示第i條最小路保持連通這一事件,即其包含的所有邊均處于連通狀態。若設第i條最小路中的第t條邊連通的概率為Eit,則Ai發生的概率為

(7)

式中:n為第i條最小路中包含邊的個數。因此,可靠度RTθTδ的值便是網絡中所有最小路連通事件的和事件所發生的概率。

對于式(6),早期一般采用容斥原理[28-30]將其展開為求和項,但由于該方法展開后的項數與狀態枚舉方法相差無幾且計算繁瑣,因此現在一般采用不交化方法對式(6)進行展開。

首先根據布爾代數法則,對于兩個相交事件A和B,可通過下列等式使得符號∪兩側事件不相交化:

(8)

式(8)可通過圖5所示的文氏圖來形象理解。

圖5 和事件的不交并Fig.5 Venn diagram of set operations

對式(6)中的和事件按照式(8)所示規則作不交化處理,從而得到不交直和形式:

(9)

設事件A1,A1分別為以下邊元素的布爾積：

(10)

則根據不交型積之和定理可得

(11)

(12)

式中：Adis,i為不交最小路。從而RTθTδ的計算公式可簡化為

(13)

通過上述步驟,將式(9)中各項積事件轉化為了不交最小路形式,從而簡化了概率的求解,之后其各項便可通過De-Morgan律、集合代數分配律和吸收律展開、歸并,并將各邊值代入其中便可解得RTθTδ,即針對單目標的作戰環能力值。

綜上,基于不交化的最小路方法求解作戰環網絡能力值的過程如圖6所示。

圖6 最小路法計算流程Fig.6 Calculation flow of minpath method

2.3 基于譜半徑的蒙特卡羅近似求解

當網絡過于龐大,結構極為復雜時,二端可靠度的精確求解是典型的非確性多項式困難問題,目前尚未有解決這類問題的精確方法[33],因此在這種情況下,近似解法便成了最優選項,而蒙特卡羅模擬方法是其中最常用的方法,其求解過程一般可分為兩個步驟:狀態抽樣和狀態判定。

在各邊狀態獨立的條件下,狀態抽樣環節便是利用[0,1]區間的均勻分布對各邊狀態進行抽樣,對于某一作戰環邊,若使用1和0來分別表示其正常和失效狀態,則其第k次抽樣結果可表示為

(14)

Var(R)=Var(R)/K=R(1-R)/K

(15)

上述兩個步驟有時可以同時進行,如傳統的基于深度優化(depch first search, DFS)算法、廣度優先(breadth first search, BFS)算法的MCM[35]。現有的狀態判定方法在作戰環網絡中的應用仍需對網絡做如最小路法中所論的等價變換,但在只考慮狀態判定時,由于作戰環網絡能力值問題的特殊性,還可從回路的存在性角度對狀態進行判定,從這個思路出發,本文根據圖理論給出下述方法。

對于一個作戰環網絡的狀態抽取樣本,其邊狀態均已確定,其鄰接矩陣Ak轉化為0～1矩陣,則該狀態下的作戰環網絡中回路存在性可由其鄰接矩陣Ak的譜半徑ρ(Ak)來進行判定:

(16)

式(16)的證明如下。

證明設第k次狀態抽樣樣本的鄰接矩陣:

(17)

綜上可得到抽樣后的作戰環網絡中不存在回路的充要條件:網絡的鄰接矩陣為冪零矩陣。

根據冪零矩陣的性質,矩陣為冪零矩陣的充要條件是特征值均為0,即矩陣的譜半徑(特征值模的最大值)為0,因此根據充要條件的傳遞性,式(16)得證。

證畢

對于規模較大的網絡,其鄰接矩陣也將規模龐大,則可從譜半徑的上下限角度來減縮計算規模。由于由狀態抽樣所得到的鄰接矩陣為0～1,屬于非負矩陣,則其譜半徑下限可由矩陣行和來定義,即

(18)

當鄰接矩陣行和最小值不為0時,譜半徑不為0,根據式(16)鄰接矩陣必然存在回路。

綜上,基于譜半徑的MCM求解作戰環網絡能力值的過程如圖7所示。

圖7 MCM計算流程Fig.7 Calculation flow of MCM

2.4 裝備貢獻率評估方法

對于裝備貢獻率的一般求解思路,就是將某裝備從武器裝備體系作戰網絡中移除,比較移除前后體系的性能或功能差異,從而得出該裝備對體系的貢獻程度。在傳統的作戰環網絡中,由于未考慮綜合型裝備,每個裝備往往對應著唯一一個作戰環節點。由于本文在建模過程中引入了綜合型裝備,對裝備貢獻率的求解也需要對此進行相應的改進。文獻[4]中的處理方式是將裝備映射的所有虛擬裝備模塊節點求取貢獻率并求和,從而得到裝備的貢獻率,但由于不同模塊節點可能互相連接,存在邊重復計算的可能,因此本文給出以下改進方法。

對某裝備的貢獻率求解,將從裝備層出發,移除裝備層節點和其在功能層的所有映射節點,計算移除前后武器裝備體系的性能或功能(本文中為作戰環網絡能力值),此裝備的貢獻率為

(19)

