基于Mathematica 的牛頓環(huán)干涉與折射率關(guān)系的討論*

張麗穎，顧菊觀

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

1 引言

當(dāng)光從光疏介質(zhì)近似垂直或掠入射到光密介質(zhì)時(shí)，反射光有位相突變（或稱半波損失）。薄膜干涉中，當(dāng)薄膜處于介質(zhì)中，其上下表面反射時(shí)，兩束反射光之間因位相突變必然會(huì)產(chǎn)生額外的位相差或光程差。對(duì)于牛頓環(huán)干涉，上下表面及干涉膜折射率大小關(guān)系不同時(shí)，其對(duì)應(yīng)的額外光程差不同。目前的光學(xué)教科書，對(duì)于額外光程差給出的表達(dá)式大致分為三類，姚啟均《光學(xué)教程》中額外光程差取/2-λ[1]；章志鳴《光學(xué)》教材中額外光程差取 2/λ[2]；鐘錫華《現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)》中額外光程差表述則取0 即不考慮半波損失因素[3]，可見上述教材對(duì)于額外光程差都沒有給出一個(gè)明確的定義。郭有能[4]等人也曾在研究牛頓環(huán)干涉的過程中討論了不同折射關(guān)系下的額外光程差，但其分析結(jié)果依舊不夠準(zhǔn)確。顯然這對(duì)初學(xué)者理解半波損失和額外光程差造成了一定的困難。

另外，通過計(jì)算機(jī)軟件可以模擬出各種情況下的干涉仿真圖像，其結(jié)果對(duì)于分析能夠起到一個(gè)很好的參考作用。唐平英[5]等人在研究光的衍射時(shí)就利用Mathematica 中交互功能更加生動(dòng)形象地向讀者展示了模擬圖像。關(guān)于牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)，目前已有許多利用Matlab 模擬得出的研究成果。例如，郭天宇、韋仙、申惠娟[6-8]等學(xué)者研究的入射光波長(zhǎng)、曲率半徑、折射率等因素對(duì)于牛頓環(huán)干涉圖案變化的影響，但仿真圖樣基本為靜態(tài)圖且不夠生動(dòng)形象。

基于上述兩個(gè)問題，將在已有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究當(dāng)牛頓環(huán)上下表面及干涉膜的折射率大小關(guān)系不同時(shí)，其對(duì)應(yīng)的光程差的表達(dá)式。并借助Mathematica 軟件模擬出的光強(qiáng)分布和條紋干涉圖樣對(duì)其進(jìn)行具體分析。根據(jù)曹佳妍[9]等人的研究可知牛頓環(huán)干涉圖樣的改變會(huì)影響牛頓環(huán)半徑的測(cè)量，因此該研究結(jié)果不僅能夠更加形象直觀地加深學(xué)生對(duì)光干涉現(xiàn)象的理解，了解和掌握Mathematica 在物理學(xué)及光學(xué)中的應(yīng)用，而且對(duì)于教學(xué)工作也具有很好的指導(dǎo)意義。

2 牛頓環(huán)干涉原理

如圖1 牛頓環(huán)結(jié)構(gòu)圖所示，上面部分為平凸透鏡，下面部分為平面玻璃，中間部分則是平凸透鏡的凸球面和玻璃平板之間形成的簿膜。當(dāng)平行單色光垂直入射于平凸透鏡的平表面時(shí)，薄膜的上下兩表面（平凸透鏡的下表面和平板玻璃的上表面）所引起的反射光線產(chǎn)生干涉，因相同光程差即相同厚度處對(duì)應(yīng)的軌跡是圓，因此使干涉圖樣呈圓環(huán)狀，即牛頓環(huán)。

圖1 牛頓環(huán)結(jié)構(gòu)圖

設(shè)介質(zhì)薄膜上下兩表面反射光的光程差為δ，當(dāng)δ=jλ時(shí)，干涉加強(qiáng)，形成亮條紋；當(dāng)

