幾何尺寸約束的超燃沖壓發動機推力噴管設計

陳以勒，俞凱凱，徐驚雷

南京航空航天大學 能源與動力學院，南京 210016

超燃沖壓發動機是高超聲速飛行器的主要動力選擇，具有結構簡單、無需自身攜帶氧化劑、有效載荷大等優點，作為高超聲速技術實現的關鍵，是近年來國際研究的熱點之一[1-4]。超燃沖壓發動機一般主要由4部分構成，分別為進氣道、隔離段、燃燒室和尾噴管[5-6]。其中尾噴管是提供推力的重要部件，特別是當馬赫數超過6時，噴管可以產生約占整個推進系統70%的凈推力[7]。這說明噴管的性能將直接影響超燃沖壓發動機乃至高超聲速飛行器的性能，因此研究者們嘗試各種手段以提高噴管的氣動性能[8-11]。此外，由于超高聲速飛行器通常要求機體/推進系統一體化，進而對噴管的幾何尺寸產生了一定限制，因此噴管設計方法除了需要考慮其氣動性能的優化，還需要兼顧幾何約束的要求。

為提升噴管的氣動性能，Rao[12]采用變分法推導了最大推力理論，在此基礎上提出了一種最大推力的火箭噴管設計方法。最大推力理論在后來的噴管設計中得到廣泛的應用。Mo等[13]基于最大推力理論提出了一種非對稱噴管的設計方法，并應用該方法考慮非均勻來流設計噴管，最終可使噴管推力系數、升力和俯仰力矩分別提高1.75 %、 6.51 %和 6.25 %。Lv等[14]提出了一種基于特征線法的噴管設計方法，討論了下壁面長度對噴管性能的影響，該方法可以使噴管軸向推力系數、升力以及俯仰力矩分別增加5.5%、1 098.2% 和20.3%。Lu等[15]將Rao理論與流線追蹤技術相結合，設計了三維超燃沖壓發動機噴管，結果表明該方法可使噴管的推力和升力分別提升2.7%和69.5%。

為滿足噴管的幾何約束，Argrow和Emanuel[16]發展了最短噴管理論并用于噴管設計，但采用該方法設計得到的理想膨脹噴管仍然較長，難以滿足推力噴管的幾何約束。Shyne和Keith[17]提出可以利用截短方法使噴管滿足尺寸約束并達到減重的目的，結果表明需要在噴管的重量和性能損失上做出權衡。Hoffman[18]提出了一種壓縮型截短噴管的設計方法，應用該設計方法可有效縮短噴管長度，且壓縮型截短噴管的性能與 Rao 噴管性能相差僅0.04%～0.34%。

在現有的噴管設計方法中，盡管有些方法可以滿足部分尺寸約束[16-18]，但卻未能充分利用幾何空間來提升噴管氣動性能。因此，本文提出一種幾何尺寸約束的超燃沖壓發動機推力噴管設計方法，實現對噴管長度和高度的約束，同時優化其氣動性能。并且通過2個設計因子實現對噴管設計的主動控制，以滿足實際應用過程中針對噴管的不同性能需求。本文首先詳細介紹了提出的噴管設計原理與過程；其次校核了所使用的數值模擬方法的有效性，并確定了網格分辨率；然后，采用數值模擬對本文提出的設計方法進行了有效性驗證；在此基礎上，開展了2個設計因子對噴管性能影響的研究；最后，通過與典型截短設計方法進行對比分析，驗證了本文提出的設計方法的優越性。

1 噴管設計方法

1.1 特征線法

特征線法(Method of Characteristic, MOC)是一種用于求解雙曲型偏微分方程的通用數學方法，其在超聲速領域得到了廣泛的應用[12-15]。定常二維、平面或軸對稱的等熵超聲速流動的控制方程如式(1)所示。通過有旋特征線法可以對目標流場構造特征線網格，如圖1所示。其中任意節點均會發出3條特征線，分別為左行特征線C+，右行特征線C-和流線C0，分別對應特征方程式(2)和式(3)。

