智能車輛路徑跟蹤與穩定性的模型預測控制

鄒旭東，賈志強，張麗霞

(青島理工大學 機械與汽車工程學院，山東 青島 266520)

路徑跟蹤是智能車輛運動控制的核心問題之一，如何在跟蹤目標路徑的同時保持車輛的行駛穩定性也是車輛控制領域的研究熱點[1]，國內外許多專家學者都對此展開了研究。鄒凱等[2]為了提高整車模型精度，將輪胎模型Pacejka-98在每個控制周期都進行線性化，基于車輛的線性時變模型，設計了帶有控制量和控制增量等約束的模型預測控制器(MPC)，跟蹤精度較高，但是沒有考慮跟蹤過程中車輛的穩定性問題。陳特等[3]設計了一種兼顧路徑跟蹤與穩定性控制的滑?？刂破?，并提出一種輪胎力優化分配方案，在良好路面上實現了期望軌跡跟蹤，但是未對冰雪路面上的穩定性控制進行研究。孫躍東等[4]將汽車橫擺角速度名義值與實際值之差作為控制器的參考量，設計了以模糊比例積分微分(PID)算法為基礎的車身電子穩定系統(ESP)控制器，對汽車高速行駛在干燥瀝青路面上的工況進行聯合仿真分析，達到了較好的穩定性控制效果。王藝等[5]通過對車輛三自由度模型進行線性化，并加入控制量和控制增量約束，設計了一種MPC路徑跟蹤控制器，并考慮質心側偏角等約束，在中低速下實現了較好的路徑跟蹤效果。上述研究中均未對車輛在冰雪路面上跟蹤期望路徑的工況展開研究，這顯然與我國北方冬季經常出現冰雪路面的實際情況不相符[6]。

本文中基于線性時變模型，設計充分考慮冰雪路面上車輛行駛穩定性的MPC路徑跟蹤控制器，考慮到車輛在附著系數較小的路面上行駛時易發生側滑的情況，在控制前輪轉角進行路徑跟蹤的同時引入附加橫擺力偶矩來矯正車身姿態，并根據一定的分配邏輯分別計算4個車輪上的制動力矩輸出給車輛模型，以保證一定的路徑跟蹤精度，同時充分保障車輛的穩定性和安全性。

1 車輛模型

1.1 車輛二自由度模型

根據牛頓第二定律，二自由度模型車輛動力學方程為

(1)

(2)

xoy—車輛坐標系；XOY—慣性坐標系；車輛在x軸方向的速度；車輛在y軸方向的速度；車輛橫擺角速度；β—車輛質心側偏角；Fcf、Fcr—前、后輪胎的側向力；αf、αr—前、后輪胎的側偏角；δf—前輪轉角；a、b—車輛質心到前、后軸的距離。圖1 車輛二自由度模型

1.2 輪胎模型

輪胎作為車輛與路面接觸的唯一介質，結構復雜并有高度非線性動力學性能，因此選擇準確且便于應用的輪胎模型是進行車輛建模和動力學仿真的關鍵。本文中選擇經典魔術公式作為輪胎模型。

輪胎側向力Fc與輪胎側偏角α的關系如圖2所示。從圖中可以看出，在輪胎側偏角α較小時，輪胎所受側向力Fc與α呈線性關系。

圖2 輪胎側向力與側偏角的關系

前、后輪胎所受側向力Fcf、Fcr公式[8]為

(3)

(4)

式中Ccf、Ccr分別為前、后輪側偏剛度。

將上述簡化后的輪胎模型式(3)、(4)代入式(1)、(2)，并將車輛坐標系xoy轉換成慣性坐標系XOY，在前輪轉角δf較小時，基于線性輪胎模型，得到車輛動力學非線性模型為

(5)

(6)

(7)

(8)

2 MPC設計

2.1 MPC原理

由于MPC原理推導過程已有很多學者進行了詳細介紹，因此僅給出必要的文字敘述及關鍵公式。車輛的非線性動力學模型的狀態空間表達式為

(9)

