基于節點構形度均衡化的單層網殼結構優化設計研究

朱南海，李杰明

(1.江西理工大學土木與測繪工程學院，贛州 341000；2.江西省環境巖土與工程災害控制重點實驗室，贛州 341000)

大跨度空間網殼結構近年來被廣泛應用，其失效后往往造成嚴重的后果。穩定性是單層網殼結構設計中需要考慮的一個重要內容[1]，而節點構形度與單層網殼結構的穩定性有著密切聯系。節點構形度是反映結構構件間連接能力的重要參數，節點連接能力差異越明顯表明結構存在薄弱區域，其整體性能也越差[2]。因此，研究節點構形度對提升結構的力學性能具有重要意義。

目前許多學者從多角度對結構的節點構形度進行了相應研究。Blockley等[3?4]基于構形度概念提出了結構拓撲構形易損性理論，通過研究結構幾何拓撲關系，將整體結構劃分成不同層次的結構簇，形成構件層級拓撲模型，通過解簇過程，分析結構可能出現的失效路徑，并識別各種失效路徑下結構構件連接中的薄弱部位。在此基礎上Agarwal等[5?6]提出了結構圓的概念，將結構拓撲構形易損性理論擴展到三維空間桁架體系和三維空間剛架體系，并考慮了結構在動力作用下的失效模式。England等[7]基于結構拓撲構形易損性理論，考慮外部荷載作用下結構可能出現的失效模式，并驗證了結構拓撲構形易損性理論識別結構薄弱易損部位的準確性。近幾年結構易損性理論也吸引了國內許多學者的注意。葉繼紅等[8?12]以構形易損性理論分析單層球面網殼結構在地震作用下的失效機理，并通過實驗驗證其準確性。文獻[13? 14]基于結構簇、節點構形度與網殼倒塌破壞模式的聯系提出了地震作用下的結構倒塌模式優化策略。文獻[2]基于節點構形度提出了以節點構形度的對數標準差作為評價單層球面網殼結構整體剛度均勻性指標。文獻[15? 16]提出了考慮了荷載條件，幾何非線性及約束的節點構形度計算方法。文獻[17]提出了結構節點構形度差異系數的概念，研究了網殼結構的極限承載力與節點構形度差異系數之間的關系。

本文基于結構拓撲構形易損性理論中的節點構形度概念建立了結構節點構形度差異性評價系數，以其作為反映網殼結構節點連接能力差異性的指標，在此基礎上將降低節點構形度差異系數作為優化目標，考慮結構位移、構件長細比、強度及穩定性等約束條件，通過粒子群算法優化結構構件的截面尺寸，實現結構節點連接性能均衡分布，改善結構延性，提高結構極限承載力和整體性能。

1 節點構形度

結構節點構形度是構形易損性理論中的重要內容之一，其可以反映結構構件間的連接能力，而結構構件連接能力的大小與節點構形度值有關[17]。節點k的連接性能可用K kk矩陣形式來表示。結構集成所有單元剛度矩陣可得到整體剛度矩陣K nn，其可寫成n×n階分塊矩陣，即：

式中：K kk為整體剛度矩陣中跟節點k有關的剛度子矩陣；n為結構節點個數。

節點的構形度可用下式表示為：

式中：Qj為節點j的構形度；nd為結構節點的自由度數。節點構形度反映了此節點的連接性能，節點構形度越大，表明此節點連接能力越強，抵抗荷載的能力越高，節點性能越好，構件間的連接性能越緊密；反之，節點構形度越小，表明其性能越差，結構在此節點抵抗荷載的能力越弱。

2 節點構形度差異系數

節點構形度是結構構件間連接性能的重要參數指標[2]。本文將結構節點構形度差異系數定義為節點構形度方差與其平均值的比值，即：

式中：nc為結構非約束節點的個數；Q為結構節點構形度的平均值。式(3)中分子表示整個結構節點構形度的離散程度，分母衡量結構內部構件之間的平均連接性能。Sq越小表明結構節點連接性能分布越均衡，結構穩定性越好。