圖1 特征線網格

(1)

(2)

(3)

式中：θ為流動角；α為馬赫角；ρ為密度；p為靜壓；a為聲速；u為x方向的速度分量；v為y方向的速度分量；ux為u在x方向的導數，其余類似表達含義類似；δ表示流動類型(對于平面流取0，軸對稱流取1)。特征方程對應的相容性方程為

ρVdV+dp=0

(4)

dp-a2dρ=0

(5)

(6)

其中：Ma為馬赫數；V為速度。通過數值程序求解式(2)～式(6)，就可以獲得目標流場內各節點的氣動參數。此外，根據節點的類型可以分為幾種不同的單元過程，本文提出的設計方法主要包括3種類型的節點：內點、壁面點和變向區域點，單元點的具體求解方法可以參考文獻[19]。

1.2 最大推力理論

為提升噴管氣動性能，本文提出的設計方法采用了最大推力理論。Rao提出的最大推力理論目前已得到廣泛應用[13-15]，研究結果表明最大推力理論具有顯著的優越性。在此基礎上發展出了二維最大推力理論，二維情況時最后左行特征線上的氣動參數需滿足式(7)和式(8)，具體的理論推導過程可見文獻[14]。

(7)

ρV2sin2θtanα=C2

(8)

式中：C1、C2均為常數。圖2為幾何尺寸約束的推力噴管設計方法示意圖。噴管內各區域的設計細節如圖3所示。因此，為實現噴管推力最大化，沿最后左行特征線KuM上的氣動參數均需滿足式(7)和式(8)，其中C1、C2的值可由上位關鍵點Ku的氣動參數計算得到。同理，沿最后右行特征線KdN上的氣動參數可采用相似的方法確定[20]。值得注意的是，本文提出的設計方法根據幾何約束確定最大推力理論中的壓力條件。

圖2 噴管設計過程示意圖

圖3 各區域設計過程

1.3 噴管設計步驟

為克服以往方法未能充分利用幾何空間提升噴管氣動性能的問題，本文提出了一種直接從幾何約束(包括長度約束和高度約束)出發的設計方法，該設計方法結合了最大推力理論，可以使噴管在滿足幾何約束的同時優化其氣動性能。一般來說，進口條件和高度約束可以基本確定噴管內氣流膨脹程度。但是為了進一步有效控制噴管幾何尺寸并提升氣動性能，本設計方法引入2個設計因子，即比例因子和非對稱因子，用于實現對噴管設計的主動控制，以滿足實際應用過程中的不同性能參數需求。其中，比例因子用于確定核心點的設計參數，從而實現噴管內氣流膨脹程度可控，進一步提升噴管氣動性能。非對稱因子則用于控制噴管上、下壁面的非對稱膨脹程度，以平衡推升力。圖4為本文提出的設計方法的流程圖。具體設計過程如下。

圖4 噴管設計流程

步驟1根據噴管的進口參數和高度約束，利用一維流理論確定完全膨脹下噴管的出口馬赫數，并將其作為噴管設計過程中的初始馬赫數Ma0：

q(Ma0)Ae=q(Main)Ain

(9)

(10)

式中：Ma0為初始馬赫數；Main為噴管進口馬赫數；Ae為噴管出口截面面積；Ain為噴管進口截面面積；k為氣體比熱比。

步驟2確定比例因子β，利用式(11)和等熵關系式，獲得噴管的設計馬赫數Mad以及其他氣動參數。

Mad=β·Ma0

(11)