車輛在高速行駛時，對控制器實時性要求更嚴格，非線性模型預測控制不能滿足需求，因此需要對式(9)即車輛非線性模型進行近似線性化。設參考點為(Xr,ur)，在該點對式(9)進行一階泰勒展開。雖然無法直接將狀態變量與控制量變成線性關系，但是可以對狀態變量和控制量誤差進行線性化。誤差的連續狀態空間方程為

(10)

線性化后的連續狀態空間方程無法進行MPC的遞推運算，因此采用一階差商的方法對模型進行離散化，并作轉換

(11)

得到k時刻基于控制增量的狀態空間表達式為

(12)

為了說明線性時變模型對車輛未來時刻輸出的預測，對所得到的基于控制增量的狀態空間表達式進行迭代，可得預測輸出表達式。最終都可以轉化為帶有控制量極限約束和控制增量約束的二次規劃問題[9]，即

J[ζ(t),u(t-1),ΔU(t)] ,

s.t. ΔUmin≤ΔUt≤ΔUmax,

Umin≤ΔUt+Ut≤Umax,

yhc,min≤yhc≤yhc,max,

ysc,min-εI3Np×1≤ysc≤ysc,max+εI3Np×1,

ε>0 ,

(13)

式中：J為MPC優化目標函數；u(t-1)為上一時刻控制量；ΔUt、ΔUmax、Umin分別為t時刻的控制增量及其上、下限；Ut、Umax、Umin分別為t時刻的控制量及其上、下限；yhc、yhc,max、yhc,min分別為硬約束輸出量及其上、下限；ysc、ysc,max、ysc,min分別為軟約束輸出量及其上、下限；Np為預測時域；ε為松弛因子，防止控制周期內無法求出最優解。

(14)

在每個控制周期循環此過程，即可實現車輛對期望路徑的跟蹤。

2.2 附加橫擺力偶矩控制機理及分配邏輯

(15)

aFcf-bFcr+2cFlr=0，

(16)

式中c為輪胎到車輛縱向中軸線的距離，即輪距的1/2。

Fcf、Fcr—前、后輪胎的側向力；a、b—車輛質心到前、后軸的距離；c—輪胎到車輛縱向中軸線的距離，即輪距的1/2；Flr—附加作用力。圖3 穩態轉向行駛時車輛受力平衡

從式(16)中可以看出，此時Fcf減小，Fcr增大；相應的前側偏角αf減小，后側偏角αr增大，車輛的不足轉向量減小。如果作用相反的橫擺力偶矩M，則車輛的過度轉向量減小，因此，作用于車輛的橫擺力偶矩M可以改變前、后車輪地面側向反作用力Fcf、Fcr的大小，并改善車輛的穩態轉向特性，顯著改善車輛的操縱穩定性。

設附加橫擺力偶矩M逆時針方向為正，該邏輯采用單輪制動，并且基于下列已知事實：1)左、右車輪制動比前、后車輪制動對車輛轉向影響更明顯；2)外側車輪制動可有效改善轉向過度，而內側車輪制動可有效改善轉向不足。

3 仿真與分析

基于車輛模型的建立，結合MPC的設計思路，采用CarSim與MATLAB Simulink軟件聯合仿真，對車輛在冰雪路面(附著系數μ=0.3)和干燥瀝青路面(μ=0.85)上以不同車速(54、72 km/h)跟蹤雙移線軌跡的情況進行分析，聯合仿真控制器結構如圖4所示。

φr—期望橫擺角；期望橫擺角速度；Yr—期望軌跡；車輛在x、y軸方向的速度；φ—車輛橫擺角；車輛橫擺角速度；X—行駛距離；Y—實際軌跡； Tfl、Trl、Tfr、Trr—左前輪、左后輪、右前輪、右后輪制動力矩；δf—前輪轉角；M—附加橫擺力偶矩。圖4 車輛模型的聯合仿真控制器結構

MPC求解出最優的前輪轉角δf和附加橫擺力偶矩M，并將附加橫擺力偶矩以上述分配邏輯分配給4個車輪制動力矩，并輸出給車輛模型，實現閉環最優控制。仿真車輛關鍵參數和模型預測控制器參數如表1、2所示。