3 網殼結構節點構形度的均衡優化與實現

3.1 節點構形度差異系數的最小化

3.1.1優化目標的確定

為實現結構剛度的均衡分布，減小結構節點連接性能的差異性，以圓鋼管截面的尺寸(外徑D和壁厚t)為優化變量，將目標函數定義為：

式中，節點構形度差異系數Sq為構件i的外徑Di和壁厚ti的函數。

3.1.2約束條件

1)構件的長細比約束

根據《空間網格結構技術規程規定》(JGJ 7?2010)[18]規定，網殼結構構件的長細比約束可表示為：

式中：l0i為構件i的計算長度；αi為構件i的截面回轉半徑，λi為構件i的長細比；[λ]為構件的容許長細比，對受壓構件(軸壓構件、壓彎構件)[λ]取150，對受拉構件(軸拉構件、拉彎構件)[λ]取250。

2)結構最大位移約束

根據《空間網格結構技術規程規定》(JGJ 7?2010)[18]規定，網殼結構最大位移約束可表示為：

式中：δmax/(m)為結構最大豎向位移限值；L為結構短向跨度。

3)結構材料用量約束

為使結構經濟合理，需控制其材料用量，結構材料用量約束可表示為：

式中：Veit為第it優化步結構的總用鋼量；Ve0為結構允許最大用鋼量。

4)構件強度約束

根據《鋼結構設計標準》(GB 50017?2017)[19]結構構件強度約束可表示為：式中：Ni/(N)為構件i截面處的軸心壓力設計值；Mxi/(N·mm)、Myi/(N·mm)分別為同一截面處繞x軸和y軸的彎矩設計值；Ai/(mm2)為構件i的凈截面面積；γm為圓形構件的截面塑性發展系數，因所有截面庫中圓管截面板件寬厚比均符合S3級要求，γm=1.15；Wi/(mm3)為構件i的凈截面模量；f為鋼材的強度設計值。

5)構件穩定性約束

根據《鋼結構設計標準》(GB 50017?2017)[19]壓彎構件穩定性約束可表示為：

3.2 基于粒子群算法的節點構形度差異系數最小化的實現

粒子群優化算法(PSO)是通過模擬鳥群覓食行為的一種進化計算技術，由Kennedy和Eberhart首次提出[20]，其基本思想是通過群體中個體之間的協作和信息共享來尋找最優解。近來，PSO在各種工程優化設計中廣泛應用，如結構形狀優化[21]，結構拓撲優化[22]和結構設計優化[23?24]等。本文以構件截面尺寸為優化參數，采用粒子群優化算法對節點構形度差異系數進行優化，實現結構節點連接性能均衡分布，其步驟如下：

步驟1.算法初始參數設置和優化問題初始化。

設置粒子空間搜索維數為P，粒子種群規模為m，搜索速度界限為Vmax、Vmin，學習因子為c1、c2，慣性系數為w。根據文獻[25]，選取ns種常用的鋼管，將選取的構件從1～ns編號(本文選取了196種常用鋼管，其外徑的取值范圍為89.0mm～406.0 mm，壁厚的取值范圍為2.5 mm～20.0 mm)。步驟2.粒子初始選取的構件編號及搜索速度初始化。

式中：w為慣性權重；c1、c2為學習因子；r1、r2為在(0,1)范圍內產生的隨機數[26]。

基于粒子s在第it步選取的構件編號及it+1步的搜索速度，更新粒子在it+1步選取的構件編號。

步驟5.終止條件。

當粒子搜尋到最大迭代數目時，PSO算法終止，否則，重復步驟3和步驟4。

采用粒子群優化算法，將結構構件截面尺寸作為優化變量，以式(3)所示的節點構形度差異系數Sq最小化為目標函數，實現結構節點連接性能均衡分布，其優化流程如圖1所示。

圖1 結構節點構形度優化流程圖Fig.1 The flow chart of the optimization of nodal well-formedness

4 算例分析

4.1 40 m跨度K6N6單層球面網殼

如圖2所示的K6型單層球面網殼結構，跨度為40.0 m，矢高為8.0 m，周邊設置固定支座，節點為剛性連接，主肋及環向桿件截面尺寸為114.0 mm×4.0 mm，斜桿截面尺寸為 108.0 mm×3.5 mm，結構桿件均采用Q235鋼管，彈性模量為210.0 GPa，密度為7.85×103kg/m3，泊松比為0.3，桿件屈服強度為235.0MPa，各桿件的應力和結構位移均滿足設計要求。