時(shí)，干涉減弱，形成暗條紋；根據(jù)幾何關(guān)系，

由于R＞＞d，d2可以略去，則

由于兩列相干光的光強(qiáng)很接近，因此可以近似認(rèn)為I1=I2=I0,則兩列光波在干涉場(chǎng)中相遇時(shí)的光強(qiáng)為

3 折射率對(duì)光程差影響

由于n1、n2、n3三者關(guān)系的不同，需要考慮半波損失。半波損失是指當(dāng)入射光在光疏介質(zhì)中前進(jìn)，遇到光密介質(zhì)的界面時(shí)，在掠射或正入射兩種情況下，反射光的振動(dòng)方向?qū)τ谌肷涔獾恼駝?dòng)方向都幾乎相反，即產(chǎn)生半波損失[1]。

對(duì)于多束光線（如圖2所示）的干涉問題，魯一清[10]等人已進(jìn)行了具體的討論，結(jié)果表明只有1、2兩光束會(huì)發(fā)生干涉。接下來，對(duì)于1、2兩束光的光程差本文將根據(jù)折射率n1、n2、n3的大小關(guān)系分為三類情況具體討論。

圖2 光束干涉示意圖

3.1 n1 ＜ n2＞n3時(shí)的光程差

根據(jù)半波損失產(chǎn)生條件，可知薄膜上表面反射光1產(chǎn)生半波損失(L1=L10+λ/2)，薄膜下表面產(chǎn)生的反射光2無半波損失(L2=L20)，結(jié)果兩束反射光有額外位相差π，即額外光程差為λ/ 2，則光程差：

3.2 n1 ＞ n2＜n3時(shí)的光程差

根據(jù)半波損失產(chǎn)生條件，可知薄膜上表面反射光1無半波損失(L1=L10)，薄膜下表面產(chǎn)生的反射光2產(chǎn)生半波損失(L2=L20+λ/2)，結(jié)果兩束反射光有額外位相差π，即額外光程差λ/ 2，則光程差：

3.3 n1＞ n2＞n3和 n1 ＜ n2＜n3時(shí)的光程差

根據(jù)半波損失產(chǎn)生條件，n1＞n2＞n3情況下1、2兩束反射光均無半波損失(L1=L10，L2=L20)；而n1＜n2＜n3情況下1、2兩束反射光均產(chǎn)生半波損失（L1=L10+λ/2，L2=L20+λ/2）。兩種情況下的1、2兩束反射光額外位相差都為0，即額外光程差為0，則光程差：

4 折射率對(duì)光強(qiáng)分布和干涉圖樣的影響

在Mathematica 仿真過程中，利用‘Manipulate’命令將交互式動(dòng)態(tài)光強(qiáng)分布與條紋干涉圖樣呈現(xiàn)出來.通過改變薄膜的折射率n2得到以下動(dòng)態(tài)仿真圖像：

4.1 n1 ＜ n2＞n3時(shí)的光強(qiáng)分布和干涉圖樣

已知Δφ=，結(jié)合(3)、(4)式得到合成光強(qiáng)

令n1=n3=1.5、R=1.5m、λ= 550nm，改變折射率n2，可得：

從圖3 可分析知，在n1＜n2＞n3的情況下，牛頓環(huán)中心光強(qiáng)為極小值且干涉條紋中心為暗紋。當(dāng)折射率n2增大時(shí)，條紋整體向中心縮小但不消失，相鄰的最大或最小的光強(qiáng)對(duì)應(yīng)的間距逐漸變小；而對(duì)于干涉圖樣來說，條紋數(shù)量逐漸增多即明暗條紋間距越來越密。

圖3 n1 ＜ n2＞n3時(shí)折射率 n2改變的光強(qiáng)分布與干涉圖樣

4.2 n1 ＞ n2＜n3時(shí)的光強(qiáng)分布和干涉圖樣

已知Δφ=，結(jié)合(3)、(6)式得到合成光強(qiáng)