步驟3確定上壁面初始膨脹角δu，并利用式(12)得到下壁面初始膨脹角δd。根據噴管進口參數分布，初始膨脹段以及下壁面直線EE′，利用特征線法便可以求解區域①、②、③和④，并得到上下膨脹段發出的最后特征線的交點，即核心點I。其中，區域①的求解過程見圖3(a)。由特征線法可知，對于一條非特征線的初值線，可以采用單元過程中的內點法求解其影響域。在本設計方法中，進口條件確定了初值線AB，因此利用內點法對區域①進行求解，并獲得線AC上的流動參數。然后，根據式(13)和δu確定上初始膨脹段AD，并進一步采用壁面點法即可獲得線AD上各節點的流動參數。在此基礎上，利用內點法求解區域②，如圖3(b)所示。區域③和④的求解同理。需要注意的是，線EE′為一條可變直線，其長度在核心點I的迭代過程中確定。

(12)

y=b1x2+b2

(13)

式中：φ為非對稱因子，表征上、下壁面膨脹程度的非對稱性；x和y分別為節點的橫、縱坐標；b1和b2為常數。

步驟4為了使核心點I的氣動參數滿足步驟2中的設計要求，需要對步驟3進行迭代，得到滿足式(14)的上初始膨脹角δu和下壁面直線EE′的長度ld。進一步獲得區域①、②、③、④的流動參數。

(14)

步驟5在上膨脹段AD發出的最后特征線DI上構建上位關鍵點Ku的求解空間。區域⑤的求解過程如圖3(c)所示。利用最大推力理論確定沿著上位關鍵點Ku發出的左行特征線KuM上的流動參數，進一步借助變向點法求解區域⑤。此外根據流量守恒原理，流經特征線KuM的流量與通過特征線DKu的流量相等，并以此逐個確定構成型線DM的各點參數，獲得壁面型線AM。

需要注意的是，此時的壁面AM未必滿足長度約束，因此在求解空間DI中，采用二分法尋找到合適的Ku點以保證噴管的長度在約束范圍內，并求解出待設計的推力噴管上壁面AM。

步驟6類似步驟5，采用相同方法，根據高度約束確定下位關鍵點Kd并獲得待設計的推力噴管下壁面BN，完成噴管設計。

2 數值模擬方法

2.1 數值方法有效性

本文采用計算流體力學方法(Computational Fluid Dynamics, CFD)來獲得噴管的流場結構和氣動性能，數值方法中的控制方程為二維、穩態、可壓縮的雷諾平均Navier-stokes方程，利用有限體積法對控制方程進行離散，控制面上的無黏通量采用Roe-FDS通量差分格式獲取，湍流模型使用Shear Stress Transport(SST)k-ω兩方程模型。為了準確獲取壁面處的流動信息，對壁面附近網格進行加密，壁面處y+約為1。在數值模擬過程中，采用了壓力入口、壓力出口和壓力遠場等邊界條件。

為驗證上述數值方法的有效性，對文獻[13]中的噴管利用上述方法進行數值模擬校核。該噴管的幾何構型和計算網格如圖5所示，其中模型的幾何尺寸使用噴管的喉部高度ht進行無量綱化。根據文獻[13]中的實驗工況確定數值模擬中進出口邊界條件。數值模擬得到的噴管壁面壓力與實驗結果(EXP)對比如圖6所示，并利用進口總壓p*對壓力分布進行無量綱化。從圖中可以看到該數值方法能夠準確地獲得噴管內的壓力變化，壁面壓力的平均相對偏差僅為4.9%，因此可以證明上述數值方法的有效性和準確性。

圖5 噴管計算網格

圖6 噴管上壁面壓力分布

2.2 網格無關性

為消除計算網格分辨率對數值模擬準確性的影響，本節開展了網格無關性研究。噴管構型和遠場設置分別如圖7中的紅色區域和綠色區域所示。對該幾何模型使用商用軟件ICEM進行網格劃分，獲得了網格尺寸為粗(Coarse)、中(Middle)、細(Fine)尺度的計算網格(網格量分別為7萬、15萬和30萬)，其中，中尺度網格見圖7。相同工況下，不同尺度網格得到的上壁面壓力分布如圖8所示，可以看到整體上3種尺度網格的壓力分布基本一致。但通過局部放大，發現相比中尺度和細尺度的網格，粗尺度網格在x≈0.3, 0.75 m 處壓力分布出現較大偏差，最大偏差可達1.72%。因此，說明中尺度網格可以滿足計算精度的要求，在下文中均采用中等尺度的計算網格開展研究。