圖2 一K6N6型單層球面網殼結構Fig.2 A K6N6 single-layer reticulated shell

作用于該網殼的荷載包括：球殼自重為0.4 kN/m2，球節點自重為 0.2 kN/m2，屋面板自重為0.6 kN/m2，設備管道自重為 0.4 kN/m2；活荷載為0.5 kN/m2。在計算結構內力時，將網殼結構上的均布荷載設計值以等效集中荷載的形式作用于節點上，等效節點力為20.0 kN。

根據結構桿件的空間位置，從內到外以及從徑向桿件到斜向桿件再到環向桿件的順序將結構桿件劃分為11組，每組桿件采取相同的截面尺寸，桿件分組如表1和圖3所示。

圖3 K6N6型單層球面網殼的桿件分組(1/6模型)Fig.3 Member group of the K6N6 single-layer reticulated shell (1/6 model)

表1 K6N6型單層球面網殼的桿件分組Table 1 Member group of the K6N6 single-layer reticulated shell

將各組桿件截面尺寸作為優化參數，以結構節點構形度差異系數最小化為目標函數，采用粒子群優化算法對結構桿件的截面尺寸進行優化，圖4為目標函數值的變化過程曲線。由此可知，優化過程中結構節點構形度差異系數不斷減小，最后趨于平穩，原結構節點構形度差異系數數值較大，節點連接能力差異較大，優化后結構節點構形度差異系數數值明顯減小，其數值從0.358降到0.273。在控制結構材料用量不高于原結構的條件下，優化后各組桿件的截面尺寸如表2所示。此時結構桿件的最大長細比為106.0，按桿件強度驗算其最大應力為170.58N/mm2，按結構穩定性驗算其最大應力為208.69N/mm2，均滿足設計約束條件。

圖4 優化中K6N6型單層網殼的節點構形度差異系數曲線Fig.4 The differencecurve of nodal well-formednessin the optimization of the K6N6 single-layer reticulated shell

表2 K6N6型單層網殼結構優化后的桿件尺寸Table 2 The member cross-sectional dimensions in each group of the K6N6 single-layer reticulated shell after optimization

對該網殼結構進行靜力極限承載力分析，其初始幾何缺陷最大計算值按《空間網格結構技術規程規定》(JGJ 7?2010)[18]要求的L/300進行施加，由此可得結構荷載-位移曲線如圖5所示。由圖5可知，優化后結構極限承載力由30.386 kN增加到33.035 kN，高于等效節點荷載20.0 kN，有效提升了結構的安全性。同理對結構施加三向El-Centro地震波，逐級提高地震加速度峰值，得到地震加速度峰值-節點最大位移曲線(圖6)及地震加速度峰值-桿件屈服比例曲線(圖7)，由圖6及圖7可知，優化前結構在地震加速度峰值達到550 gal時，結構節點最大位移為0.094 m，桿件屈服比例為0.451，而地震加速度峰值達到600 gal時結構節點最大位移增大到0.507 m，結構發生動力失穩破壞；優化后隨著加速度峰值的提高結構位移逐漸增大，結構發生倒塌破壞時地震加速度峰值提升到655 gal，對應的結構位移和桿件屈服比例分別為0.486 m、0.693，破壞模式為強度破壞。分析結果表明，通過優化節點構形度差異系數，調整結構桿件截面尺寸，可實現網殼結構節點連接性能分布趨于均衡，其延性和極限承載力有較大提升，地震作用下結構破壞模式有所改善。

圖5 K6N6型單層球面網殼結構荷載-位移曲線Fig.5 Maximum displacement-load of the K6N6 single-layer reticulated shell

圖6 K6N6型網殼結構地震加速度峰值-位移曲線Fig.6 Maximum displacement-acceleration amplitude of the K6N6 single-layer reticulated shell

圖7 K6N6型網殼結構地震加速度峰值-桿件屈服比例Fig.7 Yield element ratio-acceleration amplitude of the K6N6 single-layer reticulated shell

