Origin軟件在研究三棱鏡色散關系與色散率曲線中的應用

何文瑜

(廣州市天河中學，廣東 廣州 510623)

透射光柵測光波波長、分光計測三棱鏡玻璃的折射率是大學普通物理實驗中兩個重要的實驗，通過將兩個實驗結合，可以得出三棱鏡的折射率與波長的函數。傳統的手工描點作圖法在涉及色散關系曲線的作圖上顯然存在較大的誤差，求解超定方程組得出函數系數的過程也較為復雜[1]。用MATLAB軟件對數據進行處理也需要進行復雜的編程，耗時較長[2]。此外，幾乎沒有涉及棱鏡色散率曲線的研究，若采用傳統計算得出棱鏡對不同波長的色散率，再進行手工繪色散率曲線圖，則需消耗大量時間，誤差也會進一步加大。

本研究通過測量更多組譜線最小偏向角的數據，利用Origin數據處理軟件得出更精確可靠的三棱鏡色散函數關系式，擬合三棱鏡色散曲線和色散率曲線，簡化數據處理過程，減小實驗誤差。

1 實驗基本原理

1.1 透射光柵測光波波長

S為位于透鏡L1第一焦平面上的細長狹縫，G為光柵，光柵的縫寬為d，相鄰狹縫間不透明部分的寬度b，自L1射出 的平行光垂直地照射在光柵G上。透鏡L2將與光柵法線成θ角的衍射光會聚于其第二焦平面上的P點。由夫瑯和費衍射理論知，產生衍射亮條紋的條件(光柵方程)：

圖1 透射光柵測波長光路圖

d·sinθ=kλ(k=±1，±2，…，±n)

(1)

其中θ角是衍射角，λ是光波波長，k是光譜級數，光柵常數d=a+b，測量時觀察1級光譜，取k=1，即可求得λ[3]。

1.2 最小偏向角法測三棱鏡玻璃的折射率

如圖2，AB、AC是折射面，三棱鏡頂角為α。

圖2 三棱鏡折射光路圖

(2)

1.3 棱鏡的折射率與色散率

媒質折射率與波長之間的函數關系稱為色散關系，在常用的色散公式中，擬合效果最好的是柯西色散公式[5]：

(3)

其中a，b，c是與材料性質有關的常數，折射率與波長的關系曲線稱為色散曲線。

2 實驗數據處理與曲線擬合

2.1 實驗數據

用透射光柵測光波波長的實驗中，調節光柵，觀察到中央譜線為白亮線(k=0的狹縫像)，其兩旁各有兩級其他色的譜線，實驗過程中可以看到11條譜線，分別是三條紫光、兩條藍綠光、一條綠光、兩條黃光、兩條橙光和一條紅光的譜線。轉動望遠鏡筒，可以讀出左右第一級衍射光譜的兩個角坐標，兩角坐標之差為對應譜線衍射角θ的2倍。再用同一盞汞燈測量對應顏色光譜的最小偏向角δ。得出的各譜線衍射角數據及最小偏向角數據如表1。

表1 汞燈11條譜線對應的衍射角和最小偏向角測量值

利用綠光波長的理論值λ綠=546.07 nm，令k=1，由測量出的譜線衍射角并根據公式(1)可以求得各色光波長的測量值。由測量出的各光譜最小偏向角并根據公式(2)可以求得各色光所對應的棱鏡折射率。計算結果如表2。

表2 汞燈11條譜線的波長以及對三棱鏡的折射率的計算值

2.2 數據處理

2.2.1 用Origin軟件最小二乘法擬合功能求三棱鏡色散函數關系

將數據輸入Origin工作表中，利用Origin軟件對測量數據進行非線性最小二乘法擬合，得出的結果如圖3所示。

圖3 擬合報告表

2.2.2 用Origin 軟件自定義非線性擬合功能擬合三棱鏡色散曲線

通過非線性最小二乘法擬合得出的色散關系曲線如圖4，由圖像可以看出，隨著光波長的增加，其折射率逐漸減小，這樣的色散稱為正常色散。應用色散關系曲線可以得出以下幾個信息：①若得知色光對物質的折射率，就可通過色散公式得出光的波長，從而計算普朗克常數；②由色散關系曲線可以推出該物質的材料；③由色散關系曲線可以估計未知波長的折射率或觀察不到的光的波長對應的折射率。

圖4 三棱鏡色散關系的擬合曲線

用Origin軟件中的“Data Reader”功能，可以讀出擬合曲線中任意一點的橫縱坐標值，若要讀取某一橫坐標確定點的縱坐標值，可用“縱向坐標讀取工具”。圖5顯示了當λ=401.04(紫1)時折射率n的測量值和擬合值，分別是n=1.683 1和n=1.683 7，可見擬合值與測量值吻合得較好，且由于測量光波波長時會與理論值產生一定的誤差，如紫1光的波長測量值的不確定度計算結果為0.8%，而擬合值可以在一定程度上減少誤差。除了可以用該工具對比測量值和擬合值，還可以讀出肉眼較難發現的色光對物質的折射率，如在實驗中觀察不到波長為567.59 nm的綠光，通過色散曲線可以得出它對應的棱鏡折射率為1.650 6，如圖6。

圖5 “縱向坐標讀取工具”讀取數據(λ=401.04)

圖6 “縱向坐標讀取工具”讀取數據(λ=567.59)

2.2.3 用Origin 軟件“微分”功能擬合三棱鏡色散率曲線

通過軟件“分析”菜單下的“微分”功能，選取要微分的范圍，即可對色散曲線進行微分，得出棱鏡的色散率曲線如圖7。圖中橫坐標為波長，縱坐標是對折射率的一次導數，通過曲線可以讀出不同波長的光對應的棱鏡色散率?？梢钥闯?，棱鏡對波長較大的光折射能力較強。

圖7 三棱鏡色散率曲線

3 結 語

通過運用Origin軟件中的最小二乘法擬合、繪圖、微分等功能，可以在很大程度上使數據處理過程變得更簡便、準確，傳統的筆頭運算不能很快地得出結果，常見的利用Excel軟件也不能自定義擬合方程，只能用自帶的多項式進行擬合，不能得出柯西色散公式形式的函數關系，缺乏科學性。且應用Origin軟件繪圖可以準確地讀出任意點的坐標，獲取實驗過程中觀測不到的數據，能夠簡化實驗、使我們獲取更多信息。

Origin軟件的利用不僅僅局限于三棱鏡色散實驗中，更可以廣泛地用于其他物理實驗中。尤其是對于測量數據復雜、測量物理量間有某種函數關系等情況，可以采用該軟件快速準確地進行數據處理，得出更具科學性的結果。