令n1=n3=1.6、R=1.5m、λ= 550nm，改變折射率n2，可得：

從圖4 可分析知，在n1＞n2＜n3的情況下，牛頓環(huán)中心光強(qiáng)為極小值且條紋中心為暗紋。當(dāng)折射率n2增大時(shí)，條紋整體向中心縮小但不消失，相鄰的最大或最小的光強(qiáng)對(duì)應(yīng)的間距逐漸變小；而對(duì)于干涉圖樣來說，條紋數(shù)量逐漸增多即明暗條紋間距越來越密。

圖4 n1 ＞ n2＜n3時(shí)折射率 n2改變的光強(qiáng)分布與干涉圖樣

4.3 n1＞ n2＞n3和 n1 ＜ n2＜n3時(shí)的光強(qiáng)分布和干涉圖樣

已知Δφ=，結(jié)合(3)、(8)式得到合成光強(qiáng)

當(dāng)折射率關(guān)系為n1＞n2＞n3時(shí)，令n1=2.8、n3=1.35、R=1.5m、λ= 550nm；當(dāng)折射率關(guān)系為n1＜n2＜n3時(shí)，令n1=1.35、n3=2.8、R=1.5m、λ= 550nm，兩種情況下改變折射率n2得到的圖像一致。

從圖5 可分析知，當(dāng)折射率n2增大時(shí)，條紋整體向中心縮小但不消失，相鄰的最大或最小的光強(qiáng)對(duì)應(yīng)的間距逐漸變小且明暗條紋間距越來越密。對(duì)比圖3、4，可發(fā)現(xiàn)在折射率大小關(guān)系為n1＞n2＞n3和n1＜n2＜n3時(shí)，牛頓環(huán)中心光強(qiáng)為極大值，即干涉圖樣中央條紋為亮紋。

圖5 n1＞ n2＞n3和 n1 ＜ n2＜n3時(shí)折射率 n2改變的光強(qiáng)分布與干涉圖樣

4.4 小結(jié)

在折射率n1、n2、n3大小關(guān)系不同的情況下，其干涉條紋圖樣的變化趨勢(shì)一致：隨著薄膜折射率n2的增大同一干涉級(jí)條紋由外向中心移動(dòng)，所能看到的條紋數(shù)量逐漸增加，由此得出條紋半徑rj和相鄰條紋間距Δr會(huì)隨著薄膜折射率n2的增加而減小。不同的是，對(duì)于n1＜n2＞n3和n1＞n2＜n3兩種情況，在折射率n2相同時(shí)其條紋數(shù)量、明暗條紋分布完全相同且圓環(huán)中心為暗紋。而對(duì)比圖5，可發(fā)現(xiàn)在折射率大小關(guān)系為n1＞n2＞n3和n1＜n2＜n3時(shí)，在折射率n2相同的情況下，干涉圖樣條紋數(shù)量增多，同一級(jí)的干涉條紋半徑變小且圓環(huán)中心為明紋。

5 總結(jié)

根據(jù)半波損失原理討論了在牛頓環(huán)上下表面及干涉膜的折射率大小關(guān)系不同時(shí)對(duì)應(yīng)的額外光程差，并利用Mathematica 軟件對(duì)牛頓環(huán)的光強(qiáng)分布和干涉現(xiàn)象進(jìn)行了動(dòng)態(tài)的仿真模擬。仿真過程中通過調(diào)整輸入?yún)?shù)，模擬出不同折射率情況下牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)的光強(qiáng)分布情況，生成的動(dòng)態(tài)條紋干涉圖樣也更直觀地顯示出了隨著參數(shù)的改變牛頓環(huán)疏密、明暗程度的變化。有利于加深學(xué)生對(duì)于牛頓環(huán)干涉知識(shí)點(diǎn)、半波損失和額外光程差的理解。因此，計(jì)算機(jī)模擬生成的仿真圖樣可以廣泛用于實(shí)驗(yàn)及理論教學(xué)過程中，不僅能夠有效地彌補(bǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的局限，而且為學(xué)生進(jìn)一步的探索與深入學(xué)習(xí)理論知識(shí)提供了不可缺少的途徑。