圖7 目標噴管的計算域及網格劃分

圖8 不同尺度網格的噴管上壁面壓力分布

3 設計方法研究

3.1 設計實例驗證

為驗證本文提出的幾何尺寸約束的超燃沖壓發動機推力噴管設計方法的有效性，本節運用該方法在某典型工況下對噴管進行設計，并對設計得到的噴管進行無黏模擬驗證。設計工況和幾何約束如表1所示，其中Lc為長度約束，Hc為高度約束，pin為進口壓力，Tin為進口溫度，Main為進口馬赫數，H為飛行高度，Mac為巡航馬赫數。此外本驗證算例中β取1.02，φ取0.9。設計得到的噴管構型見圖9，可以看到噴管的幾何尺寸能夠滿足約束條件。圖9為分別通過MOC和CFD獲得的噴管在設計工況下運行時的壓力云圖，可以看到MOC的壓力分布與CFD結果基本一致，同時MOC很好地捕捉到了噴管出口附近下壁面的反射膨脹波。此外，MOC獲得的壁面壓力相對CFD壁面壓力結果的平均誤差僅為1.36%。由此說明該方法能夠有效地設計噴管內流場結構，并獲得滿足幾何約束的噴管型線。

表1 設計工況

圖9 通過MOC和CFD獲得的噴管壓力云圖

3.2 比例因子影響

為研究在設計過程中比例因子對噴管型線以及氣動性能的影響，本節使用3個不同的比例因子在相同工況和幾何約束下對噴管進行設計，并獲得噴管的流場結構和氣動性能。設計得到的噴管及其流場結構如圖10所示，可以看到比例因子會顯著影響噴管構型，進而改變噴管內流場結構。隨著比例因子增加，噴管的擴張程度逐漸增加，導致上壁面高度增加，同時由于高度約束的存在，使下壁面逐漸縮短。此外，噴管出口馬赫數也隨著比例因子的增加而增加。

圖10 不同比例因子的噴管馬赫數云圖

表2給出了由不同比例因子設計得到的噴管的氣動性能，表中Fx為噴管軸向推力，L為升力，M為俯仰力矩，俯仰力矩的參考中心取在噴管進口下壁面處，Cfx為噴管推力系數，具體計算式為

(5)地表氧化鐵帽標志：礦體經風化后，呈黃褐色，具蜂窩狀構造，可見有大量的褐鐵礦斑點(鐵帽)，是找礦的直接標志。

(15)

(16)

(17)

圖11 不同比例因子的噴管氣動性能分布

3.3 非對稱因子影響

為研究非對稱因子對噴管設計及性能的影響，本節使用了3個不同的非對稱因子分別設計噴管，比例因子均取本研究中推力最優的比例因子，即β=1.02。通過數值模擬可以得到相應的噴管性能和流場結構。由圖12可以發現噴管下壁面會隨著非對稱因子的增加而縮短，下壁面的縮短意味著推力和負升力的有效作用面積減小，這將導致推力降低同時升力增加；此外，噴管上壁面擴張程度出現輕微減小，導致氣流膨脹程度降低，從而使上壁面壓力增加，這有利于推、升力的增加。

圖12 不同非對稱因子的噴管馬赫數云圖

不同非對稱因子的噴管氣動性能見表3。噴管氣動性能隨非對稱因子的變化趨勢如圖13 所示。可以看到隨著非對稱因子逐漸增加，噴管的推力系數逐漸降低，在φ為1.0處達到最小值0.741， 同時噴管的升力和俯仰力矩隨著非對稱因子的增加而增大，在φ為1.0處達到最大值，分別為3 009.97 N和2 154.46 N·m，這與上述分析結果一致。