表1 仿真車輛關鍵參數

3.1 中低速行駛工況仿真

車輛以車速54 km/h行駛，跟蹤一段雙移線軌跡，通過設置不同的路面附著系數，分析車輛在不同路面上對期望軌跡的跟蹤性能和控制穩定性。不同路面上路徑跟蹤、各輪胎滑移率仿真結果如圖5、6所示。

表2 模型預測控制器參數

從圖5(a)、(b)、(c)中可以看出，當車輛中低速行駛時，在2種路面條件下的跟蹤效果仍然良好，冰雪路面上的橫擺角速度較小，橫擺角速度保持在-10～10 (°)/s，有利于車輛的操縱穩定性，干燥瀝青路面上的橫擺角速度稍大，約為冰雪路面上的1.55倍，但是車輛仍然穩定；質心側偏角穩定控制在-1°～0.5°，符合質心側偏角在冰雪路面上的極限值約束。從圖5(d)、(e)、(f)中可以看出，車輛行駛在冰雪路面上時制動力矩較大，原因是滑移率增大，制動力矩效率下降，干燥瀝青路面上的制動力矩約為冰雪路面上的80%；結合圖5(a)、(d)中的轉向和制動曲線可以看出，在0.5 s時車輛開始左轉向，在同一時間控制器中，通過制動左側輪胎給予車輛一個正的附加橫擺力偶矩；在2.5 s時車輛右轉向，控制器釋放左側的制動，在右側制動，以產生負的附加橫擺力偶矩；從4.5 s開始車輛再次左轉向，車輛需要一個正的附加橫擺力偶矩，因此制動左側輪胎。上述結果說明，在控制器的作用下轉向和制動實現了良好配合。

從圖6中可以看出，車輛在過彎道的極限工況下，2種路面上各車輪的滑移率出現不同程度的震蕩，干燥瀝青路面上各車輪的滑移率均為-0.3%～0.3%，冰雪路面上最大滑移率出現在右前輪，為1.4%，在合理范圍內。

3.2 高速行駛工況仿真

車輛以車速72 km/h行駛，不同路面上路徑跟蹤、各輪胎滑移率的仿真結果如圖7、8所示。

從圖7(a)、(b)、(c)中可以看出，當車輛以較大車速行駛時，在干燥瀝青路面上仍有較高的跟蹤精度，而在冰雪路面上則有一定的跟蹤誤差，但是質心側偏角更小，約為干燥瀝青路面上的60%，有利于車輛的穩定性控制。從圖7(d)中可以看出，車輛在冰雪路面上行駛時需要更大的附加橫擺力偶矩來矯正車身姿態。圖7(e)、(f)的不同之處不僅在于各輪制動力矩的極值，而且體現在車輛2 s后開始過第2個彎道，干燥瀝青路面上過彎道時間僅為1 s，而冰雪路面上則持續了2 s，過彎道時間更長，轉彎半徑更大，這是控制器為了保證車輛穩定性而對前輪轉角和附加橫擺力偶矩所進行的優化處理。

從圖8(a)中可看出，滑移率被限制在-0.4%～0.6%，制動效率更高。從圖8(b)中可以看出，冰雪路面上最大滑移率為1.8%，出現在3 s時的道路曲率最大處。

4 結論

本文中根據具有2個控制輸入量的六階簡化自行車模型和附加橫擺力偶矩作用原理，設計了MPC路徑跟蹤控制器，在CarSim和MATLAB Simulink軟件聯合仿真平臺上驗證了控制器在不同車速、不同路面附著系數工況下的控制效果。

1)當車輛以中低速行駛時，控制器在2種路面條件下都有很好的跟蹤效果以及較強的穩定性，并且具有很強的魯棒性，橫擺角速度均被限制在-20～15 (°)/s，車輛質心側偏角保持在-1°～0.5°。

2)當車輛以較高車速行駛時，在干燥瀝青路面上的跟蹤效果仍然較好。在冰雪路面上雖然仍然保持了行駛穩定性，但是犧牲了一定的跟蹤精度，原因是車輛模型不夠精確。后續將通過采用更大自由度的車輛模型以及更全面的控制算法來解決該問題。