式中：EfG表示原武器裝備體系G對對方的綜合影響能力或是面向特定使命任務的作戰能力,由上文中的多目標加權公式求得;EfG-ei表示移除裝備ei后的能力值。

同時,若將式(19)的EfG換作單目標的網絡能力值Ri可解出某裝備針對軍事行動層中各個目標的貢獻率。

3 實例分析與算法比較

3.1 海岸飛機攔截體系作戰環網絡構建

本文將利用上述網絡建模和裝備貢獻率求解方法,對一個海岸飛機突防與攔截作戰行動中涉及到的武器裝備體系進行貢獻率評估,以此來完成本文方法的檢驗工作。

該體系涉及到的裝備及其裝備模塊映射如圖8所示。根據想定流程可將上述映射后的裝備模塊構建為圖9所示的作戰環網絡。本文對各邊的權值(連通概率)設定如表1所示。

圖8 實例體系中的裝備系統Fig.8 Equipment system of the instance

圖9 實例體系的作戰環網絡Fig.9 Operation loop network of the instance

表1 網絡邊權值

3.2 能力值計算

根據表1可以得到作戰網絡的鄰接矩陣,利用不交最小路法和基于譜半徑的MCM分別求解上述作戰環網絡的能力值R,計算結果如表2所示。

表2 海岸攔截體系作戰環網絡能力值

從表2中可以看出,不交最小路法與基于譜半徑的MCM結果近似相同,前者為精確解,后者為近似解。上述兩種結果互為印證,表明了本文兩種算法在計算網絡能力值上的基本正確性。

3.3 裝備體系貢獻率評估

利用本文方法計算實例中某裝備的貢獻率,需要首先將其從體系中移除,并重新計算移除該裝備后的作戰環網絡能力值。以水面艦艇為例,首先在裝備層將其移除,之后在裝備功能層移除其映射的功能模塊S3和與其連接的邊,此時裝備體系的作戰環網絡如圖10所示。重新計算攔截體系對被攔截飛機的影響能力R-e,結果如表3所示。

圖10 移除水面艦艇后的作戰環網絡Fig.10 Operation loop network after removing surface ship

表3 移除裝備后的作戰環網絡能力值

則水面艦艇的體系貢獻率求解,可以通過將上述由不交最小路法或基于譜半徑的MCM法求出的能力值結果代入式(19)進行計算,在這里以代入不交最小路法得到的能力精確值為例:

按照上述方法,計算出各裝備的體系貢獻率,如表4所示。從表4中可以看出,在這個海面飛機攔截體系中,由于指控命令均需通過地面指控中心確認,因此其在該體系中是必不可少的系統;而兩架攔截飛機因為其具有體系中的火力打擊模塊,貢獻率也較高,且因為二者參數假設相同,計算結果一致,這也印證了算法的正確性。

表4 攔截體系裝備貢獻率

3.4 算法比較

為了進一步地比較兩種方法在計算不同規模網絡時的效果,本文通過程序隨機生成大規模作戰環網絡來進行探討,其生成策略如下:

(1) 保持S、D、I3類節點數量相同,T節點唯一;

(2) 邊的數量將由節點間連接概率決定,這里假定其為0.15,從而保證生成的網絡鄰接矩陣稀疏因子小于0.1;

(3) 邊的權值將隨機在[0.6,1]范圍內均勻抽樣確定。

按照上述規則生成不同節點規模的隨機網絡后,本文依托于Matlab平臺對本文兩種能力值求解方法進行了實現,并在同一運算環境下運行來獲得算法的運行時間。同時,由于邊連接概率等因素為同一節點數目下生成網絡的規模帶來了隨機性,因此在實驗中,對于同一節點數目,將生成100個隨機網絡,算法的運行時間也將取其均值。兩種算法的運算效果如圖11所示。

圖11 算法運行時間比較 Fig.11 Comparison of algorithm runing time

從圖11中可以看到,使用不交最小路的解析法求解網絡能力值,在網絡規模較小時,其運算效果較好,但隨著網絡節點數目的擴大,其運算時間極速增長。而近似方法的增長曲線較為平緩,能夠應對大規模網絡的能力值求解問題。同時對于譜半徑MCM近似方法,由于作戰環網絡的鄰接矩陣具有明顯的稀疏特性,因此在計算機求解中還可采用稀疏思想對鄰接矩陣進行儲存和譜半徑求解,如使用Arnoldi法[36-37]等近似特征值算法來加快計算速度。

4 結 論

本文優化了一種在作戰環建模中引入綜合型裝備的方法;重點探討了作戰環網絡能力值的準確求解問題,結合網絡可靠度計算思想,給出了不交最小路和基于譜半徑的蒙特卡羅兩種可行的計算方法;給出了在綜合型裝備參與下的體系貢獻率求解方法;同時,利用某一海岸飛機突防與攔截作戰實例對上述建模和求解方法進行了檢驗。本文針對作戰環能力值計算和貢獻率評估提出的綜合型裝備處理方式,對前人的相關工作進行了改善,邏輯性、適用性和可行性均得到了增強;同時本文將網絡可靠度方法引入了作戰環能力值的求解中,較好地解決了之前所采用的自信息量、串并聯公式等方法所帶來的不準確、計算難度大、不適合復雜大型網絡等缺陷。

另外,本文未詳細討論邊權值計算、節點失效、網絡時效性等重要問題和方向都是值得進一步研究的問題。