表3 不同非對稱因子的噴管氣動性能

圖13 不同非對稱因子的噴管氣動性能分布

以上研究表明，通過調整比例因子和非對稱因子能夠實現對噴管氣動性能的主動控制，在現實應用中，可以根據對噴管性能的實際需求選取合適的比例因子和非對稱因子。

4 設計方法對比

4.1 典型截短設計方法

為證明本文提出的設計方法的優越性，本節將其與典型的噴管截短設計方法[13]進行對比分析。典型截短設計方法示意圖如圖14所示，其根據進出口條件設計完全膨脹噴管，并利用等比例截短方法使噴管滿足幾何約束，具體設計過程可見文獻[13]。

圖14 典型截短設計方法示意圖

應用截短設計方法設計噴管時，由于無法通過截短方法一次性獲得滿足高度和長度約束的噴管，因此首先根據長度約束進行等比例截短獲得噴管6，其幾何構型和流場結構可見圖15，具體尺寸在表4中給出，其中Ln為噴管長度，Hn為噴管高度。可以看到噴管6的高度并不能滿足約束條件。其次，根據高度約束進行等比例截短獲得噴管7，可以發現此時噴管7的長度會小于長度約束。這從側面再次說明截短設計方法并不能總是使噴管完全滿足幾何約束，并且可能會使部分尺寸過度截短，導致噴管性能惡化。

圖15 傳統噴管的馬赫數云圖

4.2 性能對比

根據2種截短條件得到的噴管性能參數在表4 中給出，同時給出了噴管2(由本文設計方法設計得到)的性能參數進行對比，表中ΔXn的定義為

表4 設計工況下噴管性能對比

(18)

式中：X為噴管的氣動性能參數，可分別取Cfx、L和M，下標“n”為噴管序號。可以看到根據長度約束得到的噴管6的推力性能高于根據高度約束得到的噴管7的推力性能，這說明隨著截短程度的增加，噴管的性能損失也隨之增加。此外，相對噴管6，本文提出的設計方法得到的噴管2的推力系數和升力分別提高了11.95%和209.50%，俯仰力矩下降了3.02%。需要注意的是，噴管6的高度并不滿足約束條件。而相對可以滿足幾何約束的噴管7，噴管2的性能提升更為顯著，其推力系數、升力和俯仰力矩的增幅分別可達33.36%、265.75%和37.21%。

因此，本文提出的噴管設計方法不僅可以使噴管滿足幾何約束條件，并且可以有效提升噴管的氣動性能。此外，通過調整比例因子和非對稱因子可以實現對噴管推力和升力性能的控制，以滿足實際應用中的需求。

5 結 論

本文提出了一種基于最大推力理論和特征線方法的幾何尺寸約束的超燃沖壓發動機噴管設計方法，該設計方法能夠在滿足尺寸約束的前提下優化噴管氣動性能，并且可以通過調節比例因子和非對稱因子來實現對噴管推、升力的控制。本文的主要結論如下：

1) 隨著比例因子增加，噴管推力系數先增加再降低，升力和俯仰力矩逐漸增加，對于特定的設計工況和幾何約束存在推力最佳的比例因子。隨著非對稱因子增加，噴管推力系數降低，升力和俯仰力矩逐漸增加，在非對稱因子為1.0時，噴管推力系數達到最小值0.741，升力和俯仰力矩達到最大值，分別為3 009.97 N和2 154.46 N·m。

2) 相比典型的噴管截短設計方法，本文提出的設計方法不僅可以保證噴管滿足幾何約束，同時還能使其性能得到顯著提升，噴管的推力系數、升力和俯仰力矩最高可提升33.36%、265.75%和37.21%。此外，在實際應用過程中可以根據不同的氣動性能需求來調整比例因子和非對稱因子，以獲得滿足不同性能要求的噴管。