4.2 15 m跨度單層柱面網殼

如圖8所示的單層柱面網殼結構，跨度為15.0 m，長度20.0 m，矢高為3.0 m，縱向設置固定支座，結構桿件材料采用Q345鋼材，桿件截面尺寸為114.0 mm×4.5 mm，彈性模量為210.0 GPa，密度為 7.85×103kg/m3，泊松比為0.3。桿件屈服強度為345.0MPa，等效節點力為10.5 kN，各桿件的應力和結構位移均滿足設計要求，結構桿件分組如表3和圖9所示。

圖8 一單層柱面網殼結構Fig.8 A cylindrical reticulated shell structure model

圖9 單層柱面網殼的桿件分組(1/4模型)Fig.9 Member group of the cylindrical net shell (1/4 model)

表3單層柱面網殼的桿件分組Table 3 Member group of thecylindrical net shell

同理采用粒子群優化算法對結構桿件的截面尺寸進行優化，圖10為目標函數值的變化過程曲線。由圖10可知，原結構的節點構形度差異系數數值較大，說明各節點間的連接能力差異較大，優化后節點構形度差異系數明顯減小，其值從0.658降至0.536。在控制結構材料用量不高于原結構的條件下，優化后各組桿件的截面尺寸如表4所示。此時結構桿件的最大長細比為86.5，按桿件強度驗算其最大應力為286.14N/mm2，按結構穩定性驗算其最大應力為307.01N/mm2，均滿足設計約束條件。

圖10 優化中柱面網殼的節點構形度差異系數曲線Fig.10 The difference curve of nodal well-formedness in the optimization of the cylindrical net shell

表4 優化后單層柱面網殼各桿件的截面尺寸Table 4 The member cross-sectional dimensionsin each group of thecylindrical net shell after optimization

同理對該網殼結構進行極限承載力分析得到結構的荷載-位移曲線(圖11)。由此可知，優化后結構的極限承載力由20.68 kN增加到27.40 kN，遠大于等效節點荷載標準值10.5 kN，其安全性能得到有效提升。同理對結構施加三向El-Centro地震波，得到的地震加速度峰值-節點最大位移曲線及地震加速度峰值-桿件屈服比例曲線如圖12、圖13所示，可知，原結構隨著地震加速度峰值不斷提高，其剛度不斷弱化，地震加速度峰值為550 gal時結構位移為0.260 m，地震加速度峰值再增加50 gal時，其位移突增，結構發生強度破壞；而優化后，地震加速度峰值達到700 gal時，結構發生倒塌破壞，此時結構位移為0.438 m，屈服桿件比例為0.500，其抗震能力有明顯提升。同樣說明通過優化結構桿件的截面尺寸，降低結構節點構形度差異系數數值，可有效地提升結構的穩定性，結構極限承載力及抗震性能得到有效改善。

圖11 柱面網殼結構的荷載-位移曲線Fig.11 Maximum displacement-load of the cylindrical net shell

圖12 柱面網殼結構的地震加速度峰值-位移曲線Fig.12 Maximum displacement-acceleration amplitude of thecylindrical net shell

圖13 柱面網殼結構的地震加速度峰值-桿件屈服比例Fig.13 Yield element ratio-acceleration amplitude of thecylindrical net shell

5 結論

本文基于結構構形易損性理論中的節點構形度概念提出了節點構形度差異系數，用于評價網殼結構節點的連接能力，在此基礎上，為合理利用材料，以降低節點構形度差異系數為優化目標，通過粒子群算法優化結構桿件截面尺寸，實現結構整體剛度分布的均衡性，以提高結構的極限承載力和整體性能。主要結論如下：

(1)基于節點構形度概念建立的節點構形度差異系數可以準確評價結構剛度分布的均衡性，結構節點構形度差異系數值越大，結構剛度越不均衡，對其極限承載力和抗震性能影響較大。

(2)以降低結構節點構形度差異系數為目標函數，通過優化各桿件的截面尺寸，可實現結構剛度的均衡分布。結構極限承載力明顯提升，地震作用下其破壞模式顯著改善，結構整體剛度弱化過程有所延長。